(完整版)《数学分析》无穷小量与无穷大量

1、§ 无穷小量与无穷大量教学目的 ：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求 ：作为函数极限的特殊情形， 要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim an 0. 我们称之为无穷小数nn列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：limsin x 0, lim x2 0,Lx0 x 0我们给这类函数一个名称“无穷小量” 。既然有“无穷小量” ，与之对应的也应有“无穷大量” ，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量 有哪些性质呢？

2、以上就是我们今天要给大家介绍的内容无穷小量与无穷大量。一、无穷小量x0 时的无穷小量。记作：1定义 ：设 f 在某 U 0（x0） 内有定义。若 lim f（x） 0，则称 f 为当 x x x0f (x) 0(1)(x x0).类似地可以定义当 x x0 ,x x0 ,x,x ,x 时的无穷小量）例： xk（k 1,2,L ）,sin x,1 cosx 都是当 x 0时的无穷小量；1 x 是当 x 1 时的无穷小量；1 sinx2 , 是 x 时的无穷小量。 x2 x2无穷小量的性质（）先引进以下概念定义 （有界量 ）若函数 g在某 U 0 （ x0 ）内有界，则称 g为当 xx0 时的有界

3、量，记作：例如： sinx 是当 x时的有界量，即 sin x O（1）（x1） ; sin1 是当 x 0 时的有界量，即 x1 sin O(1)(x 0).xg(x) O(1)(xx0).注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若 f (x) 0(1)(xx0)，则 f (x) O(1)(xx0).区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数 f是有界函数或函数 f 是有界的，意味着存在 ，f 在定义域内每一点 x ，都有 | f （x）| M 。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关” 的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（）性质性质 两个（相同类型的）无穷小量之和、

4、差、积仍为无穷小量。性质 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。，是在某点性质lim f(x) A f(x) A是当 x x0 时的无穷小量 x x0lim( f(x) A) 0.x x0例如；问题：lim x2 sin 1 0 ， lim( x2 x3) 0,lim xsinx 0.x 0 x x 0 x 0 两个(相同类型的)无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：2 2 2 lim x 0,lim x2 ?,lim x2 1,lim sin x 1,lim 2x2 2 . x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x2引申 ：同为无穷小量， lim xx0x0，而lxim0 xx2

5、不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛于 (或趋近于) 的速度有快不慢。 就上述例子而言， 这个“级别” 的标志是 x 的“指数”，当 x 0 时， x 的指数越大，它接近于的速度越快。这样看来，当x 0时， x2的收敛速度快于 x 的收敛速度。所以其变化结果以 x2 为主。此时称x2是(当 x 0时) x的高阶无穷小量，或称x 0 时， x 是2x2 的低阶无穷小量。般地，有下面定义：设当 x无穷小量阶的比较(主要对 xx0 叙述，对其它类似)记作 f(x)例 limx0k1xkx问题引申x0 时， f ,g 均为无穷小量。若 lim f (x)x x0 g(x)0

6、 ，则称 xx0时 f 为 g 的高阶无穷小量，或称的低阶无穷小量，lxim10(g (x)( xx0) . 即 f (x)0(g(x)(xx0)xlimx0 gf (xx)0.x21x与上述记法：k0(xk)(x 0) ，1 cosx lim x 0 sin xxlim tan 0 1x 0 2cosx0(sin x)(x 0).f(x)2x) 0 ，此时是可说 1 x20(1 x)(x 1) ？0( g( x)( xx0)相对应有如下记法： f(x) O(g(x)(xx0) ，这是什5 / 6么意思？含义如下：若无穷小量 f 与 g 满足关系式f(x) g(x)L,x U0(x0)，则记作

7、 f(x) O(g ( x)( x x0) .例如，() 12cosx O(x )(xx0) ， x(2 sin ) O(x)(x 0).)若f (x) 0( g ( x)( xx0)f (x) O(g(x)(xx0) .注 等式 f (x)0( g ( x)( xx0) ，f(x) O(g(x)(x x0) 等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类(一类函数)，而中间的“”叫的含义是。例如：1 cosx 0(sin x)( x 0) ， 其 中 0(sin x)f |lim f(x) 0 ， 而 上 述 等 式 表 示 函 数 x 0 g(x)1 cosx f |

8、lim f(x) 0 。为方便起见，记作 1 cosx 0(sin x). x 0 g(x) 若存在正数和，使得在某U0(x0)上有 Kg(x)L ，则称 f 与 g 为当 xx0 时的同阶无穷小量。lim xx0需 要 注 意 ： limx1 lim x(2 sin ) x 0 xf(x)0 g(x)不存在，并不意味着 f 与 g 不全为同阶无穷小量。如1x(2 sin )0， limx lim(2x 0 x x 01sin ) 不存在。但 x3，所1以x与 x(2 sin )为当 xx0 时的同阶无穷小量。由上述记号可知： 若f 与 g 是当 x x0 时的同阶无穷小量， 则一定有： f

