长沙理工大学常微分方程题库

1、01|02|1|8|A1000011_030_1|247解： 是原方程的解。02|02|1|10|A1000011_030_2|248,并求满足初始条件：的特解.解：对原式进行变量分离得两边同时积分得：，即 (这里)把代入得故满足初如始条件的特解02|02|1|9|A1000011_030_3|249并求满足初始条件：的特解.解：对原式进行变量分离得：两边同时积分得：即当时显然也是原方程的解。当时，代入上式得故特解是03|02|1|7|A1000011_030_4|250证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设为所求曲线上的任意一点，则 则：即为所求。03|02|1|

2、8|A1000011_030_5|251设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,此方程有积分因子只与有关 .充分性 若该方程有只与有关的积分因子 .则为恰当方程 ,从而, .其中 .于是方程可化为即方程为一阶线性方程.02|06|1|8|A1000011_030_6|252试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态解: 由 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)对于奇点(0,0)可知不稳定对于奇点(1,2)可知不稳定对于奇点(2,1)可知渐进稳定02|06|1|7|A1000011_030_7|253试求方程的所有奇点,并

3、讨论相应的驻定解的稳定性态解:由得奇点(0,0),(-1/,0)对于奇点(0,0) 驻定解不稳定对于奇点(-1/ ,0) 得驻定解不稳定01|03|1|8|A1000011_030_8|254解：这是克莱洛方程，因此它的通解为，从 中消去c,得到奇解.02|03|1|6|A1000011_030_9|255求曲线族的包络解：对c求导，得，代入原方程得，即，经检验得是原方程的包络.02|03|1|7|A1000011_030_10|256求曲线族的包络解：对c求导，得 2(x-c)-2(y-c)=0, 代入原方程得.经检验,得是原方程的包络.03|03|1|10|A1000011_030_11|

4、257试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从 中消去p后而得的曲线； c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程中消去c而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.01|04|1|7|A1000011_030_12|258解：特征方程故通解为01|04|1|7|A1000011_030_13|259解：特征方程有三重根故通解为03|04|1|9|A1000011_030_14|260设和是区间上的连续

5、函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。证明：假设在，在区间上线形相关则存在不全为零的常数，使得那么不妨设不为零，则有显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关02|04|1|10|A1000011_030_15|261以知方程的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。解：时间方程的基本解组，故存在常数使得：于是：令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：解得： 故又该方程适合初始条件，于是：解得： 故显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：， 而此方程同时满足初始条件，于是：解得：故满足要求的解

6、。03|05|1|9|A1000011_030_16|262试验证是方程组，在任何不包含原点的区间上的基解矩阵。解：令的第一列为,这时 (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示第二列，我们有 (t)这样 (t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det故是基解矩阵。02|05|1|10|A1000011_030_17|263试求，其中 满足初始条件的解。解：知的基解矩阵 则若方程满足初始条件则有若则有01|05|1|9|A1000011_030_18|264解：易知对应的齐线性方程的基本解组为这时由公式得通解为01|05|1|8|A1000011_030_19|265解：易知对应的齐线性方

7、程的基本解组为是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解02|05|1|10|A1000011_030_20|266试用逐步逼近法求方程组 满足初始条件 的第三次近似解. 解： 04|08|1|2|A1000011_030_21|267常微分方程初值问题的数值解法一般分为_法和_法。单步，多步04|08|1|1|A1000011_030_22|268求解常微分方程初值问题的Adams公式是_步法。多05|08|1|1|A1000011_030_23|269求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（ ）步法。A、多 B、2 C、3 D、1 D05|08|1|1|A1000011_030_24

8、|270梯形公式是求解常微分方程的（ ）阶方法。A、2 B、4 C、3 D、5 A06|08|1|1|A1000011_030_25|271R-K法是一类低精度的方法。 ( )错06|08|1|1|A1000011_030_26|272求解微分方程初值问题的二阶R-K方法是多步法。 ( )错02|08|1|6|A1000011_030_27|273用Euler法求解 ，保留两位小数。n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.21.521.982.623.4602|08|1|5|A1000011_030_28|274用改进的Euler法（梯形公式）解初值问题 取步长，至少保留5

9、位小数。 n012345xn11.21.41.61.82.0yn22.307692.473372.562582.610622.6364906|07|1|1|A1000011_030_29|275单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( )对06|07|1|1|A1000011_030_30|276牛顿法是二阶收敛的。 ( )错06|07|1|1|A1000011_030_31|277求方程在区间1, 2内根的迭代法总是收敛的。 ( )错04|07|1|3|A1000011_030_32|278设可微,求方程的牛顿迭代格式是_；04|07|1|4|A1000011_030_33|279用二分法求方

