2020年江苏中考数学二轮复习四边形与圆综合(含答案)

1、2020 江苏中考数学 二轮复习 四边形与圆综合(含答案)1. 问题探究(1)请在图的ABC的边BC上作一点P,使AP最短；(2)如图，点P为4ABC内部一点，且满足/ APB=/BPC=/APC.求证：点 P 到点 A、 B、 C 的距离之和最短，即PA PB PC 最短；问题解决(3) 如图， 某高校有一块边长为 400 米的正方形草坪ABCD， 现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在 P 点处，使点 P 到 B、 C、 D 三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点 P 的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由第1题图(1)解：如解图所示，过点 A作BC的垂线

2、，垂足为P,点P即为所求;第1题解图(2)证明：如解图，将AB绕点B逆时针旋转60°,得到AiB,将PB绕点B逆时针旋转60°, 得到PiB,连接PiAi, PiP, AiA, AiB,根据作图可知AAAiB和APPiB均为等边三角形，则 PPi = PB,.AAiB、PPiB为等边三角形， .AiB = AB, BPi = BP, /AiBA= / PiBP = 60°, / AiBPi + / PiBA= / PBA+ / PiBA, ./AiBPi = / PBA,.AiBPiAABP,.PiAi = PA,PiAi + PPi+PC=PA+PB+PC,连接

3、AiC,根据两点之间线段最短可知，当 PiAi + PPi + PC=AiC时，PA+PB+PC最短，, _ / - i 。APB=/BPC=/APC= 1M60 =i20 , 3丁 / AiPiB= / APB= / BPC= i20°,又BPiP 为等边三角形，/ AiPiB+/BPiP=/BPPi+/BPC=i80°,Ai、Pi、P、C四点共线， PiAi + PPi+PC=AiC, 当 / APB=/BPC=/APC 时，PA+ PB+PC 最短；(3)解：存在符合条件的点P.如解图，以CD为边作等边ACDE,再作4CDE的外接圆。O,连接BE,交。O于点P,此时P

4、B+PC+PD最小.在PE上截取PQ=PC.二.在等边 4CDE 中，/ DCE=/CDE = 60°, ./CPE=/CDE = 60°(同弧所对的圆周角相等)，第1题解图 .CPQ为等边三角形， .CQ=CP, /PCQ = 60°, ./ PCD+/DCQ = / DCQ +/ ECQ=60°, ./ PCD = /ECQ, 又= CD = CE, PC = QC,.PCDAQCE(SAS), . PD=QE, . PB+ PC+ PD= PB+ PQ+ QE= BE 最小，理由如下：设点M为正方形ABCD内任意一点，连接BM, CM、DM,将4C

5、MD绕点C顺时针旋转60 得到ACGE,v BE<GE+GM + MB= MD + MC + MBBE为PB+PC+PD的最短距离.在 RtCEF 中，/ECF = 30°, CE = 400 米，1. EF=CE = 200（米），CF=CE cos30 = 200/3（米），BF= BC+ CF= 400+ 200叔米）,在 RtBEF 中，BE=BF2+EF2（400+200/3） 2 + 2002 = 200（m + 业）77家.点P到B、C、D三点的距离之和最小值为200（m+成）米（或约为773米）.2.问题探究（1）如图，已知四边形 ABCD中，AB = a, B

6、C=b, /B=/D = 90°,求：对角线BD长度的最大值；四边形ABCD的最大面积；（用含有a, b的代数式表示）问题解决（2）如图，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB=20 cm, BC=30 cm, /B=120。，/A+/C=195°,请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理 由.（结果保留根号）第2题图解：（1）. / B=/ D = 90°,一四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径,BD的最大值为AC,止匕时BD=AC=qa4b2;连接 AC,则 AC2=AB2+BC2=a2 + b2 = AD2+CD2,S&#

7、187;A ACD =；AD CD(AD2+CD2) = 1(a2+b2).又丁 S*A ABC = 2AB BC = gab,一四边形ABCD的最大面积为4(a2+b2) + 2ab = 1(a+b)2;(2)如解图，连接AC,延长CB,过点A作AELCB交CB的延长线于点E, AB = 20, /ABE = 180° / ABC=60°,1_.在 RtABE 中，AE = AB sin 60=1043, EB = AB cos 60 = 10, Szabc= 2AE BC=150y3. BC=30, . EC=EB+BC = 40, AC=：AE2+EC2 =10/19

