上学期高二数学寒假作业精练7空间向量与立体几何(理)

1、寒假精练7空间向量与立体几何1.四棱锥PA5C。中，底面ABCO为直角梯形，AB/CD, N朋0 = 90"CD = 2.AB = 2 , PA _1_ 平面 ABCD, PA = AD = >/2 , M 为 PC 中点.(1)求证：平面PBC_L平面8MQ;(2)求二面角加一3。一。的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) !.2【解析】 在直角梯形中，BD = W , cosZBDC = cosZDBA = -=,在BCD中，由余弦定理可得8C = JJ,又PB = #, PD = 2,且尸CQ, PC5是等腰三角形，所以尸C_LM。，PCLMB,由线面垂直的判定定理，

2、得PC_L平面又由面面垂直的判定定理，即可得到平面PBC_L平面8A).(2)以A为原点，AB , AO, AP为工，J , Z轴，建立空间直角坐标系，则 P(O,O,0), 40,0,0), 8(1,0,0), C(2,6,o), 0(0, VI0),有“ = （1,0,-应），氏=Q,及，-垃）,而=（0,四,一点）,PD - n = 0令平面的法向量为，由'.,可得一个 =(0,1,1),PBn=Q由（1）可知平面3DW的一个法向量为定=（2,点,一点）， 所以3衣 >=消%=德=；,所以二面角/一3£）一夕的余弦值为1. 22.已知三棱柱 ABC-AMG 中，A

3、C = A4=4, BC = 2, ZAC3 = 90。，BLACX.（1）求证：平面AACG，平面46C；（2）若乙4。=60。，P为线段AC上一点，且平面84P和平面A4CG所成角的余弦值为正,4AD 求方的值A【答案】（1）证明见解析;【解析】(1)连接AC,由题意知aa=AC = AA = CG.四边形4ACG是麦形，AC，ag， 又.A8_LAG，A18nAe = 4 ,AC】_L平面/OB ,贝iJAC_LC8,/ZACB = 90°, :.ACLBC,又4GnAC = A, .3CJL平面AACC|,平面AACG，平面A8C.（2）以点。为原点，CA9 C8所在直线分别

4、为k轴，）轴，平面AACG上过点。垂直于AC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，设点尸的坐标为（八。，。）（。工，44）,A （2,0,2 J5）, 8（0,2,0）,.B户=。,一2,0）,瓯=(2,-2,2回,设平面847的法向量为 = （x,y,z）,则丽 =0 px-2y = 0BAl /i = 02x - 2y + 2&z = 0令X = 1,得y = ：, z =，即 =（i，g，宗）为平面BA/的一个法向量.易知，平面AACG的一个法向量为相=（°，1，°）， Icos < mji >1=1 亍 64卜i“不=:解得,=i或'=一三（

5、舍去）'Ji+L+£z2L3412AD.P的坐标为（1,0,0）, P为4C上靠近点C的四等分点，故斤=3一、选择题1 .已知”=(2,-3,1),则下列向量中与。平行的是()A. (1,1,1)B. (-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)2 .已知三角形的三个顶点A(2, 1,4), 8(3,2,6), C(5,0,2),则过人的中线长为()A. ViTB. 2ViTC.1172D.3而3.若平面耳的法向量分别为%=（2, 3,5）, %=（-3,L2）,则（）A. a/pB. a I。C.月相交但不垂直D,以上均不正确4 .已知空间三点。（0,0,0

6、）, A（-l, 1,0） , 5（0,1,1）,在直线04上有一点满足8 _L 04 , 则点”的坐标为（）A. （一2,2,0）B. （2,一2,0）C. （一1,0） D. （-,-,0）2 22 25.已知空间向里丽=（1,。、一1）,平面&的一个法向量为=（。，口），则直线A8与平面。 所成角。为（）兀兀兀2兀A. B. -C. -D. 一64336.如图，正方体- 中，N是棱的中心，M是棱CG上的点，1A Vior 2逐5157 .如图，在三棱柱-中，则A4与平面A片C所成角的大小为1Bcf DfAA_L底面ABC, AA】=3, AB = AC = BC = 2, ()B

7、i w AC且CG=3CM,则直线3M与4N所成的角的余弦值是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8 .在长方体中，下列计算结果一定不等于。的是()A. AD1 - B】CB. BD AC C. DC ADX二、埴空题9 .已知向里。=(一1,2,1), = (2,-2,0),则。在力方向上的投影为10 .在棱长为1的正方体458-4蜴。12中，M为AA的中点，则A到面加8。的距离三、简答题11 .如图，在四棱锥PABC。中，底面A8CD是平行四边形，AB = 2AD = 2 ,ZDAB = 60° , PA = PC = 2,

8、且平面 ACP_L平面 A8CZ).(1)求证，CB1PD ;(2)求二面角C P3 A的余弦值.12 .如图，在四棱锥P A3CQ中，底面A3CQ是菱形，A4_L平面A3CQ,且AB = AC = 224,点石，厂分别是A0和23的中点.(1)求证EF平面尸C。；(2)求二面角8 £F C的余弦值.13 .已知三棱柱A/iG-A8C中三个侧面均为矩形，底面4BC为等腰直角三角形,C1C = C4 = C8 = 2,点。为棱CG的中点，点石在棱81G上运动.(1)求证：CLAE-(2)当点七运动到某一位置时，恰好使二面角后-4。-B的平面角的余弦值为亚, 6求点七到平面48。的距离.

