五年级奥数.应用题.工程问题(一)(A级).教师版

1、知识框架工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“ 1”的应用题， 它具有抽象性，学生认知起来比较困难。 在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一、工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“ 1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量 =工作效率X工作时间，工作效率=工作总量十工作时间，工作时间=工作总量十工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： 具备整数应用题的解题能力

2、，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； 学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； 学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等 多种解题方法，不断地开拓解题思路.三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”

3、和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案一般情况下，工程问题求的 是时间.重难点(1) 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；(2) 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理;(3) 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“ 1”的统一和转换；(4) 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.-例题精讲、工程问题基本题型【例1】 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间?【考点】工程问题【难度】1星【

4、题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1个单位，那么甲每天完成总量的28,乙每天完成总量的21 ,两人合作每天能完成总量的 281 1-，所以两人合作的话，需要21 12112天能够完成.12【答案】12【巩固】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要 12天时间，如果乙单独做需要多少时间?【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】【答案】【例2】乙单独做每天能完成总量的丄1228甲、乙两人共同加工一批零件,1 121莎，所以乙单独做28天能完成8小时可以完成任务.如果甲单独加工，便需要12小时完成.现将整个工程的工作量看作 “ 1个单位，那么甲每天完成总量的 -,甲、乙合作

5、每天完成总量的 丄,21 1222 _在甲、乙两人共同生产了5小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了 420个零件才完成任务问乙一共加工零件多少个【解析】乙单独加工，每小时加工1丄丄 甲调出后，剩下工作乙需做（1 2-丄）84时所以8 12245 8245乙每小时加工零件420 84 25（个），贝U 2-小时加工25 2- 60 （个），所以乙一共加工零件555420+60 = 480（个）.【答案】480【巩固】 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了 6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【考点】工程问题【难度】2星【题型】解

6、答【解析】共做了 6天后，原来，甲做 24天，乙做24天， 现在，甲做0天，乙做40= （24+16）天这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3 。3 2如果甲独做，所需时间是30 30 - 75天如果乙独做，所需时间是30 30 - 50天；甲或乙2 3独做所需时间分别是 75天和50天.【答案】分别是 75天和50天【例3】 一项工程，甲单独完成需要 12天，乙单独完成需要 9天若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【解析】根据题意可知，甲的工作效率为丄，乙的工作效率为 1，

7、采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲12911 1做了（ 10 1） （）4 天.9 9 12【答案】4天【巩固】 一项工程，甲队单独做 20天可以完成，甲队做了 8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成.问：乙队单独完成这项工作需多少天？【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：甲的工作效率为丄，甲队8天的工作量为8-，所以乙队15天的工作量为1 -,20205553 1乙的工作效率为-15 ，所以乙队单独完成这项工作需要25天525方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的 -，乙5独做的时间为20 -25 （天）。5【答案】2

8、5天【例4】 一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成,那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天?【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【解析】如果将整个工程的工作量看做单位“1；'从条件中我们很容易看出：甲 乙 ，乙丙20115，1乙因此不难得到丙的工作效率为301111-；因此三个人的工作效率之和为15 30 3020130112，也就是说，三个人合作需要 12天可以完成。本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效.但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了.【答案】12

9、天【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要 12天,由丙单独做需要 36天完成,那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天?【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【解析】法一：和上题类似，我们可以有：甲1丙広不难求得，乙的工作效率为丄丄1236118，因此甲的工作效率为1181亦，从而甲丙合作的工作效率为即甲丙合作12天能完成。法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到甲+丙”的值呢?【答案】【例5】不难发现,是说：甲12天我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有:丙1 29 36一项工程，甲单独做 40甲乙丙2 乙丙甲丙，也就1 11

10、2-，所以甲丙合作12天能完成。天完成，乙单独做 60天完成.现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了 27天才完成.问甲休息了几天?【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的 60927亦还91111有1亦20是甲做的，所以甲干了亦22 （天）；休息了 27 22 5 （天）.40法二：假设中间甲没有休息， 则两人合作27天，应完成全部工程的（丄丄）27406099，超过了单位“ 1的9 11，则甲休息了 1丄5 （天）.88840【答案】5天【巩固】一项工程，甲单独做 20天完成，乙单独做30天完成甲、乙合

