《锐角三角函数》导学案

1、第七章锐角三角函数（1）正切函数学习目标1、认识锐角的正切的概念。2、会求一个锐角的正切值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。学习重点：锐角的正切的概念学习难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法知识要点在 RtAABC3, / 0=90° ,/A的对边与邻边的比值是/ A的正切，记作七曲工二乙4的对边一、情境创设'I问题1.我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么? 观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？word范文 本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固

2、定时，两直角边的 比值是否也固定？0 6-10给出正切概念：如图，在 RtAABO,把/ A的对边与邻边的比叫做/ A的正切，记作：tan A. 二、典型例题例1 .根据下列图中所给条件分别求出下列图中/A / B的正切值。A 2通过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值 .例 2.如图，在 RtABO中,d AOB=90 , CD是 AB边上的高，AO=3,AB=5 求/ AOD、/ BCD勺 正切值。结论：等角的正切值 例3.如图(1), / A=30° , / C=90° ,根据三角函数定义求出30°、45°、60°的正切值.例4. 如

3、图，/ A=15° , / C=90° ,求出15°正切值.1. (1)在直角三角形 ABO, / C=90°, b=9, a=12，则 tanA=, tan B=(2)如图， ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 12门人的=.(3)在 RtABC中，/C=90° ,AC=12,tanA=2 ,贝U BC长为。2 .如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到 ACB',则tanB '的值为（） A . B .233 . RtABC中，/ C=90° ,若 /AC =3BC ,

4、则 tanA=。4 .在RtAABC中,/C =90 ：若将各边长度都扩大为原来的2倍，则/ A的正切值()A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍 D.不变5 .在 RtAABC3 / A=75° , / C=90° ,求出 75° 正切值.9.等腰三角形 ABC的底边为10cm,周长为36cm,求tanC.§ 7.2正弦、余弦学习目标：1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一个锐角的正弦、余弦值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。教学重点：锐角的正弦、余弦的概念教学难点：锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想方法知识要

5、点：1、正弦的定义如图，在 RtABC中，Z C= 90° ,我们把锐角/ 叫做/ A 的, 记作, 即：sinA =2、余弦的定义如图，在RtABC中，Z C= 90° ,我们把锐角/ A的邻边b与斜边 c的比叫做/ A 的, 记作 =, 即：cosA=:（你能写出/ B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看 教学过程、情景创设1、问题1:如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了 5m,如果他沿着该斜坡行走了 20m,那么他的相对位置升高了多少？行走了 a m呢？2、3、在 ABC中，/ C=90° .锐角A的对边a与斜边c的比叫做 /A的正弦， 记

6、作sinA.锐角A的邻边a与斜边c的比叫做 /A的余弦， 记作cosA.二、典型例题例1. 根据图中数据，分别求出/AA, ZB的正弦，余弦.B练习：在 ABC中，/ A Z Bk / C的对边分别为a、b、c,且a = 5, b = 12, c = 16,下面四个式中5353错反的有()sin A = ； cosA=； tan A = ； sin B = 164124A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2、如图，在 RtABC中，/ C=90° , / A、/ B> / C的对边分别是 a、b、C ,a : b=2： 3,求 sinA 与 sinB 的值。例 3、如图，

7、在 RtABC中，/ ACB=90 , BC=6 CDLAB于 D, AC=& 试求:sinA的值；cos/ACD的值;CD的长。cos30 ° 与 cos60 ° 的大/、随堂演练:1、在 RtABC中，/ C=90° , AC=2 BC=1,贝U sinA=。2.如图，P是/ a的边OA上一点，且P点坐标为（3,4）,则sin a =cos 口 =.（第2题）3.如图 ABC中，/(C=90 , sinA=3 一3 ,贝U BC:AC=()5A. 3: 4B. 4： 3C. 3:5D. 4: 54.在 RtABC中，/ C=90° , AC=

8、4,BC=3,则cosB=()A 4 3c 4c 3AB.CD.一5534（第3题）§ 7.2正弦、余弦（2）学习目标:1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一个锐角的正弦、余弦值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。教学重点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。 教学难点：利用正弦余弦的有关概念解决问题 一.复习导入_nsa白0kJ诊耳w I nA =-=8gA =丝»_上A白勺对边_ a-9. in - z 一A白勺专户述b三.如图，在 RtAABC 中，/C=90o AC=12, BC=5. 求：sinA、cosA、sinB、cosB 的值.结论

