数学分析教案(华东师大版)第六章微分中值定理及其应用

1、第六章 微分中值定理及其应用教学目的：1.掌握微分学中值定理， 领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2. 熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3. 掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4. 使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法， 能根 据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5. 会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点 ：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数 ：14 学时 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理， 领会其实质， 为微分学

2、的应用打下坚实的 理论基础。教学要求： 深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义， 掌握三个定理的证 明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点： 中值定理。教学难点： 定理的证明。教学难点： 系统讲解法。、引入新课：通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系， 引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？ 俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。 我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课一一第六章微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和

3、函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念：1 极值：图解，定义（区分一般极值和严格极值.）2. 可微极值点的必要条件：Th （ Fermat ）（ 证）函数的稳定点，稳定点的求法.（二）微分中值定理：1.Rolle 中值定理：叙述为 Th1.（证）定理条件的充分但不必要性.2.Lagrange 中值定理：叙述为 Th2.（ 证）图解.用分析方法引进辅助函数，证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅1P157.Lagrange 中值定理的各种形式.关于中值点的位置.推论 1 函数在区间 I 上可导且_二一 一为 I 上的常值函数.（证）推论 2 函数和.I 在区间 I 上可导且门X

4、)詔=/U) = gW + CiEl.推论 3 设函数O在点一的某右邻域_上连续,在壮|内可导若 KL.存在,则右导数.,也存在,且有一一-器 T备（证）但是，II 不存在时，却未必有 .I 不存在例如对函数x2sin 丄，0 x = 0虽然n不存在，但却在点.丨可导（可用定义求得-II）.Th （导数极限定理）设函数0在点.的某邻域 U （阳 内连续, 在二内可导.若极限 1/r. I.：存在,则；也存在,且、匚（证）WSTfl“ V /并今北由该定理可见，若函数:在区间 I 上可导，则区间 I 上的每一点，要么是导函数 的连续点，要么是-：.!的第二类间断点.这就是说，当函数；：在区间 I

5、 上 点点可导时，导函数在区间 I 上不可能有第二类间断点.推论 4 （导函数的介值性）若函数在闭区间|上可导，且-二匚（ 证）Th （ Darboux ）设函数在区间_.； -._上可导且lii .若打为介于 I 与；二之间的任一实数,则亠一 ；/.： I.三/Ji -匚设-i? -. ：.：,对辅助函数 d _ 二，应用系 4 的结果.（证）3.Cauchy 中值定理:（Th 3 设函数-和在闭区间；._ 上连续,在开区间；._：内可导,和 .一在 U；!内不同时为零,又.-.一则在 1上！内至少存在一点使畑=矗）- /证分析引出辅助函数-V - - T -；!.验证”在g） -g（a）:

6、.j 上满足 Rolle 定理的条件，一_匚_丨_;.三/）-临曲）-血）必有 J 7 II ,因为否则就有-二 1-11.这与条件“和二在丨内不同时 为零”矛盾.Cauchy 中值定理的几何意义.（三）中值定理的简单应用：1.证明中值点的存在性例 1 设函数在区间_丄上连续,在二内可导,则_；.，使得La证在 Cauchy 中值定理中取二I:.例 2 设函数在区间|二、；上连续，在 1 匚、内可导，且有-:.试2.证明恒等式：原理.例 3 证明:对匚K , 有.例 5 设对-,-J ,有门:,i ：.，其中二是正常数. 则函数是常值函数.（证明-II ）.3.证明不等式：例 6证明不等式：匸

7、八时,1 + AJ_例 7证明不等式：对廿，有一 I -丄.n+1nn4.证明方程根的存在性：证明方程二 : /： - II 在:1 内有实根.例 8证明方程 i.;-.v I -L;在：二内有实根.2柯西中值定理和不定式的极限（2学时）教学目的：1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握 LHospital 法则，或正确运用后求某些不定式的极限。 教学要求：1.熟练掌握 LHospital 法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限；2.深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运设函数和可导且-匚=.又；L 则跻如用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调

8、性证明某些不等 式。教学重点：利用函数的单调性，LHospital 法则教学难点：LHospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法;教学方法：问题教学法，结合练习。型:例3（作代换：匸或利用等价无穷小代换直接计算.）2 1x sin -例 4I.-.-.（ 丄 Hospital 法则失效的例）w0sinxQQ二.型：00Th 2 （二Hospital 法则）（证略）例 5八.註：关于-上】当:工时的阶.Th 1（二 Hospital 法则）（证）应用技巧.lim1 + cos zcos zig2x例 7工.（ 丄 Hospital 法则失效的例）三.其他待定型：.-| - -.前四

9、个是幂指型的.100,且求T = 0.八 A 曲型迦=曲暨=曲習“0 rr2 3 Taylor公式（2学时）教学目的：掌握 Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题11lim 1+ JT-*O+I T12lim (cosMO13丨1 Vlim 1 + 14o1 - 2教学要求：1. 深刻理解 Taylor 定理，掌握 Taylor 公式，熟悉两种不同余项的 Taylor 公 式及其之间的差异；2. 掌握并熟记一些常用初等函数和 Taylor 展开公式，并能加以应用。3. 会用带 Taylor 型余项的 Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代 Peanlo余项的 Taylor