8、,./ABC=120°, Z BAD+Z BCD = 195°, ./D = 45°,则AACD中，D为定角，对边AC为定边，点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心 O,当点D与AC的距离最 大时，4ACD的面积最大，AC的中垂线交。于点D',交AC于点F, FD'即为所求最大值，第2题解图连接 OA、OC, / AOC=2/ADC = 90°, OA=OC,.AOF为等腰直角三角形，AC _AC _ 一AO=OD = J2 (2) = 5y138, OF = AF = 2= 519,D F = OD 4 OF = 5

9、V38+ 55,Saacd =1AC DF = 1X1019X5738+5/19) = 475+47572, S 最大=SA abc+ Sa acd = 150/3 + 475+ 47蚯.3.问题探究(1)如图，在4ABC中，AB = AC = 5, BC = 6,作高AD,则4ABC的面积为;(2)如图，在矩形 ABCD中，AB=3, BC=4,点P在对角线 AC上，且CP=CB,求4PBC 的面积；问题解决(3)如图，4ABC是一块商业用地，其中/ B = 90°, AB= 30米，BC= 40米，某开发商现 准备再征一块地，把4ABC扩充为四边形ABCD,使/ D= 90

10、76;,是否存在面积最大的四边形 ABCD?若存在，求出四边形 ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由.BC BC BC图图图第3题图解：(1)12;1【解法提小】如解图，在 RtABD中，AB = 5, BD = 'BC = 3, . AD = AB2-BD2 = 52-32 = 4, S SA ABC 1BC AD=1 >6M=12.图图第3题解图(2)如解图，过点P作PELBC,垂足为E,则PE/AB, .CPEs/XCAB,. CP=PECA- AB在 RtABC 中，/ABC = 90°, AB = 3, BC = 4,AC= AB2+BC2 = 732 +

11、 42 = 5,.4 PE二=八53 '12PE-S>A PBC =1112 2423c PE=2 必可=3；(3)存在.如解图，作AABC的外接圆。O, /ABC=90°,AC为。O的直径，又. / ADC = 90°, 点D在。O上，在 RtABC 中，/B = 90°, AB=30,BC = 40,AC= UaB2+BC2 = 302+402 = 50,连接 OD,则 OD = %C = 25,过点D作DNLAC,垂足为N, S 四边形 ABCD = SA ABC + SaACD ,而 SA ABC = 2AB BC = 1M0M0= 600,

12、只要 SACD最大,那么S四边形ABCD 最大，又 ; SAacd = 2AC DN,而 DN旬O=25,一 一 一 一 1当 DN = 25 时，Saacd 最大，即 X50>25=625,四边形 ABCD的最大面积为：600+625= 1225（平方米）.4.问题探究（1）如图，4ABC为等腰三角形，AB= AC=a, / BAC=120°,则4ABC的面积为 州含a的代数式表示）；（2）如图，4AOD与ABOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点 O重合，OA= OB= OC = OD = a.若4AOD与ABOC不重合，连接AB、CD,求四边形ABCD面积的最大值； 问题

13、解决如图，点O为电视台所在位置，现要在距离电视台5 km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC夹角为150°, OA与OD夹角为90°（/AOD与/BOC 不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内），则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积 有无最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由.第4题图解：（1）小2；【解法提示】如解图，过点 B作AC的垂线交CA的延长线于点D ,B C第4题解图在 RtABD 中，/BAD = 60°, AB=a,则 BD=W3a,1 13'3 2BD = /a a=q-a .S>A

14、 ABC =(2)如解图，分别过点A、D作BO、CO的垂线交BO的延长线于点E,交CO于点F,第4题解图AOD与BOC均为等腰直角三角形，OA=OB = OC=OD=a, S>aAOD = 2a2, SaBOC = 2a2,令/ AOB= a, /COD= & 则c1c1Sa aob = 2a asm % Sa cod = 2a asm &Sa aob + Sa cod =2a2(sin a+ sin 份./AOB+/COD = 180°, . a= 90°, 0= 90°,即/AOB=90°, /COD = 90°时，A

15、AOB 与ACOD 面积最大, 即此时四边形ABCD面积最大，此时,Sa aob = %2, Sa cod = 2a：1 -2 1 _2 1 _2 1 _22 .S 四边形 abcd 最大=2a +2a + 2a +2a =2a , (3)有最大值，理由如下：= OA=OB = OC=OD=5 km,则A、B、C、D四点在以。为圆心，5 km为半径的圆上，如解图，将DOC绕O点顺时针旋转150°至ADOB位置.连接AD ；设OB与AD'交于点E,第4题解图 AOD与ABOC面积是定值，.二求S四边形ABDO最大即可./ AOD '= 360 -150 -90 = 12