9、:sinB的值有什么关系吗？二、典型例题1 .比较大小 sin40 °cos40 sin80 °cos30sin45 °cos452 .已知a(1) sin cos(3) tan 产为锐角：a= 12妹121,tan o=,tan a=则 sin =,cos =word .三.典型例题例1、如图,BC±AD于 C, DH AB于 F, Saafd：Saefb=9, / BAE夕，求 sin a +cos« 的值;分析 由已知易证 RtAAFD RtAEFBJ,再卞据Saafd： Saefb=9,可得AF: EF=3, AF=3EF由勾股定理可求

10、出AE=J10 EF,从而容易求得 sin a , cos 3的值。B. 8随堂演练1. ABC中，/ C=90° ,2. ABC中，/ C=90° ,若 tanA =则 sinA=2AC=- AB,则 sinA=13,tanB=4例 2、如图，在梯形 ABCD, AD/BC, AC± AB, AD=CDcos/DCA = , BC=10,贝U AB的值是()A . 95C. 6 D .35例3、如图，在菱形 ABCD43, AH BC于点E, EC=1,cosB=一 ,求这个麦形面积。133 .在Rt ABC中，/ C=90o,且锐角/ A满足sinA=cosA

11、,则/ A的度数是（A.30oB.45C.60D.904 .在 Rt ABC中，/ C=90o,sinA= 1 ,贝U BC:AC:AB 等于2A. 1:2:5 B.1: .3: ,5C. 1: ,3:2 D. 1: 235 .如图，在RtABC中,CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是（）A. CDACC.CBABB.D.DBCB CD CB6 .如图，自动扶梯 AB段的长度为20米，倾斜角A为a ,高度BC为米（结果用含0的三角函数表示）。（第6题）O7 . ABC中，/ C=90° , BC=2 AB=3,则下列结论正确的是A sinA 二史 3tanA 二立

12、 3n 22B. cosAC. sin A D.337.3 4特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角学习目标1 .熟记30。、45。、60。特殊角的三角函数值，并利用其进行求值计算。word范文2 .会根据特殊角的正弦、余弦、正切值求该锐角的大小。3 .经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。学习重点利用三角函数有关概念解决问题教学过程_三角函数£。 三宿函数-30°45°60°sin 0cos 0tan 0分别说出30。、45。、60。角的三角函数值。 完成下列表格一、复习、归纳1 .2 .二、典例分析- cos60 ° (3)

13、 sin 230° +cos230°(2) sin 260。+ cos260。cos2 450tan2 300例1 .求下列各式的值。(1) 2sin30 ° -cos45 °(2) sin60练习：计算.1 1) cos45 ° sin30 °(3)tan45 ° sin30 ° cos60例2.求满足下列条件的锐角a。 cos a = (2)2sin a =1 (3)2sin a V2 =0(4)，3 tan a 1=0练习：1.若sin a =X2，则锐角a =.若，2 cos a =1,则锐角a =.2 .

14、若/A 是锐角，且 3tanA= J3 ,则 cosA=.3 .已知“为锐角，当 一2一 无意义时，求tan( “ +15° )-tan( a -15 ° )的值.1 tan-：三、小结随堂演练:1 . sin30 o的值等于/ a的补角是 120°,贝U/ a=,sina=,2 .下列计算错误的是()A . sin60c-sin30° =sin30!B. sin2 45 + cos2 45 =1. sin 60；C . tan 60= =Fcos 60"D.,cos30cos30"=；sin303 .求满足下列条件的锐角a :小3。

15、(1)cos a - =0(2)-J3 tan a + J3 =04 .计算(3) 22 cos & -2=0(4)tan(a +10° ) =J3sin260' tan45 -3(2)2“(一 3-1) 2sin 60-3tan303 15.已知 tan 2 a - ( 1+ J3 ) tan a + 73 =0,求锐角 a 的度数.6.已知：如图，在鼻 ABC 中，/C=90AC =近.点D为BC边上一点，且BD = 2AD ,ZADC =60，求 ABC周长.（结果保留根号）7.已知锐角 ABC中，/ A, / B, /C的对边分别是 a, b, c.(1)试说

