点线面之间的位置关系

1、点、线、面之间的位置关系【基础回顾】一、三个公理和三条推论公理1:一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 这是判断直线在平面内的常用方法。公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在 同一条直线上。这是 判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和 三条直线共点（证其 中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。公理3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1:经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。二、平行和垂直位置关系的判断方法1、两直线平

2、行的判定：（1）公理4:平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面 相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。2、两直线垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直；（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线；（4）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，

3、如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它 也和这条斜线垂直。（6）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么 它也和这条斜线在平面内的射影垂直。3、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和 这个平面平行；（2）面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平 行。4、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平 面垂直。（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。

4、5、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相 垂直。（2）定义法：即证两个相交平面的二面角为直角；6、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。三、异面直线所成角（1）范围：厂（0,；2（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图 形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面 直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。四、直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线

5、和这个平面所成的角。（2）范围：090打；（3）求法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求；（4）特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。六、二面角：（1） 平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都 垂直。（2）作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：0,二；（4）

6、二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式 SM= S原 cost， 其中二为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出（1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。（3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定 已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高； 等价转移法。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平

7、面的距离都 相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A B间的距离的步骤：计算线段AB的长；计算球心角/ AOB勺弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长【常见题型】题型一：点共线和共面问题P、Q分别为AC与 BD【例1】如图正方体ABCD-ABQDi中，E、F分别为DC和BC的中点,AC与EF的交点.（1）求证：D B、F、E四点共面；（2）若AiC与面DBFE交于点R,求证：P、Q R三点共线. 证明：（1） V 正方体 ABCD -AiBiGDi 中，BBi 仏 DDi，/.

8、 BD BD . 又V BQQ1中，E、F为中点，1 EF / -B1D1. EF/BD ,即 D B、F、E 四点共面.=2（2）v Q 平面AG，Q平面BE， P平面AG，P平面BE， 平面AG n平面BE二PQ.又 AGP!平面BE二R， R 平面AC1， R 平面BE， RPQ.即P、Q R三点共线.【例2】已知直线a/ b c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证：a、b、c、d四线 共面.证明：因为a/ b，由公理2的推论，存在平面：，使得a : ,b :-.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1，d :-.假设Cd,则cn ： =C,在平面内过点C作cb

9、,因为b/ c,则c/c，此与cPlcC矛盾.故直线c二很.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原 因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.题型二：求异面直线所成角【例1】如图中，正方体 ABCABQD, E、F分别是AD AA的中点.（1）求直线AB和CC所成的角的大小；（2）求直线AB和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结 DC,DC II AB, DC和CC所成的锐角/ CCD就是AB和CC所成的角./ CCD=45,二 AB

10、 和 CC所成的角是 45.（2）如图，连结DA、AiCi,EF/ AD, AB/ DC,： / ADC 是直线 AB 和 EF 所成的角.ADC是等边三角形，二/ ADC=60o，即直线AB和EF所成的角是60o.【例2】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和 CD所成的角的大小. 解：分别取AC AD BC的中点P、M N连接PM PN,由三角形的中位线性质知 PN/ AB,PM/ CD,于是/ MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示） 连结 MN DN 设 AB=2,二 PM=PN=1.而 AN=DN=，由 MNLAD, AM=1,得, mN=mP+nP,./

11、 MPN900.异面直线 AB CD成 90角题型三：直线与平面平行的位置关系【例4】已知P是平行四边形/平面PEC证明：设PC的中点为G, F为PD中点，ABCD所在平面外一点，E、F分别为连接EG FG GF/ CD且 GF=- CD2 AB/ CD AB二CD, GF/ AE,GF=AE,EG/ AF,又 AF二平面PEC EG 平面PECE为AB中点，四边形AEGF为平行四边形.ABAFAF/ 平面 PEC求证：EF/平面BBDD.【例5】在正方体ABCDAB1CD中，E、F分别为棱BC GD的中点.证明：连接AC交BD于O,连接OE则0日/ DC 0匡丄DC2 DC/ DG , DC

12、=DG , F为 DG 的中点, OE/ DF , OE=DF ,四边形DFEO为平行四边形.EF/ DQ又EFU平面 BBDD, DQu平面 BBDD,EF/平面 BBDD.【例6】如图，已知BC 的中点E、F、G、M分别是四面体的棱 AD、CD、， 求证： AM / 平面 EFG证明：如右图，在 BCD 中，G、FT G为BD中点，在 AMD 中, T E、连结DM，交GF于0点，连结0E， 分别是BD、CD中点， GF/BC， 0为MD中点，0 为 AD、MD 中点， EO/AM，又I AM 平面EFG， EO 平面EFG， AM / 平面 EFG .点评：要证明直线和平面平行，只须在平