11、作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天乙请假多少天？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：甲一共干了16天，完成了全部工程的164，还有1 -1是乙做的，所以乙干了205551 11 丄 6（天），休息了 16 6 10（天），请假天数为：16 6 10（天）530114法二：假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成全部工程的（亠 丄）16 -，超过了单位“120 3034 11 1的1，则乙请假10（天）.333 30【答案】10天【例6】 一件工程，甲、乙两人合作 8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作 12天可以完成那么甲、丁两人

12、合作多少天可以完成？【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答111【解析】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、丄、丄.对于工作效率有（甲，乙）+（丙，丁）8 6 1211111（乙，丙）=（甲，丁）即1 +丄-1 =丄，甲、丁合作的工作效率为 所以，甲、丁两人合8 12 6 2424作24天可以完成这件工程.【答案】24天【巩固】修筑一条高速公里。 若甲、乙、丙合作,90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工?【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【解析】设这项工程为单位“ 1。

13、则甲+乙 +丙的工作效率为901,甲+乙+丁的工作效率为。丙+丁的工作效率为120丄。那么甲+乙的工作效率为（丄 丄180901201 111而，甲+乙+丙+丁的工作效率为面而80。60天。因此剩下的工程还需要（1 36）14480【答案】60天【例7】 有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最 后两个仓库的货物同时搬完则丙帮甲小时，帮乙小时.【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它

14、们111 21完成工作的总时间为 2(-)21小时在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，67144丙则在两个仓库都搬运过甲完成的工作量是1 21 7，所以丙帮甲搬了 1 - 1的货物，丙6488811 32131帮甲做的时间为丄丄1-小时，那么丙帮乙做的时间为21 1上3丄小时.8 14 444 2【答案】丙帮甲13小时，丙帮乙31小时.4 2【巩固】 搬运一个仓库的货物，甲需 10小时，乙需12小时，丙需15小时.有同样的仓库 A和B，甲在A 仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完 两个仓库的货物丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【考点】工程问题【

15、难度】3星【题型】解答111 11【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：2( ) 8小时，丙帮助甲搬运了 1 8310 12 151015小时，丙帮助乙搬运了 8 3 5小时.【答案】5小时【例8 一份文件，如果甲抄 10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄 8小时，乙抄13小时也可以抄完现在甲先抄 2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？【考点工程问题【难度3星【题型解答1【解析由题意可知，甲、乙合作的效率为;将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时,1011乙单独抄5小时，则乙单独工作的效率为1 8 (13 8),10251133 1所以甲单独工作的效率丄丄 甲、乙两人的工

16、作效率之比为2：丄 3: 2 10 25 5050 25甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要3 2 (3 2) 11小时，5所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要10 ll 8-小时.5 5【答案】8-小时5【巩固】 一件工作甲先做 6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做 8小时，乙接着做 6小时也可以完成如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，甲做8 62小时的工作量等于乙做 12 66小时的工作量，可见甲做1小时的工作量等于乙做 3小时的工作量.那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要6

17、3 12 30小时，甲先做的3小时相当于乙做了 9小时，所以乙还需要 30 9 21小时.【答案】21小时【例9】 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】首先将各个小队之间的组合列成表：一队二队三队四队五队工作效率OOOXX112OXOXO17XOXOO18OXOOX丄42从表中可以看出，一队、三队在表中各出现3次，二队、四队、五队各出现 2次，那么，如

18、果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了 3次所111111以五个小队的工作效率之和为： -1 2丄 3 1，五个小队一起合干需要1 - 6天.12 7 84266【答案】6天【巩固】 A、B、C、D、E五个人干一项工作，若 A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若B、C、D、E四人一起干需要 8天完工；若A、E两人一起干需要12天完工那么，若 E 一人 单独干需要几天完工？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】从题中可以看出， A、B、C、D四人每天完成总量的 丄，B、C、D、E四人每天完成总量6的，A、E两人每天完成总量的，可见，E 一人每

