初中数学-沪科版-初一下-乘法公式(基础)知识讲解

1、乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算 了解公式的几何意义， 能利用公式进行乘 法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算【要点梳理】【高清课堂396590乘法公式知识要点】要点一、平方差公式", 、 2 2平方差公式：（a b）（a b） a b两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式抓住公式的几个变形形式利于理解公式但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，

2、而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方 常见的变 式有以下类型：(1)位置变化:如(ab）（ b a）利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2)系数变化:如(3x5y)(3x5y)(3)指数变化:如(m32 3n )(mn2)(4)符号变化:如(ab)(a b)(5)增项变化:如(mn p)(mn P)（6）增因式变化：如（a b）（a b）（a2 b2）（a4 b4）要点二、完全平方公式完全平方公式：a b 2 a2 2ab b2（a b）2 a2 2ab b2两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次

3、三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：2 2a2 b2a b 2ab a b 2ab2 2a b a b 4ab要点三、添括号法则如果括号前面是负号,添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号括到括号里的各项都改变符号 要点诠释：添括号与去括号是互逆的, 否正确.补充公式符号的变化也是一致的,可以用去括号法则检查添括号是 要点四、(Xp)(xq)x2 (p q)x pq ;(a b)(a2mab b2)a3 b3 ；(ab)32233a b 3ab b ； (a2 2b c) a b2ab 2ac 2bc.【典型例题】哪些不能类型一、平方差公式的

4、应用(1)2a 3b 3b 2a ;2a 3b 2a 3b ;(3)2a3b2a 3b;(4)2a3b2a 3b ;(5)2a3b2a 3b ；(6)2a3b2a 3b 【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另-项互为相反数就可以用平方差公式【答案与解析】解：、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算(2)2a3b2a 3b =2 2=3b - 2a =9b24a2 (3)2a3b2a 3b2=2a - 3b2:4a2 9b2 (4)2a3b2a 3b =2 22a - 3b =4a29b2 (5)2a3b2a 3b =2 2=3b - 2a=9b2 4a2 ?能用

5、平方差公式计算的,【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算,、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式, 写出计算结果.定要注意找准相同项和相反项(系数为相反数的同类项)举一反三:【变式】计算:(1)x 3 x 32尹"；(2) ( 2 x)( 2 x)；(3)(3x2y)(2y3x) 【答案】222解：(1)原式x3x y9 2 y2244(2)原式(2)2 x24 x2 .【思路点拨】 此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方 公式.【答案与解析】解：(1)3a2b23a 23a b b2 9a2 6ab b2.(2)32a 22a 322a 2 22a3

6、 32 4a2 12a 9(3)x2y 2x22 x2y2y 22 x4xy 4y2 .(3)原式 (3x6计算：(1)59.9 X 60.1 ;【答案与解析】2y)(2y 3x)(3x 2y)(3x 2y) 9x2 4y2.(2)102 X 98.22解：(1)59.9 X 60.1 = (60 0.1) X (60 + 0.1) = 600.1 = 3600 0.01 = 3599.9929 102 X 98= (100 + 2)(100 2) = 1002 = 10000 4= 9996.【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，

7、通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式. 这样可顺利地利用平方差公式来计算.举一反三:【变式】(2015春？莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算:(1) 1232- 124 X22(2) (2a+b) (4a2+b2) (2a- b)【答案】解：(1) 1232- 124 X 22=1232-( 123+1) ( 123- 1)=1232-( 1232- 1)2 2=123 - 123 +1=1 ；2 2(2) (2a+b) (4a +b ) (2a- b)2 2=(2a+b) (2a- b) (4a +b )=(4a2- b2) (4a2+b2)=(4a2) 2-( b2)

8、2=16a4 - b4.类型二、完全平方公式的应用2 2;(2)3 2a ;2x 2y ;22x 3y22 2 2 2 2 22x 3y 2x 3y 2x 2 2x 3y 3y 4x 12xy 9y .【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符2号为负.注意 a b a2b之间的转化.、(2015春?吉安校级期中)用m、n表示图b中小正方形的边长为 .用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；观察图b,利用(2)中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式(2 2 ,

9、(m - n), mn;科?：图 a是由4个长为m,宽为n的长方形拼成的，图 b是 由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形.(1)(2)m+n)(3)根据(3)中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7, ab=5，求(a- b) 2的值.【答案与解析】 解: (1)(3)(4)5、已知ab b2/I、2;(2) (a b).图b中小正方形的边长为 方法：(m-n) (m-n) = (m-n) 方法:(m+n) 2- 4mn;因为图中阴影部分的面积不变，所以( m - n) 2= (m+n) 2- 4mn;22由(3)得：(a- b)= (a+b)- 4ab,/ a+b=7, ab=5,/ (a - b) 2=72 - 4X5=49 - 20=29.【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量.a b 7 , ab = 12 .求下列各式的值:【答案与解析】解：T a2ab b22222a b ab = a b 3ab = 7 3x 12= 13.22a b 4ab = 7 4x 12 = 1.2 2 2 2【总结升华】 由乘方公式常见的变形： a b a b = 4 ab :a b-2ab = a b + 2ab 解答本题关键是不求出 a,