《平行四边形的性质》典型例题

1、平行四边形的性质典型例题平行四边形的性质典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的 四个内角各是多少度？例2已知：如图，夕ABCD的周长为6 Ocm,对角线/1C、相交于点O, 的周长比ABOC的周长多8 c m,求这个平行四边形各边的长.例3已知：如图，在夕A3CD中，AC. BQ交于点。过O点作EF交力乩CDE. F,那么OE、OF是否相等，说明理由.例4已知:如图，点E在矩形ABCD的边上，lDE = AD.AF丄DE, 垂足为F求证：AF = DC.例5 O是口 AB CD对角线的交点，AOBC的周长为59,30 = 38,AC = 24，则AD=，若O

2、BC与OAB的周长之差为15,则A3=,DAB CD 的周长二.A. DB例6已知：如图、口ABC D的周长是36cm,llI钝角顶点刀向AB.BC引两条高DE、DF,且DE =, DF = 5cm 求这个平行四边形的面积.例7 如图，已知:DAB C D中，AE丄于E.AF丄CD于F,若Z£AF=60°,BE = 2cm, FD = 3cm 求:A B、B C的长和DABCD的面积.参考答案例1 分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.解 设平行四边形的一个内角的度数为X,则它的邻角的度数为3x,根据题 意，得兀+3x = 18O,解得x = 45,

3、3x = 135.这个平行四边形的四个内角的度数分别为45。,135。，4 5°, 135°.例2 分析 由平行四边形对边相等，可知AB+BC=平行四边形周长的一 半= 30cm, 乂由AAO3的周长比ABOC的周长多8 c m,可知A-C=8cm, 由此两式，可求得各边的长.解四边形ABCD为平行四边形,AB = CDyAD=BC,AO = OO.AB+CD + AD+ BC = 60,A AB+BC =30.AO+AB+OB-(OB + BC+OC) = S,ABBC = & AB = CD = 9,BC=AD = .答：这个平行四边形各边长分别为1 9cm,

4、1 lcm, 19cm, 1 1 cm.说明:学习本题可以得出两个结论：(1)平行四边形两邻边之和等于平行四边 形周长的一半.(2)平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长 之差等于邻边之差.例3 分析 观察图形,5ABO三MDO、MEO三aCFO、BOE三HDOF，从 而可说明OE = OF.证明 在夕ABCD中，.AC、3£>交于O, AO = OC.AB/CD , ZEAO= ZFCO, ZAEO= ZCFO,:、SAEO= CFO(AAS), OE = OF.例4 分析观察图形，MFD与ADCE都是直角三角形，且锐角 ZADF = ZDEC,斜边AD= D

5、E,因此这两个直角三角形全等。在这个图形中, 若连结AE,则43£与厶4尸£全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形 A BCD 是矩形， A£>/BC,ZC = 90°,. ZADE=ZDEC.AF丄DE, ZAFD= ZC = 90°,又 AQ =DE,； MFD三 ADCE。： AF = DC.例 5 解答 口ABCD 中,OA = OC = -AC , OB = OD = -BD.2 2OBC = OB + OC + BC = -BD+-AC+ BC2 2= 19+12+BC=59 3C = 28.在口A BCD 中，

6、BC = AD.:. AD = 28AOBC的周长-AOAB 的周长=(OB+OC + BC)-(OA+OB + AB)= BC-AB = 5AB=13 口ABC D的周长= AB+BC+CD + AD = 2(AB+BC) = 2(13+28) = 82说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将OBC与Q43的周长的 差转化为两条线段的差.例 6 解答 IS AB = xcm, BC = ycin .四边形AB CD为平行四边形， AB = CD,AD=BC.乂 四边形ABCD的周长为3 6,2x + 2y = 36I DE 丄 AB,DF 丄 3C,/. ScabcdAB DE、Scja

7、bcd=BC DF.4y/3x = 5>j3y解由，组成的方程组，得x = 10,y = 8. SoABCD = AB DE = Ox43 = 40VJ(c肿).说明:本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把儿何问题转化为 方程组的问题.例7 分析 曲已知条件ZEAF=60。,在四边形AECF中,可求出ZC = 120°. 从而可知= 3 = 60。,所以ZBAE=ZDAF = 30。.因此，在直角三角形A BE 和直角三角形ADF中，可分别求出A3、/1D长，从而也可求出AE、/! F的长，平行四边形的性质典型例题 则容易求出口4 BCD的面积.解答在四边形AECF中，ZAEC=ZAFC=90°（垂直定义），ZEAF=60° （已知）， ZC = 360°-90°- 90°-60° = 120°.在口4BCD中，I ABHCD'ADHBC,:.Z + ZC = 180°, ZD+ZC = 180° Z£? = Z£> = 60°在 RtABE 中,ZB = 60°,Z?E=2, AB=