19、天完成总量的丄2 ，所812812648以E 一人单独干需要1 丄 48天.48【答案】48天【例10】某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标.三家公司的竞标条件如下:公司名称单独完成工程所需天数每天工资/万兀甲105.6乙153.8丙301.7 如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元?【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2009年，十三分，入学测试【解析】如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为丄、丄、丄，所以应该选

20、择甲、101530乙这两家公司合作.甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为1 （丄 丄）6天；1015如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为5.6 10 56万元、3.8 15 57万元、1.7 30 51万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作.1 1甲、丙两公司合作需要 1（- 一）7.5天才能完成工程，完工时要付的工资为：1030（5.61.7） 10000 7.5547500 元.【答案】547500元【巩固】 一项工程，若请甲工程队单独做需 4个月完成，每月要耗资 9万元；若请乙工程队单独做此项

21、工程需6个月完成，每月耗资 5万兀.请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度 节省资金.【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的1，那么甲、乙合作所需时间为:61 11 （丄1） 2.4个月；甲、乙合作 2.4个月所耗资金为：（9465） 2.433.6（万元）.甲工程队完成全部工作要耗资 9 4 36万元，乙工程队完成全部工作要耗资 5 6 30万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以

22、还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程所以，在五个月内完成的最好方案为:5 122乙工程做5个月，甲工程队做（1 _） 一 -个月，即：甲、乙两工程队合作一个月后，乙工程队6 4 33再单独做d个月.3【答案】33.6万元甲、乙两工程队合作 -个月后，乙工程队再单独做13个月33吵课堂检测【随练1】一项工程，甲单独做需要 30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间?【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1个单位，那么甲每天完成总量的-，甲、乙合作每天完成总量的丄，3012乙单独做每天能完成总量的1111，所以乙单独做120天能完成.12 30

23、 2020【答案】20【随练2】一件工作，甲、乙两人合作 36天完成，乙、丙两人合作 45天完成，甲、丙两人合作要 60天完 成问甲一人独做需要多少天完成？【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【解析】设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成 -，甲丙两人合作每天完成 -，乙丙两人合3660完成的工作量，甲每天完成111 130 45 90，甲独做需要1 90 90天答：甲一人独做需要90天【答案】90天【随练3】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要 4天完成两队合做2天后由乙队独做，还 要几天才能完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：我们把工程看作两个人

24、分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要 6天，除去自己完成的 2天以外，剩下工作量甲需要 4天完成，乙的工作效率是甲的3 ,因此甲4天完成的量，乙需要4 443罟天完成,除去与甲合作的2天以外,16乙还要做1623罟天。法二：甲的工作效率为1 ,所以乙的工作效率为6113 4两队合作 2天后乙队独做还要681 6 28 2813天才能完成【答案】10家庭作业【作业1】某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成. 现在甲先单独做 42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？【考点】工程问题【难度】2星

25、【题型】解答【解析】先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15 （天），乙 要多做48-28=20 （天），由此得出乙的工作效率是甲的3，甲先单独做 42天，比63天少做了4463-42=21 （天），相当于乙要做 21 - 28天因此，乙还要做 28+28= 56 （天），乙还需要做 563天.【答案】56天【作业2 一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成.那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：对于工作效率有：（甲，乙）+（乙，丙）一（丙，甲）

26、=2乙，即1+1 -丄=12为两倍乙的工891872作效率，所以乙的工作效率为丄3 而对于工作效率有，（乙，丙）一乙=丙，那么丙的工作效率为144-丄3 =丄那么丙一个人来做，完成这项工作需1十丄=48天。91444848方法二：2（甲，乙，丙）=（甲+乙）+（乙、丙）+（甲、丙）=-+ - + =兰,所以仲，乙，丙）=兰+289187272212121上丄，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为 上丄那么丙单独工作的工作效率为上- 6天完成的工程量为41441441441，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天.48【答案】48天【作业3】一项工程,甲队单独完成需 40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需天。【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答【关键词】2008年,希望杯，第六届，六年级，一试【解析】甲每天完