10、程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为_，要求准确到，则至少应二分_次； ,1002|07|1|5|A1000011_030_34|280用二分法求方程的正根，使误差小于0.05。02|07|1|4|A1000011_030_35|281用牛顿切线法求的近似值。取, 计算三次，保留三位小数。02|07|1|4|A1000011_030_36|282用割线法求方程的在附近的一个根，精确到小数点后第二位。06|09|1|1|A1000011_030_37|283在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )对06|09|1|1|A1000011_030_38|284向前差分与向后差分不存

11、在等量关系。 ( )错04|09|1|2|A1000011_030_39|285已知某函数的二阶向前差分为0.15,则其二阶向后差分为_。04|09|1|2|A1000011_030_40|286利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t，其计算公式为t =_。05|09|1|1|A1000011_030_41|287 ( )是利用函数的值求自变量的值。 A、三次样条插值 B、反插值 C、分段插值 D、爱尔米特插值 B05|09|1|1|A1000011_030_42|288当线性方程组满足 ( )时称为超定方程组。A、未知数的个数等于方程的个数 B、未知数的个数大于方程的个数C、

12、未知数的个数小于方程的个数D、未知数的个数与方程的个数大小任意 C02|09|1|4|A1000011_030_43|289已知，按最小二乘原理求一次多项式拟合上述数据。02|09|1|6|A1000011_030_44|290求超定方程组 的最小二乘解。 x=（1.6530, 0.6612）T04|10|1|4|A1000011_030_45|291已知，则三点式高斯求积公式为_，用抛物线求积公式求得_。04|10|1|4|A1000011_030_46|292已知，则用三点式可求得_，_，_，且_。05|10|1|1|A1000011_030_47|293求积公式研究的误差为。A、观测误差

13、 B、模型误差 C、舍入误差 D、截断误差 D05|10|1|1|A1000011_030_48|294梯形公式、抛物线公式及n阶N-C求积公式的代数精度分别至少为（ ）。 A、1,2,n B、2,3,n C、1,3,n D、1,4,n+1 C06|10|1|1|A1000011_030_49|295梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。 ( )错06|10|1|1|A1000011_030_50|296在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 ( )错02|10|1|5|A1000011_030_51|297n=4，用复合梯形公式求的近似值，取四位小数，并估计误差。02|10|1|4

14、|A1000011_030_52|298用复合抛物线公式计算，要使截断误差不超过，应至少将区间0，1.5多少等份？806|11|1|1|A1000011_030_53|299高斯塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。 ( )错06|11|1|1|A1000011_030_54|300逐次超松弛迭代法是高斯赛德尔迭代法的一种加速方法。 ( ) 对04|11|1|1|A1000011_030_55|301QR算法是用来求_矩阵的全部特征值的一种方法。任意实的非奇异04|11|1|1|A1000011_030_56|302雅可比方法是用来求_矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。 实对称05|1

15、1|1|1|A1000011_030_57|303幂法的收敛速度与特征值的分布（ ） A、有关； B、无关； C、不一定。 A05|11|1|1|A1000011_030_58|304幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。A、按模最大； B、按模最小；C、任意一个； D、所有的。 A02|11|1|1|A1000011_030_59|305用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组 取，列表计算三次，保留三位小数。x=（2.444, 0.333, -2.531）T06|12|1|1|A1000011_030_60|306在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 ( )错04|

16、12|1|2|A1000011_030_61|307已知，则三次插值基函数=_。05|12|1|1|A1000011_030_62|308函数表示线性插值( )点的基函数. A、； B、 ； C、 D、。 A05|12|1|1|A1000011_030_63|309过点的二次插值多项式中的系数为( ).A、0.5 B、0.5 C、2 D、-2 A02|12|1|5|A1000011_030_64|310已知求的牛顿插值多项式，及的近似值，取三位小数。06|01|1|1|A1000011_030_65|311一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( )对04|01|1|3|A100001

17、1_030_66|312是x舍入得到的近似值，它有_位有效数字，误差限为_，相对误差限为_；05|01|1|1|A1000011_030_67|313舍入误差是( )产生的误差。A、只取有限位数 B、模型准确值与用数值方法求得的准确值C、观察与测量 D、数学模型准确值与实际值 A05|01|1|1|A1000011_030_68|314用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。A、模型 B、观测 C、截断 D、舍入 C02|01|1|5|A1000011_030_69|3153.142，3.141，分别作为的近似值，各有几位有效数字？4位，3位，3位02|01|1|4|A1000011_