13、面内找到一条直线和已知直线平行就可以了 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用【例7】经过正方体 ABCDABCD的棱BB作一平面交平面 AADD于EiE，求证：EiE/ BiBC1C证明：T AA, / BB1, AA 平面 BEE1B1,BB1 平面 BEE1B1， AA 平面 BEE1B1 .又 AA 二平面 ADD1A，平面 ADD1A1 门平面 BEE1B1 = EE1， AA1/EE1.nt AA1 / BB1则=BBJ/EE1.AA / EE1【例 8】 如图， AB/，AC/BD，OS-，Dh*，求证： AC=BD.证明：连结CD，T AC / BD，直线AC和BD可以确

14、定一个平面，记为，T C,D 三用，C,D ：= l：-，:门二CD，T AB :， AB 二.，二 CD AB/CD，又 T AC / BD， 四边形ACDB为平行四边形， AC二BD .题型四：平面与平面的位置关系【例1】如右图，在正方体 ABCA1B1C1D中，M N、P分别是CQ BQ、CQ的中点，求证:平面MN/平面ABD证明：连结BD,t p、N分别是DG、BC的中点， PN/ BD. 又 BD / BD， PN/ BD又PN不在平面ABD上， PN/平面ABD同理，MN/平面 ABD 又PNn MN=N, 平面PM/平面 ABD【例2】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行

15、四边形.点M N Q分别在PA BD PD上, 且PM MA=BN ND=PQ QD 求证：平面 MNQ平面PBC证明：了 PM MA=BN ND=PQ QD MQ/ AC, NQ/ BP,而Bfc平面PBC NQu平面PBC NQ/平面PBC又：ABCD为平行四边形，BC/AD, M(/ BC,而BC 平面PBC MQ二平面PBC MQ 平面PBC由MQ N(=Q,根据平面与平面平行的判定定理,平面MNQ平面PBC点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相 交直线平行于一个平面后，转化为面面平行 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线 的平行【例4】直四棱

16、柱ABCDABQiDi中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱AA = 3 , M N分别 为ABi、AD的中点,E、F分别是BQ、CQ的中点.(1)求证：平面 AMM平面EFDB (2)求平面AMNf平面EFDB勺距离.证：(1)连接AiCi,分别交MN EF于P、Q 连接AC交BD于0,连接AP、0Q由已知可得 MN/EF , MN /平面EFDB .由已知可得，PQ / A0且PQ =A0. AP / 0Q , AP/平面 EFDB . 平面 AM平面 EFDB解：(2)过A作平面AMNf平面EFDB勺垂线，垂足为H、H,易AH _AP 1HH 一 PQ 2 .由 AP =JaA2 +A

17、P2 =32 +(空)2 =愛，根据 Vamn =Va*n ,贝 UV42738鲨恵I-AHU 3，解得AH二口9 .所以，平面 AMN323219与平面EFDB勺距离为罟.点评：第(1)问证面面平行，转化途径为“线线平行一线面平行一面面平行”第(2)问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然 后利用等体积法求距离.等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维, 将此例中的两个平面的距离，转化为求点 B到平面AB C的距离.【例5】已知正方形ABCD勺边长为1,分别取边BC CD的中点E、F,连结AE EF、AF,以 AE EF、FA为折痕，折

18、叠使点B、C、D重合于一点P.(1) 求证：API EF； (2)求证：平面 APEL平面APF证明：(1)如右图，/ APE：/ APF=90,PEn PF=P, PA!平面 PEF / EFu平面 PEF, PAI EF.(2) v/ APE=/EPF=90,APn PF=P,a PE丄平面 APF 又PEu平面PAE二平面 APEL平面APF【例6】如图,在空间四边形ABCD中, AB=BC, CD=DA, E,F,G分是CD,DA,AC的中点，求证：平面 BEF_平面BGD . 证明：AB=BC,G为AC中点，所以AC丄BG.同理可证AC_DG,二AC _面BGD 又易知EF/ AC,则EF丄面BGD又因为EF 面BEF 所以平面BEF _平面BGD .【例7】如图，在正方体ABCD AiBiCiDi中，E是CCi的中点，求证：平面ABD _平面BED .证明：连接AC交BD于 F,连接AF，EF, AE，AG .BD的中点，所以由正方体 ABC D i A1B1C，易得 AD =AB， ED 二 EB， F 是 A F _ B D E_F B得到 AFE是二面角Ai - BD -E的平面角.设正方体ABCD ABQDi的棱长为2,贝UAF2 =AA2 +AF2 =22 +(J2)2 =6， EF2 =CE2 +CF2 =12 +(72)2 =3，AE2 =AG2