线性代数-相似矩阵

1、第五章 相似矩阵及二次型 §1 向量的内积、长度、正交性一、向量空间的内积、长度和夹角1内积的定义： 内积的符号：括号或方括号2内积性质（1）对称性 （2）（3）（4）正定性：，的充要条件是3向量的长度 的单位化向量：4向量长度的性质（1）非负性 （2）齐次性 （3）柯西不等式: （4）三角不等式: 证（3）5向量夹角定义设,是Rn的两个非零向量，规定它们的夹角为 （0 ）6向量正交定义 若，则称正交，即 =二、向量空间的单位正交基1正交向量组定义 一组非零的n维向量，如果他们两两正交，则称之为正交向量组。2定理1 正交向量组线性无关P113例1 已知两个向量a1=（1,1,1）与a

2、2=（1, -2, 1）正交, 求一个非零向量a3 , 使之这三个向量两两正交。解 设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足 （a1,a3）= 0, （a2, a3）= 0即 x1 x2 x3 = 0, x12x2 x3=0 这是一个齐次线性方程组AX= 0,即，由，得，方程组的通解为，即取c = 1, 则a3=即为所求。3正交基、规范正交基（单位正交基）正交基由正交向量组构成的基称为正交基。规范正交基（单位正交基）正交基中的向量是单位向量。4向量正交化施密特方法：将基改造为正交基（P114）例2 用施密特方法把基正交化（P114）例3 已知 ，求一组非零向量，使两两正

3、交。解 应满足，即解这个齐次线性方程组得，通解为，即，基础解系为，把基础解系正交化，于是得三、正交矩阵1定义4 若A是一个n阶实矩阵，且满足，称A 是正交矩阵。 因为 所以 A是正交矩阵 （充分必要） 2正交矩阵的构造定理 n阶正交矩阵列(行)向量组是Rn的单位正交基。证 （略）堂上练习 下列矩阵是不是正交矩阵 ，3正交矩阵的性质P116(1)若A为正交矩阵，则为正交矩阵(2)若A，B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵(3)若A为正交矩阵，则det(A)=1或det(A)=14正交变换的保形性（略）定义5 若P为正交矩阵，则线性变换Y= PX称为正交变换正交变换保持向量的内积、长度、夹角P-正

4、交矩阵（PX, PX）= (X, X)| PX | = | X |5. 矩阵的QR分解 （略） 定理5.8 设A是满秩n阶矩阵，则存在n阶正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A=QR证明： （略）§2 方阵的特征值与特征向量1. 定义6 (P117) 2. 特征矩阵、特征多项式、特征方程3. 求特征值和特征向量的步骤例 （类似P118 例6）13作业 P134 1, 2(1), 3，4，5，例 8 设是方阵A的特征值，证明（1）是的特征值；（2）当A可逆时，是的特征值证 （1）因为是方阵A的特征值，设p是对应的特征向量，故有 ， 所以是的特征值。 （2）当A可逆时，存在，由，得，因为，所以

5、有，即是的特征值。3特征向量的性质 例9 设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求 A*+3A- 2E的特征值。 解 因为A的特征值不为0，所以A可逆，由 ，得，而，所以 A*+3A- 2E= 从而得的特征值为。 （即P120的定理2） §3 相似矩阵1 定义7 （P121）2 性质 （即定理3 P121）推论 若n 阶矩阵A与对角矩阵 相似，则是A的n个特征值。3 矩阵可对角化的条件 定理4 推论4 例11 （P123） 设 ，问x 为何值时，矩阵A可以对角化？ 解 （先求A的特征值，如果A有三个不相等的特征值，那么可以对角化；如果有重根，根据矩阵A可对角化的充分必要条件：“重根对应

6、相同重数的特征向量要线性无关”来判断） 若，那么（第二章 P45例13）§4 对称矩阵的对角化1 定理 定理5实对称矩阵的特征值都是实数定理6 设是对称矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交。 定理7 设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得为对角矩阵，即 , 是A的特征值。3例已知实对称矩阵 求正交矩阵Q, 使为对角矩阵。方法步骤：（1） 求A的特征值（2） 求特征值对应的特征向量（3） 把特征向量正交化、单位化，形成单位正交基，即可写出所求的正交矩阵。解 验证上述结果。例13 设，求。解 因A是对称矩阵，所以可对角化，即有可逆矩阵P使，于是，从而。（下面求A的特征值及

7、特征向量，由特征向量组成P）由，得A的特征值。 对应，由，得特征向量；对应，由，得特征向量；并有，在求出，所以。14作业 P135 9, 12, 15, 17，19（1）§5 二次型及其标准形1 定义 二次型的矩阵记号 其中，即A是对称矩阵。 对称矩阵A与二次型f存在一一对应的关系：对称矩阵A称为二次型f的矩阵， f称为矩阵A的二次型， A的秩为f的秩。 例2 二次型的标准型（只含平方项） 3. 把二次型化为标准形定理8 任给二次型，总有正交变换使f化为标准形 ，其中是f的矩阵的特征值。例14 §6 用配方法把二次型化为标准形§7 正定二次型15作业P135 19(1), 26作业主要问题一 行列式 范德蒙行列式 余子式，代数余子式 P21 例13行列式性质 P27 8(2)二 矩阵 矩阵乘法，矩阵方程 P55 11(2)(4) 求逆阵：初等变换方法(P64 例2)，伴随矩阵方法 证明逆阵存在并求逆阵 P56 21 方阵的行列式 三 初等变换 方程组解的讨论 通解 求秩 行最简形 P78 1(4) 方程组解的讨论四