18、030_70|316设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？03|20|1|10|A1000011_030_71|317设及在区域内连续，对于初值问题的解，证明    1. .    2. .1由于是齐次线性方程的初值问题的解, 写出解的积分表达式即知.2由于是齐次线性方程的初值问题: 的解；另外也是解, 由解的唯一性, 02|21|1|6|A1000011_030_72|318求 Clairaut 方程的通解及奇解.通解, 奇解.02|14|1|8|A1000011_030_73|319求初值问题通过点的第三次近似解.&

19、#160;   , (注意：含的一项是不精确的，该项精确的表达式应为，这可从求时看出)02|14|1|5|A1000011_030_74|320求初值问题的解, 此初值问题的解是否唯一? 是否满足Lip条件? 唯一解为；不满足 Lip 条件03|14|1|5|A1000011_030_75|321证明第 n 次近似解与真解的误差表达式:利用 Lip 条件和的界用数学归纳法证.02|13|1|10|A1000011_030_76|322求下列初值问题的解的最大存在区间    1. ，    2. ，    3. ，&

20、#160;   4. 1    2    3    4. ，最大存在区间为02|04|1|6|A1000011_030_77|323求方程的通解.02|04|1|5|A1000011_030_78|324求方程的通解.02|06|1|4|A1000011_030_79|325研究下列方程的零解的稳定性    1. .    2. .    3. .    4. .1. 渐近稳定    2. 不稳定    3

21、. 稳定但不是渐近稳定    4. 稳定但不是渐近稳定02|22|1|6|A1000011_030_80|326不求解，判别方程的零解的稳定性，其中    1，    2    31不稳定    2渐近稳定.    3稳定. 02|23|1|4|A1000011_030_81|327判断奇点的类型和稳定性    1) ；    2)     3)          &

22、#160;   4)  1). 稳定两向结点；   2). 鞍点 (不稳定);     3). 不稳定星形结点;    4). 稳定焦点02|23|1|8|A1000011_030_82|328确定下列方程组的极限环，并判别其稳定性   .解:  由, 得方程, 其中, 是闭轨. 当时, , 当时, , 所以是半稳定极限环.02|24|1|8|A1000011_030_83|329对以下系数矩阵A, 求:1. , 2. , 3. , 4. . 1. ,   2. , 

23、0; 3. ,     4. .02|01|1|5|A1000011_030_84|330求函数 (c 是任意常数, 是常数)满足的微分方程.02|01|1|5|A1000011_030_85|331求函数 ( 是任意常数)满足的微分方程.06|13|1|1|A1000011_030_86|332当在平面上连续时，微分方程的解的定义域为，（ ）错06|13|1|1|A1000011_030_87|333函数在平面的某一区域D上关于变量满足局部李普希兹条件，则在D上必须满足李普希兹条件（ ）错06|14|1|1|A1000011_030_88|334方程有唯一常数解。（ ）错

24、06|14|1|1|A1000011_030_89|335证明方程解的存在唯一性定理中所构造的毕卡逐次逼近序列是唯一的。（ ）错06|14|1|1|A1000011_030_90|336方程在区域：上满足解的存在唯一性定理条件。（ ）对05|14|1|1|A1000011_030_91|337微分方程的一个特解是（ ）A、 B、 C、 D、 B05|14|1|1|A1000011_030_92|338 及对任意，原方程均有两个解，则（ ）A、程的初值问题的解不唯一 B、方程的初值问题的解仍是唯一的C、此方程不满足存在唯一定理条件 D、无法确定破坏唯一性 B02|14|1|8|A1000011_

25、030_93|339求初值问题的三次近似解06|15|1|1|A1000011_030_94|340n阶线性方程的线性无关解的个数不超过n个（ ）错06|15|1|1|A1000011_030_95|341线性非齐次方程的任意两个解之差是其对应齐次方程的解（ ）对05|15|1|6|A1000011_030_96|342设，试求方程的通解。02|15|1|5|A1000011_030_97|343求方程的通解，已知方程对应的齐次方程有基本解组05|15|1|1|A1000011_030_98|344微分方程有三个特解，则该方程的通解为（ ）A、 B、C、 D、 C05|16|1|1|A1000011_030_99|345下面函数为方程的解为（ ） A、 B、 C、 D、 B05|16|1|1|A1000011_030_100|346函数是下列哪个微分方程的解（ ）