16、0°,过O作OMLAD于点M,过B作BNLAD于点N,在4OAM 中，/ AOM = 60°, .OM = 2，AM = 523, AD = 573,令/ MEO = / NEB= a,-_1,_1,1,_1 S四边形 ABD O = SaAOD +Sa ABD=2AD，OM +2AD，BN= 2AD，OE； sina+ (5 - OE)sin 司=万125 一.AD - 5sn 2>5V3>5Sink _2_V3sin&当a= 90°时，sina= 1,此时四边形ABDO面积最大， S四边形ABDOmax=,即四边形 ABCD的最大面积为2

17、X5 >5 +2/>5 g + 252自=75±|"35. 在矩形 ABCD 中，AD = a, AB=b(b>a), P 为 AB 边上一点，且 PB=m(m<a),在 CD 边上 有两点M、N.(1)如图，求证：4MPB的面积与4NPB的面积相等;(2)如图，延长AB到点S,使BS= PB,以BS为边在直线AB上方作正方形BSRQ,连接AR、1AQ、AC、CR,若ACR的面积等于矩形ABCD面积的4,试确定a、b、m的关系;图图图第5题图问题解决(3)如图，有一片矩形绿地 ABCD,现要修建一条高速公路，该公路要占用绿地 4ABE,按照 施工要求

18、，高速公路的边缘 AE不能超过BC的中点，为补偿占用的绿地，试在 AE的延长线 上找出一点F,使四边形ADCF的面积与原矩形ABCD的面积相等，试在图中画出图形并说 明理由.(1)证明：如解图，MPB与4NPB同底等高,二 Sampb = Sanpb;第5题解图-11 O 11解：Sa acr= Sa acq+Sa aqr+ Sa cqr= b(am) +gm +Qm(am) = 2(ab+ ambm),C1c. L , 、 1 , Saacr=4S矩形abcd, - 2(ab+ami bm) = ab,ab+2am2bm=0；(3)解：如解图，连接AC,过点B作BF/AC交AE的延长线于点F

19、,连接CF.第5题解图设AC到BF的距离为h 则 S>a abc=；AC h 二 Saabc = Szacf SA abe = Sa cef 二S矩形abcd= S四边形adcf.6.问题探究如图，在4ABC中，AD是BC边上的中线，若4ABC的面积为S,则4ACD的面积为(2)在图中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形BEDF的11面积为Si；当点E、F分别在平行四边形 ABCD的边AB、BC上时，且满足AE=§AB, BF=§BC,记此时的四边形 BEDF的面积为S2.证明：Si=S2;(3)如图，在矩形 ABCD中，AB=nBC(

20、n为常数，且n>0),点E是AB边上任意一点，点F一 ， ，_ 一，一 _ 1 、=、，是BC边上任意一点，若四边形 BEDF的面积始终等于矩形面积的万，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由.B F C图第6题图-1解：尹【解法提示】: AD为4ABC中BC边的中线， DC为BC的一半，1由图可知4ABC与4ADC同图，又知4ABC的面积为S,Saacd = 2$；证明：如解图，连接BD,当点E、F分别为AB、BC上的中点,B F C第6题解图由可知S>A BED =Szx BDF=1S BCD,1又.根据平仃四边形的性质可知Saabd= S/ bcd = /S?a

21、bcd,二 Si = Sa bed+ Sabdf = S?abcd ,当点E、F分别在平行四边形 ABCD的边AB、BC上时，且满足AE=；AB, BF=BC, 33一 2-2Sa bfd = zSa bcd ,3 BE=3AB,贝U SaBDE = 3Szabd ,PC1又.Saabd = Sa bcd = 2&abcd,. S2 = Sa bde+ Sa bfd = 2S? abcd.综上所述，可证：Si = S2；(3)解:如解图，连接BD,B F C第6题解图1 ,1由题意可知四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的2,即根据等面积可知：ABBC = 2£BEAD +

22、2bF AB),. AB=nBC, .AB BC=2(1BE ；AB + 2bF AB) = BE1AB+BF AB,“1一 一.Bc=nBE+BF，i i.nAB=nBE+BF，. AE=nBF.7.如图、，在四边形 ABCD 中，/A=/C = 90°, BC=CD = 2, AB=1.(1)请在图中找出一点 O,使得OA=OB = OC = OD;(2)如图，在AABC中，AB=5, BC=6, AC=4,分别以AB、BC、AC为底边作等腰三角形, 且每一个等腰三角形的顶角都为120。，找出这三个等腰三角形中面积最大的那个，并求出它的面积；第7题图如图，点Q是四边形ABCD外一

