中考二次函数中45度角的存在性问题

1、二次函数中45度角的存在性问题，题目一般会有两种形式出现：1.角的顶点坐 标已知，2.角的顶点坐标未知，大致可以分为以下几种方法：构造“三垂直” 法、构造一线三等角、构造辅助圆、构造“半角模型”等。下面我们将2020年各地中考出现的二次函数中45角的存在性问题举例说明其 解法。一.构造三垂直1. (2020山西)如图，抛物线尸32 7-3与x轴交于4 , 8两点(点4在点B的左侧)，与j，轴交于点。.直线/与 抛物线交于。两点，与y轴交于点E,点Z)的坐标为 (4,-3) (1)请直接写出4, 5两点的坐标及直线/的函数表达式; (2)若点尸是抛物线上的点，点P的横坐标为掰(7%0), 过点？

2、作刊/，不轴，垂足为尸河与直线/交于点N, 当点N是线段产”的三等分点时，求点尸的坐标；(3)若点。是y轴上的点，且乙1。0=45。，求点0的坐直线/的解析式为y二-1；(2)如图1,根据题意可知，点P与点N的坐标分别为1 , 1P(niy nr -m - 3)， N(m)m-Y)，42/. PM - - - nr 十加十 3 ， MN 二一加十 1, 42NP-m +-W + 2, 42分两种情况：当 PM = 3MN 时，得 -1后 + 加 + 3 = 3（-w +1）, 42解得，加=0,或 H? = 2 （舍），/. P（0,-3）；当PM =3NP时，得一工加2 +加+ 3 = 3（

3、工优2 + - m -F 2）， 442解得，m = 3）或机=2 （舍），.二,（3,一二）；4.当点N是线段 9 的三等分点时，点p的坐标为(3,-9或(0,-3)；(3)当点Q在y轴负半轴时，构造三垂直如图所示VA (2, 0) , D (4, 3),由AMFg/DAN,可得点F的坐标为(-5, -6),.直线DF的解析式为：j，=x-U, 331 a此时点Q的坐标为(0，-y)；当点Q在y轴正半轴时，构造三垂直如图：VA (2, 0) , D (4, -3),由AMF/ADNA,可得点F的坐标为(1, 6),直线DF的解析式为：y = -3x + 9f此时点Q的坐标为(0, 9)；综上

4、，点0的坐标为(0,9)或(0工).二、构造辅助园”2. (2020淄博节选)如图，在直角坐标系中，四边形OACB 是平行四边形，经过力(-2,0), B , C三点的抛物线V = cix2 +bx + -a 0)与十轴的另一个交点为。，其顶点为M ,对称轴与式轴交于点E.(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线上存 在唯一的点。，使得NP0E = 45。，求点尸的坐标.，将点月的坐标代入抛物线表达式得：0 = 4 2H号, 3a-联立并解得13,故抛物线的表达式为:1,28y = -x + x + - ?“333(2) ( I )当点。在MD之间时，作

5、APE。的外接圆R ,/ ZPQE = 45,故NPRE = 90。，则APEX为等腰直角三角 形，当在直线上存在唯一的点。时，圆R与直线MD相切,点M、。的坐标分别为(1,3)、(4,0),则= EZ) = 4-1 = 3 ,则= 过点R作的 1ME于点”，设点尸(1,2加)，PH = HE = HR = m,则圆&的半径为E，则点及(1 +加/)，SiED SefRD + SgfRE + SgRE y即，XEM即XMD。RO + -XED/ +-xME-RH， 22 22/. x3x3 = x3y/1 xHim + x3xm4-x3x?72 ,2 2223 3解得：加二，故点汽1厂)； 2

6、(II)当点。与点。重合时，由点时、E、。的坐标知，ME=ED ,即乙位DE = 45。；当点P在x轴上方时，当点P与点M重合时，此时ZPQE = 45，此时点尸(1,3)，当点P在x轴下方时，同理可得：点尸(L-3),综上，点P的坐标为(L：)或(1,3)或Q-3).2. (2020营口节选)在平面直角坐标系中，抛物线 )，= &+床-3过点/(TO) , 5(1,0),与y轴交于点C, 顶点为点。.(1)求抛物线的解析式；(2)点产为直线CD上的一个动点，连接BC；如图，点尸在x轴上方，连接尸4交抛物线于点N, ZPAB = ABCO，点M在第三象限抛物线上，连接, 当N4MM=45。时，

7、请直接写出点M的坐标.【解答】(1)抛物线的表达式为：y=一+2工-3；(2) / ZPAB = Z.BCO ,而 tanNBC。，3故设直线月P的表达式为：y = -x + 5 ,将点力的坐标代入 ，3上式并解得：s = l,故直线，”的表达式为：y = $ + l，x=i联立并解得：:故点N(1, ?)；JL JJ7v = I 9设A4MN的外接圆为圆R ,联立并解得：910 n =9当 ZANM = 45。时，则 NARM = 90 , 设圆心A的坐标为(私)，/ AGRA + AMRH = 90 , ZMRH + ZRA1H = 90 ,., /RMH = AGAR ,*/ AR = MR , Z.AGR = ZRHM = 90 ,AAGR = ARHM(AAS), :.AG = m + 3 = RH , RG-nMH