16、明：Saab= absinC ;2(2)若 a=30cm, b=36cm, / C=30° ,求 ABC的面积.7.5解直角三角形学习目标：1.理解直角三角形中5个元素的关系，会运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角 三角函数”解直角三角形。2 .通过综合运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形提高分析问题、解决问题的能力。3 .培养学生对图形的转化能力。重点：边角关系的灵活应用难点：如何通过添加辅助线构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来解决问题。知识点：1 .解直角三角形的定义：任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形

17、中，已知 有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。2 .解直角三角形的所需的工具。(1)两锐角互余/ A+ / B= 90°(2)三边满足勾股定理a2+ b2 = c2(3)边与角关系 sinA=cosB=a , cosA= sinB =- , tanA=a , ccb3 . 一个直角三角形当已知 或已知,这个直角三角形就 是可解的直角三角形4 .解直角三角形的四种类型和解法如下表：已知条件解法两边两直角边a, bc=Va2 +b2 , tanA=- , B=90° -A b一直角边a,斜边cb=v；c2 -a2 , sinA= - , B

18、=90° -A c一边一锐角一直角边a,锐角AB=90° -A, b=atanB , c= sin A斜边c,锐角AB=90° -A, a=c - sinA , b=c cosA5 .解直角三角形时需要注意的几个问题：(1)尽量使用原始数据，少用有误差的近似值，使计算更加准确。(2)非直角三角形问题，通过添加恰当的辅助线转化为解直角三角形问题。(3)恰当使用方程可使一些较复杂的解直角三角形问题化繁为简、化难为易。(4)在选用三角函数时，尽可能做乘法，避免除法，以使运算简便。典型例题：例1. 在RtABC中，/ C=90° , / A、/ R / C的对边

19、分别为a、b、C,由下列条件解直角三角形。 已知 a =10, / B=60° 已知 a=4j6, b=12，2(3)已知 a - b = 3 - . 3, / A=60°配套练习：根据下列条件解直角三角形 在 Rt AABOP, / C= 90°, c=10, Z A= 30o.(2 )在RtAABO, Z C= 90°, a=50, c= 50,2 .例 2.如图，已知在 ABC中，/ B=60° , AD=14, CD=12, &ad=30 J3，求 BD的长。1 .在 RtABC中，/ C=90° , / A=30&#

20、176; ,2 .在 RtABC中，/ C=90° , a =6点，3 .在 RtABC中，/ C=90° , c = 6, b4 .在 RtABC中，/ C=90° , AC: BC=1：AB=18,贝U AC= , BC=c = 12 ,贝U / A= , b=4 ,则 tanB=,面积S=3 , AB=6, / B=,AC= BC=).已知一斜边一锐角5.在下列直角三角形中不能求解的是(A,已知一直角边一锐角BC.已知两边D.已知两角6 . A ABO43, / A+ / B= 90°,cos A= 3 ,则 sin B=57 .解直角三角形在 R

21、tABC中,若 c= 10，则 a=(1 a = .3b=3(2) b=5, c = 5、.5(3) a =6, A =30O(4) B = 300, C=5738.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角/ ACD=52),已知人的高度是1.72米,求树高(精确到 0.01米)(tan52 0=1.2799 )word范文9.某块绿地的形状如图所示，其中/ BAD=60 , AB± BQ AD! CD AB=200m, CD=100rn 求AR BC的长。 (参考数据:42 P 1.414, 5 =1.732,精确到1m)§ 7.6锐角三角函数的简单应

22、用学习目标：1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。2,能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。 重点：灵活应用“锐角三角函数、勾股定理”解直角三角形难点：发现、构造可解的直角三角形和需解的直角三角形重要概念：B铅垂线 晒与A jJ*«O A旋转角：/ AOB视线/ 1是俯角，/ 2仰角南偏西的东2J .* *向角*Z*11北偏东，C/ 2:南偏西60度解题要领：画出几何图形，明确已知量和未知量，通过添加适当辅助线，构造直角三角

