(完整word版)几何证明——角平分线模型(中级)

1、初中几何证明专题几何证明一一角平分线模型（中级）【知识要点】1、角平分线：（1 ）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）；（2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线）。2、角平分线常见用法（或辅助线作法）： 垂两边：如图1，已知BP平分 ABC，过点P作PA AB，PC BC，则PA PC。 截两边：如图2，已知BP平分 MBN，点A BM上，在BN上截取BC BA，贝U ABP也 CBP。 角平分线+平行线t等腰三角形：如图3,已知BP平分ABC ,PA/AC，则AB AP

2、 ;已知BP平分ABC ,EF /PB，则BEBF 。如图4,三线合一（利用角平分线+垂线t等腰三角形）如图5，已知AD平分BAC，且 ADBC，则 AB AC , BD CD 。12角平分线模型(5)3、角平分线比例定理AB BD AB AC如图6, AD为 ABC的角平分线，则或AC CD BD CD【经典例题】例1、已知如图，ABC中，BC AC, AD平分 CAB，若 C 90，求证：AB AC CD ；例2、如图，在Rt ABC 中,ACB 90，CD AB 于 D，AF 平分CAB交CD于E，交CB于F，且EG / AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何?例3、已知如图，

3、ABC中，BC AC，AD平分 CAB，若 C 108，求证：AB AC BD ；例4、如图：已知I是 ABC的内心，DI/AB交BC于点D，EI/AC交BC于E。求证：DIE的周于BC 。例5、如图：已知在 ABC中， ABC的平分线与 ACB的外角平分线交于点 D , DE / BC，交AB于 点E，交AC于点F，求证：EF BE FC 。M例6、如图，已知 ABC中 BAC 90 ,AB AC,CD垂直于 ABC的平分线BD于D , BD交AC于E , 求证：BE 2CD。【提升训练】1、如图，已知 ABC的周长是21,OB,OC分别平分 ABC和 ACB , ODABC的面积.BC于D

4、，且0D 3，求CO，贝U Sa abo: Sabco:3.如图，/ AOB=30° , OP 平分/ AOB , PC/ OB ,PD丄OB，如果PC=6，那么PD等于2 如图， ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点 SA CAO =.4 .如图，AD是厶ABC的角平分线，DF丄AB，垂足为F, DE=DG，A ADG和厶AED的面积分别为 50和39,求 EDF的面积.5.已知如图在 A ABC中，/ ACB=90° , CD丄AB于D，/ A的平分线交 CD于F, BC于E,过点E作EH丄AB于 H .求证：EC=CF=EH .6

5、已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G,7如图，等边 ABC中，AO是/ BAC的角平分线，D为AO上一点，以BE 求证： ACD BCE ;延长BE至Q，P为BQ上一点，连接 CP、连接（1）（2）8如图，已知在 ABC中, 个距离是多少？/ B=90°，两直角边9.已知：如图在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD=9 : 7,求：D 到AB边的距离.10 如图， ABC中，点D在BC上，记 ABD的面积为Si， ACD的面积为S2，若S1:S2=AB : AC ,贝UAD是厶ABC的角平分

6、线.请说明理由.11、如图，已知在ABC中，分别以AC, BC为边向外作正BCE、正ACD，BD与AE交于M，求证:(1) AEBD °（ 2）MC 平分 DME。E12、已知：如图，APCP分别是 ABC外角 MAC和NCA的平分线，它们交于点 P，求证：BP为MBN的平分线。N13、如图，AB 2AC, BADDAC,DA DB，求证：DC AC。C14、如图，已知 AC / BD、EA、EB分别平分 CAB和DBA,CD过点E，求证:AB AC BD 。15、如图， ABC中，AD是 A的平分线，E,F分别为AB, AC上一点，且 EDF BAF 180，求证：DE DF。16

7、、已知：AC 平分 BAD，CE AB， B D 180，求证：AE AD BE。17、已知，在 ABC中，BP、CP为角平分线，过P点作EF / BC交AB于E，交AC于F。求证：EF BE CF 。18、已知如图， AD平分 BAC，AC AB BD，求证:119、如图，在四边形 ABCD中，AC平分 BAD，过C作CE AB于E，并且AE (AB AD)，求 2证：ABC ADC 180 。DeBB的平分线与 AC和GE分别交于D、E，20、已知 ABC 中，AB AC，GE 过 A 且 GE BC，的平分线与 AB和GE分别交于F、G。求证DE FG 。21、如图，已知线段 AB /

8、CD , AD与BC相交于点F , BE平分1ABC , AE AD，猜想线段 AB、2BC、CD三者之间有怎样的等量关系 ？请写出你的结论并予以证明。22、如图，已知 ABC中，CE平分 ACB，且AE CE , AEDCAE 180，求证：DE/BC。23 .如图所示，在四边形 ABCD中，/ A=90° AD=4，连接 BD , BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC边上一动 点，贝U DP长的最小值为 .24 如图所示，过线段 AB的两个端点作射线 AM、BN，使AM II BN，/ MAB和/ NBA的平分线交于点 E，过 点E作一直线垂直于 AM，垂足为点 D，交B

9、N于点C.(1) 观察DE、EC，你有什么发现？请证明你的结论；(2) 请你再研究 AD+BC与AB的关系，并给予证明.25 已知：如图所示， AQ，BM，CN是厶ABC的三条角平分线试说明AQ，BM，CN交于一点.26 .如图， ABC中，/ C=90，AD是角平分线,AC=8，AD=，求/ B、BC、AB .27 如图，已知/ BAC=90°，AD 丄 BC 于点 D，/ 1 = / 2，EF II BC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF .28 如图，已知点 B, C分别在射线 AN , AM 上，/ MCB与/ NBC的平分线交于点 P.(1) 求证：AP平分/ BAC

10、 ;(2) 若/ ACB=90 , PC=4 近,PB=5 , AB=7，求 AP 的长.29 .如图， ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度数.30 .如图，在 ABC中，/ C=90°，M为AB的中点，DM丄AB，CD平分/ ACB，求证：MD=AM31 .如图， ABC中，D为BC的中点，DE丄BC交/ BAC的平分线于 E，EF丄AB，交AB于F, EG丄AC ,交 AC的延长线于 G,试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.32 已知：点 P为/ EAF平分线上一点， PB丄AE于B , PC丄AF于C,点M、N分别是射线 AE、AF上的点，且PM=PN (1) 当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时(如图1),求证：BM=CN ;(2) 在(1)的条件下， AM+AN= AC ;(3) 当点M在线段AB的延长线上时(如图 2),若AC : PC=2 : 1，PC=4，求四边形 ANPM的面积.33 .已知：/ DAB=120°，AC 平分/ DAB，/ B+ / D=180° .(1) 如图 1,当/ B= / D 时，求证： AB+AD=AC ;(2) 如图2,当/ BZ D时，猜想(1)中的