9、【答案与解析】一、选择题1 .【答案】B【解析】.(-4,6,-2)= -%，.故选B.2 .【答案】B解析】.8(3,2,6), C(5,0,2),.8。边中点的坐标是。(4,一2),又A(2,-1,4),过点 4 点的中线长=抱一4f + (一 1 一if + (4 + 2,=2 JFT .3 .【答案】C【解析】.叫与%不平行，二。与£不平行；.叫2=-6 - 3+1。=1工。，夕与夕不垂直，故选C.4 .【答案】C【解析】由不=(-11,0),且点H在直线上，可设(一九九0),则丽=),又8H J_OA ,B”.。/1 = 0 ,即4 + 4 1 = 0,解得a =不，.,.

10、/(另,。).5 .【答案】A【解析】由题意，空间向童丽= (1,0,-1),平面。的一个法向量为 =(04，1), c I F ,1-111所以根据空间向量的夹角公式，可得sin e T cos v ABji >=-,2.6 =；,则直线AB与平面&所成角;. oo6 .【答案】D【解析】以。为坐标原点，以D4, DC 9。0所在直线为x轴，)'轴，z轴建立空间直角坐标系,3设 N(二,0,0), 8(330), A/(0,34),四(3,3,3), 238M =（-3,0,1） , 4N = （-二,-3,-3）, 2BM - BJi 回cos < BM、BN

11、>= =.I 及N II BM I 307 .【答案】A【解析】取A8的中点。，连接CD,以AO为4轴，以CD为）'轴，以过点。且平行于的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，可得A(l,0,0), 4(1,0,3),丽=(0,0,3),而即1,0,3), C, (0,3), .'. = (-2,0,3), AC； =(-1,73,3).设平面A4G的法向量为6=(x,y,z),根据利A4=0,5AG=0,解得机=(3,_VI2), cosv叫福 >="空=:，I m IIAA I 2故AA与平面AqG所成角的大小为30。.8 .【答案】D【解析】如图，以。为原

12、点，分别为OA, DC ,所在直线为x,)" z轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为b , c ,则A(a,0,0), 3("力,0), C(0也0),。(0,0,0),B(a,b,c) , G(0,b,c) , D)(0,0,c),AD1 = (c/,0,c) , B£ = (4,0,c) , BD = (a,b,c), AC = (,b,0) , DC = (0力,0),4G =(-a,0,0),，祠丽,当"=c 时，函而=0, BDAC =(r-lr当。=匕时，西/=0,成珂=0, 西南=。0.故选D.二、埴空题9答案十-2-4j2?+(-

13、2 尸ab【解析】依题意。在方方向上的投影为77 =b I10 .【答案】 6【解析】以。为原点，D4为*轴，0c为)'轴，。"为z轴，建立空间直角坐标系,则0(0,0,0), M(1,0,1, 5(1,1,0), A(l,0,0),1_.D4 = (l,0,0), 0M =(1,0,弓)，OB = (1,1,0),设平面Q8V7的法向量为 = （x,y,z）,贝卜 DM = x + z. = 0 2 DB = x + y = 0取X=1,得 =(1,一1,一2), 4到面M3。的距离d =三、简答题11 .【答案】(1)证明见解析；(2)丕.13【解析】(1)连AC, 8。

14、交于点。，连尸O,由平面AC尸_L平面A8CD,平面ACPA平面A5CQ = AC,又PA = PC,PO_LAC,PO_L平面A3CQ,又8Cu平面A3CZ), PO_L8C,又 BD = Jab。+ A£>2 一 2A8 cos 600 = g，- - BD2 + BC2 = CD2, BC LBD ,又8。0尸0 = 0, .BC，平面080, PDu平面PBD,.CBLPD.（2）由（1）知/M_LO8,以0为坐标原点，D4为丫轴，08为）'轴，过点。且与平面AO3垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知。_1面48。，则POz轴，由平面几何知

15、识易得A0 = 1 , PO = l， 22则 A(1,O,O), 8(0,乔,0), P(0, C(-l,>/3,0), 2 2于是比=（一1,0,0）,加=（0,_立=），函=（1,一代,0）, 2 2设平面P8C的法向量为/=（x,y,z）,则，冠，巧，丽,1 BC = 0即 一% BP = D-x = 0节 3 cy + z = 02 , 2则y = 则/=(0,J5,l),同理可得平面夕胡的一个向量为，=（3,J5,i）,)42/3于是cos <%,“>>= !=1/>! II h2 I 271313分析知二角面CP8A的余弦值为-生1312【答案】（1

16、）证明见解析；（2） 2.5【解析】（1）如图，取弘的中点M,连结EM, FM ,则FMA8CZ）,0D, .平面石质W平面PC。，.EF平面PCD.（2）连接4C, 80交于点。，以。为坐标原点，。为x轴，0。为轴，过点。且垂直于平面48CD的直线为z轴建立空间直角坐标系，不妨设24 = 1,则A8 = AO = 2,.B(0,S0), C(l,0,0) , P(-l,0,l), E(-l,2,0),尸(,一正)，2 222 2得屁=(-芈,0),旃= (_；,)，2 22 2 2-BE = O BF = 0/I设平面3石厂的法向量为i =（x,y,z）,贝卜同理可得平面C£尸的法

17、向量为% = （1, JJ,6）,cos。=；-工& = 竺，:二面角B-EF-C的余弦值为空.I /i. II /55I-13.【答案】（1）证明见解析；（2）更. 2【解析】以C为坐标原点，C3为不轴，C4为）轴，0G为Z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0), A(0,2,0), 4(022), 0(0,0,1), 8(2,0,0),设E(m,0,2),其中04加42,所以石 =(0,2,2),而=(加,一2,2), 因为43-4百=0+(2)x(2) 2x2 = 0,所以4c_LA£?,即4C_LAE.(2)由 可知反=(加可,1), 璃= (0,2,1),丽=(2,0,-1),设=（M，y，&）为平面EAQ的一个法向童,"。£ = 0则口鬲=0,