10、公式求某些函数的极限。教学重点：Taylor 公式教学难点：Taylor 定理的证明及应用。教学方法：系统讲授法。一. 问题和任务：用多项式逼近函数的可能性；对已知的函数，希望找一个多项式逼近到要求 的精度二.Taylor（1685 1731）多项式：分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 Taylor 多项式丄.丄丨及 Maclaurin 多项式例 1 求函数-I - ：:.在点.-的 Taylor 多项式.1P174.（ 留作阅读）三.Taylor 公式和误差估计：称、；厂：* 为余项.称给出二一一的定量或定性描述的式|二-二丄为函数的 Taylor 公式.1.误差的定量刻画（

11、整体性质）一一 Taylor 中值定理：Th 1 设函数满足条件:i 在闭区间| . ； | 上 有直到L阶连续导数；ii 在开区间二二内有1 阶导数则对宀工呻，上一丄二使/W = /+ f0 P）+厶糾（X -逢丫 +/ 丁（兀a） +2!n证1P175 176.Taylor 公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式.c -.II 时,称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式,此时余项常写为. 伽 +1)!2.误差的定性描述（局部性质）一一 Pea no 型余项:Th 2 若函数在点-的某邻域J 内具有1 阶导数,且存在,则_仏_ 一宀二_4- I二一汀厂：；-

12、/ ；-2!丹！川：上汀，一 . I：二.称这种形式的余项为 Lagrange 型余项.并称带有这种形式余项的Lagrange 型余项还可写为证设亠丄-w m 应用Hospital 法则舟 T 次,并注意到 i 存在，就有= _limn称丫；为 Taylor 公式的 Pea no 型余项,相应的 Maclaurin 公 式的 Pea no型余项为上 二-.i .并称带有这种形式余项的Taylor公式为具 Pea no型余项的Taylor公式（或 Maclaurin 公式）.四.函数的 Taylor 公式（或 Maclaurin 公式）展开：1.直接展开：例 2 求 丨：的 Maclaurin

13、公式.解:.1! 2! 1 + 1）1例 3 求 /W=sin X 的 Maclaurin 公式.sin乐 +（用+ X , 0 61 1例 4 求函数 II 的具 Pea no 型余项的 Maclaurin 公式.解 rO.解.一工e G（x）f丹（科 T）6161cos2x = 1 -2x2+-3!注意，./ : i -ll :+ Z).例 5 把函数厂-工展开成含 r项的具 Pea no 型余项的 Maclauri n 公式.（1P179 E5, 留为阅读.）2间接展开：利用已知的展开式，施行代数运算或变量代换，求新的展开式.例 6 把函数-:展开成含项的具 Pea no 型余项的 Ma

14、claurin 公式例 7 把函数展开成含 J 项的具 Pea no 型余项的 Maclaurin 公式解一； - 一.236!例 8 先把函数展开成具 Pea no 型余项的 Maclauri n 公式. 利用得1 + x到的展开式,把函数八”一一在点展开成具 Pea no 型余项的 Taylor3 + 50公式.f(x)= lx + xa+ + (-1)1/ +o(x)；1 _ 1 _ 1 13 + 5x13+5(x-2)i3J(x-2)131-詁讣+ （-l）诘）匕诃卜仏-窈）例 9 把函数二二展开成具 Pea no 型余项的 Maclaurin 公式，并与二】的相应 展开式进行比较.1

15、12!划2M-L/严严+严(2-1)1五. Taylor 公式应用举例：+ 315+。(严)(加-1)11.证明是无理数:例 10 证明是无理数.证 把展开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式,有反设是有理数,即、一厂和，为整数）, 就有讣心整数+ .q鬥+1对- -J一也是整数.于是，整数=整数一整数=整q+ 1q数.但由.广.、二因而当_时，不可能是整数.矛盾.川+12.计算函数的近似值:例 11 求精确到I I I I；的近似值.解-1 丄亠2!31创3 + 1）注意到 0l?0e 对：._ 有匚-.（或_ 11 ；ii 在二二内任子区间上2.单调区间的分离：1 的

16、升、降区间分别对应-：.!的非负、非正值区间.例 1 分离函数-的单调区间.更一般的例可参阅4P147 148 E13, 14.二. 可微极值点判别法：极值问题:极值点,极大值还是极小值，极值是多少.1.可微极值点的必要条件：Fermat 定理（表述为 Th3 ）.函数的驻点和（连续但）不可导点统称为可疑点，可疑点的求法.2.极值点的充分条件：对每个可疑点，用以下充分条件进一步鉴别是否为 极值点.Th 4 （充分条件 I ）设函数在点连续,在邻域.:和一：丨内可导.贝 Ui在,内.在丄.内二：时，二-为工的一个极小值点；u在V内.在丄内工时，为0的一个极大值点；iii 若门在上述两个区间内同号