23、30°后，最低点B升高了多少?把实际问题抽象为几何问题，形，解决实际问题。问题引入：长为90 CM的单摆AB旋转典型例题b例1.国庆长假，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场大型摩天轮的半径为20米，旋转一周需要 12分钟。小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5米)开始一周的观光。(1) 2分钟后，小明离地面的高度是多少(精确到0.1米)？(2)摩天轮启动多长时间后，小明和地面的高度将首次达到9m ?(提示cos55° =0.575)(3)小明将有多长时间连续保持在离地面9 m以上的高度？例2.升国旗时，某同学立在离旗杆底部2Am处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学视线的仰角

24、恰为40° ,若双眼离地面 1.5m,则旗杆高度为多少m? (sin40 ° =0.64, tan40 ° =0.84)例3.某商场为缓解我市 停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，ABBQ Z BAD= 18°, C在BD上，BC= 0.5m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标 志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果.（结果精确到0.1m） 参考数据：sin18 ° =0.

25、31, cos18 ° =0.95 , tan18 ° =0.32随堂演练：1 .小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得Z CBD=60 ,若牵引底端 B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。（计算结果精确到0.1米，731.732）450米上空的P点，测得A2 .汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A B两个村庄抢险，飞机在距地面村的俯角为30°, B村的俯角为600（如图）.求A、B两个村庄间的距离.3.水平地面上的甲、乙两楼的距离为30米，从甲楼顶部测得乙楼顶部的仰角为角为45。.求甲、乙两楼的高度.30。，测行乙楼底部的俯（结果精确到米，

26、参考数据 近=1.414,通= 1.732）§ 7.6锐角三角函数的简单应用（2）学习目标：1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。2,能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。 重点：借助列方程灵活应用锐角三角函数解直角三角形难点： 几个可解的直角三角形和需解的直角三角形之间的联系 解题要领: 把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，通过添加适当辅助线构造直角三角形，注意抓住几个直角三 角形之间的公共边角，灵活应用锐角三角函数借

27、助列方程解直角三角形。问题引入：我校九年级某班在测量校内旗杆高度的数学活动中，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了 如下数学活动报告中的一部分.请你把下表中计算过程和结果填写完整课题测量校内旗杆高度目的运用所学数学知识及数学方法解决实际问题一一测量旗杆高度方案方案一方案二测量工具测量数据:AM =1.5m, AB=10m 二=30；, . 1 =60； 解：MNG皮尺、测角仪AM = h , AB = m/DAB=a , /DBA = P解：计算过程（结 果保留根号）测量结果DN =DN =典型例题例1.小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这点测得气球的仰角为

28、27。，然后向气球方向走了 50米，测得气球的仰角为 40°。这时他就能算出气球的高度了。他是如何求 得气球的高度呢？（小明的身高是1. 6米）（tan27 ° =0.51,tan40 ° =0.84,结果精确到 0. 1 米）例2.如上图所示，已知：在 ABC中，/ A=60° , / B=45° , AB=8.求： ABC的面积（结果可保留根号）.例3.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达 C处，此时，在 AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在

29、B处测得旗杆顶点 P的仰角为30。，A处测得点P的仰角为45。，试求A、B 之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75。，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）1 .如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别 为45°和60° ,试求塔高和楼高。A'、血C一 8”BD2 .如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线 AB的距离MN飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方 N处才测飞行

30、距离），请设计一个距离 MN勺方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离 MN勺步骤.§ 7.6锐角三角函数的简单应用（3）学习目标：1.正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问题中的意义。2.能综合运用解直角三角形的知识解决实际问题，进一步培养“把实际问题转化为数学问题”的能力.重点：用三角函数有关知识解决工程中的相关实际问题难点： 根据解决问题的需要，正确添加辅助线，从而利用解直角三角形的方法解决实际问题知识点：坡度的概念，坡度与坡角的关系。如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），AC记彳i ,即i =左，坡度通常用l ： m的形式，例如下图中的 1: 2的形式。 BC坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i=tanB,显然，坡度越大，坡角越大，坡面就陡。（一）与（二）比较：（一）中坡度小，坡角/ A小，坡面平缓；（二）中坡度大，坡角/尝试练习：如图3, 一个小球由地面沿着坡度 i =1: 2的坡面向上前进。若小球升高了 10nl此时小球沿坡面向上前进 米；若小球沿坡面向上前进 10nl此时小球升高 米。A大，坡面陡（图3）典例剖析：例1.某数学活动小组组织一次登山话动。他们从山脚下A点出发