23、动点，将点Q和与点Q相邻的两个点连起来，组成一个 五边形，且/ Q = 2«(0<o<450),是否存在点Q,使得以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形 的面积最大？若存在这样的点 Q,请说明如何确定点 Q的位置及理由，并求出此五边形的最 大面积；若不存在，请说明理由.解：(1)如解图，连接BD,过点C作COLBD于点O,连接OA,止匕时OA= OB = OC = OD;DA E第7题解图第7题解图(2)如解图，ZXDEF为等腰三角形，且/ EDF = 120°,它的底边EF=a, DG是底边EF上的 高，则 DG = EG tan30 =a,2 36 ，$ DE

24、F = 2><ax；63a=Wa2由此可知，对于顶角为120。的等腰三角形，其底边越长，则其面积越大.以BC为底边，顶角为120。的等腰三角形的面积最大，它的面积为 率对=3回存在这样的点Q,使得以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形的面积最大.v DC=BC=2, / DCB = 90°,BD=2 也，.OC=OD = OB=aJ2.在RtzXABD中，根据勾股定理可得，AD = 47.当点Q和与它相邻的两点构成的三角形为等腰三角形，且/ Q为顶角时，该三角形的面积最大.V 7>2>1,当点Q与点A、D构成以/ Q为顶角的等腰三角形时，以点 A、B、C、D、Q

25、为顶点的五边 形的面积最大.,S 四边形 ABCD =S BCD + Sa ABD=2 >2>2 + 2x/7M =2 +C _ (S) 2_ 7Sa adq 最大值=4tana 4tana'77以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形的最大面积为2 +r+研.8.问题探究(1)如图，过五边形 EBCDF的边EF上的点P作矩形PGCH,使点G、H分别在边BC、CD 上；(2)请在图的五边形 EBCDF的边EF上取一点P,过点P作正方形PGCH,使点G、H分别 在边BC、CD上，并说明理由；问题解决(3)某体育馆拟用如图中的空地紧靠 BC边及CD边建一个矩形的室内场馆，四边形AB

26、CD的 边BC = 60米，宽AB=40米的矩形地皮，其中4AEF已经被其他建筑占用，经测量，AE = 30 米，AF = 40米.试分析如何设计才能使矩形场馆面积最大？解：(1)如解图，点P即为所求作的点;图第8题解图(2)如解图，过点C作/BCD的角平分线交EF于点P,过点P分别作PGLBC于点G,PH±CD 于点H,则四边形PGCH即为所求正方形.理由如下：/ GCH = / PGC=/ CHP=90°,一四边形PGCH为矩形，又; CP平分/ GCH,一四边形PGCH为正方形；(3)如解图，设P为EF上一点，过点P作PMLAB于点M, RtAEAFRtAEMP,.P

27、E EM MPE?= AE- = AFsX v AE = 30, AF = 40,第8题角单图EF=50,令PE = 乂米，矩形场馆面积为y平方米， .EM = 5x, MP = 4x,4.矩形的长 PH = BC-MP = 60-x, 5， 3矩形的宽 PG=EM + EB = gx+ 10,4 312 0由题思得，y= (60 5x)(gx+ 10)= 25x2+28x+ 600,其中0g0 50, y=一12175 2 302525(x 6 ) + 3，175 .当一至时，矩形场馆PGCH面积最大，最大面积为30253平方米.9.已知点A、B、C均在半径为R的。上.问题探究(1)如图，当

28、/ A=45°, R=1时，求/ BOC的度数和BC的长度;(2)如图，当/ A为锐角时，求证：BC = 2RsinA;问题解决(3)若定长线段BC的两个端点分别在/ MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不 重合.如图，当/ MAN = 60°, BC = 2时，分别作BPXAM, CPXAN,交点为P,试着探究 线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出 PA的长度；若不 是，请说明理由.图图图第9题图(1)解：丁点A、B、C均在。上， ./ BOC = 2/A=2X45° = 90°,又= OB = OC=1,B

29、C= /2 ;证明：如解图，作直径CE,连接EB,则/ E=/A, CE = 2R, ./ EBC=90°,BC BC sinA= sinE= ec= 2r，BC=2R sinA;图图第9题解图(3)解：如解图，连接AP,取AP的中点K,连接BK、CK,在 RtzXAPC 中，CK = 2aP=AK=PK,同理可得：BK = AK=PK, .CK=BK = AK=PK,点A、B、P、C都在以K为圆心，以AK长为半径的。K上,由(2)可知 sin 60 = BC, APpa的长度为433."益433为定优 故线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是定值,10. (1)如图，已知。及。外一点C,请在。上找一点P,使其到点C的距离最近；(2)如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度 沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P.请在图中画出点P的运动路 径，并求出点P到点C的最短距离；(3)如图，AC为边长为4的菱形ABCD的