17、，则不是极值点Th 5 （充分条件 U “雨水法则”）设点为函数；的驻点且存 在.则i 当I I I 时，为门 的一个极大值点ii 当I 时，为的一个极小值点证法- ,f x-xaF 兀_坯证法二 用 Taylor 公式展开到二阶,带 Pea no 型余项.Th 6 （充分条件川） 设-L而则i ：为奇数时，不是极值点；ii ：为偶数时，讣是极值点 .且他） 对应极小； 严饭） 0 对应极大.例 2 求函数f（x） = （2x-5的极值1P190 E3当时，在点的某空心邻域内_与异号,r 432例 3 求函数的极值.1P190 E4x3.函数的最值：设函数-0在闭区间|上连续且仅有有限个可疑点

18、- ,；.贝USS 他=血（/（a）J）,他），他），“，佩）; . 函数最值的几个特例：i 单调函数的最值：ii 如果函数 I 在区间上可导且仅有一个驻点，则当为极大值 点时，匚亦为最大值点；当为极小值点时，亦为最小值点iii 若函数匚 1 在比内可导且仅有一个极大（或小）值点，则该点亦为最 大（或小）值点iv 对具有实际意义的函数，常用实际判断原则确定最大（或小）值点三.最值应用问题：例 4、J 两村距输电线（直线）分别为|二代和|：（如图）,丄长 现两村合用一台变压器供电问变压器设在何处，输电线总长二 T _最小解 设；如图，并设输电线总长为 I. ；：.则有L(x) =ASSB =+说

19、0X3,I .2.不等式原理：4P169 171.肌=讨（亍“于丄,7（3-X）3+1.52J*+1d 厂，：.-.四. 利用导数证明不等式：我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法.其实,利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种（参阅3P112 142 ）. 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理1.利用单调性证明不等式原理：若/,则对 F ,有不等式-汗九为.例 5 证明：对任意实数“和.,成立不等式W+列丄闵1+|必+“1+|纠1+|6 |T1证取- . -.-.在 II.-I 内/1 +X（1 +孟）/.于是,由|盘+纠勺住| + |纠，就有/（|d

20、?+A|）屮I），即丨 丨+回=IgJ _+_LLL_lL +解得二- _和二-:（捨去）.答:2或V2i|0；又则天九时，o.（不等式原理的其他形式.）例 6 证明：_ 时,-1 . 2例 7 证明：:Hi 时,一 1.-.3!2.利用极值证明不等式例 8 证明:II 时，A、 . v.5函数的凸性与拐点（2学时）教学目的：掌握讨论函数的凹凸性和方法。教学要求：弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题教学重点： 利用导数研究函数的凸性教学难点： 利用凸性证明相关命题教学方法： 系统讲授法+演示例题一凸性的定义及判定：1 凸性的定义：由

21、直观引入强调曲线弯曲方向与上升方向的区别定义 设函数在区间|上连续.若对宀|丄，恒有 了临）+您） 2则称曲线“-打二在区间a 上是凹（或凸）的若在上式中，当时，有严格不等号成立，则称曲线-.二在区间-._上是严格凹（或严格凸）的凹和凸也分别称为上凸和下凸.凸性的几何意义：倘有切线，与切线的位置关系；与弦的位置关系；曲线 的弯曲方向2利用二阶导数判断曲线的凸向：Th 设函数在区间 b/；内存在二阶导数,则在乙 2 内:小飞-订二在二 内严格上凸；-在内严格下凸该判别法也俗称为“雨水法则” T + 1*证法一（用 Taylor 公式）对 m 二设， =,把.在J点展开成具 Lagrange 型余

22、项的 Taylor 公式,有/佃）=+畑）佃-知）+耳心无-心几.其中和.在与.之间.注意到-丨取 I,就有/（眄）+佩）=2/（心）+扣莒）（眄-汀十/迄）（勺-汀,于是di若有广（x） 0, n 上式中0, = 了） +抑 2），即/严格上凸.若有二11-上式中 |. ：,即；:严格下凸.证法二（利用 Lagrange 中值定理.） 若二 .则有；/,不妨设眄XJ并设矿-,分别在区间兀 X和xQfXa 上应用 Lagrange 中2值定理，有H-U ;|：. - ,：，有一 /-I -又由. I，:一VI :, 一 .I/, -Z1/,，即/（盂 1）+/（巧）2/E） =2/斗尹，他严格

23、下凸.I 上丿可类证 I.-：- I的情况3凸区间的分离：二 I 的正、负值区间分别对应函数；二的下凸和上凸区间二.曲线的拐点：拐点的定义例 1 确定函数：二.上的上凸、下凸区间和拐点.4P154 E20解一的定义域为 -/：/，：-/ :L / - -二令：十；，解得在区间 -.-三.Jensen 不等式及其应用:Jensen 不等式：设在区间上恒有i 二11 （或 i：i ,则对上的任意个点- i,有 Jen sen 不等式:黑伽）2（或 S）偽且等号当且仅当二二；.时成立.1 证 令.，把二，丨表为点处具二阶 Lagrange 型余项的尬JU1Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意 -.即得所证.Jt-i为