9、(x) O(g(x)(xx0) 。)若 lim f (x)x x0 g(x)1，则称 f 与 g 是当 x x0时的等价无穷小量，记作f (x): g(x)(xx0) .例如：) lim sin x 1 x 0 xsinx: x(x 0); ) lim 2(1 c2osx) 1 1x 0x22xcosx : (x20) .对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等 价量法”。定理 设函数 f 、 g 、 h在U0(x0) 内有定义，且有 f(x): g(x)(x x0). (1) 若lim f (x)h(x) A ，则 lim g(x)h(x)x x0

10、 x x0A；(2) 若lximx h(x)x x0 f (x)B, ，则 lximx h(x)x x0 g(x)B.例 求lim arctgx .x x0 sin4x 例 求极限 lim tgx si3nx .x x0 sinx3 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代 , 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征其商是有 界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。lim x2x x00.1 例如 lim xsinx x0x、无穷

11、大量问题 “无穷小量是以为极限的函数” 。能否仿此说“无穷大量是以 为极限的函数” 。 答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲为函数 f (x) 当 xx0 时的极限，意味着是一个确定的数，而“ ”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以 为极限的函数” 。但是，确实存在着这样的函数，当 x x0 时， f (x) 与 ( or ) 无限接 近。111例如：) f(x) ，当 x 0时， 与 越来越接近，而且只要 x 与充分接近， 就会无xxx1 限增大；) f(x) ，当 x 1时，也具有上述特性。x1在分析中把这类函数 f (x) 称为当 x x0 时有非

12、正常极限。其精确定义如下：非正常极限定义 (非正常极限 ) 设函数 f (x) 在某 U (x0) 内有定义，若对任给的 >0，存在 0 ，当 x U0(x0; )( U0(x0) 时有 | f(x)| M ，则称函数 f(x)当 x x0时有非正 常极限 ，记 作 lim f(x) 。x x0注：)若“ | f(x)| M ”换成“ f(x) M ”，则称 f(x)当 x x0时有非正常极限；若换成 f(x) M , 则称 f (x) 当 x x0时有非正常极限，分别记作 lim f(x) ,lim f(x) .x x0x x02) 关于函数 f 在自变量 x的其它不同趋向的非正常极限

13、的定义， 以及数列 an 当 n 时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如：lim f(x) M 0，当 x M 时， f (x) M ;xlim anM 0， N 0，当 n N时， an M .n无穷大量的定义定义 对于自变量 x 的某种趋向(或 n )，所有以 , or 为非正常极限的函数(包括 数列)，都称为 无穷大量 。1例如： 2 当 x 0 时是无穷大量； ax (a 1)当 x时是无穷大量。;)若 f 为 x x0 时的无穷大量，x注：)无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数f(x) xsin x在U( )则易见 f 为U0(x0) 上的无界函数，但无界函数却不一定是

14、无穷大量。例如；上无界，但 lim f(x);)如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定x义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。利用非正常极限定义验证极限等式例 证明 lim 12x 0 x2例 证明；当 a 1时， lim ax x三、无穷小量与无穷大量的关系定理 ()设 f 在U0(x0) 内有定义且不等于，若f 为当 x x0 时的无穷小量，则1 为 x x0 时1的无穷大量； ()若 g为 x x0时的无穷大量，则为 x x0时的无穷小量。g四、曲线的渐近线 引言2 x 作为函数极限的一个应用。 我们讨论曲线的渐近线问题。 由平面解析几何知： 双曲线 x2 a2y2

15、 1 有两条 b渐近线 x a y 0 。那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？ b曲线的渐近线定义定义 若曲线上的动点 p 沿着曲线无限地远离原点时，点p与某实直线的距离趋于零，则称直线为曲线的渐近线。形如 y kx b 的渐近线称为曲线的斜渐近线；形如x x0 的渐近线称为曲线的垂直渐近线。 曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？)斜渐近线假设曲线y f(x) 有 斜 渐 近 线 y kx b ， 曲线上动点 p 到渐近线的距离为|PN | |PM cos1| | f (x) (kx b)| 依渐近线定义，当1 k2时( x或 x 类似)，|PN | 0 ，即有limxf (x)(kxb)lim f(x)xkxb，又由limxf(x)xklimx1x f(x)xkxk 0 lim f(x) k . xx由上面