2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案

1、2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1,已知函数 f (x) lnx ln(2 x),则A. f(x)在(0, 2)单调递增C. y= f(x)的图像关于直线x=i对称1 L2 .已知函数 f(x) loga()(a 0且 ax 1A. 1B. 723.函数y=a|x|(a1)的图像是()B. f (x)在(0, 2)单调递减D. y = f(x)的图像关于点(1, 0)对称1)的定义域和值域都是0, 1,则a=()1二，、一,则f(x)的单调递减区间是()94.若函数 f(x) = a|2x 4|(a0, aw 1)足 f(1) =A.(巴 2C. - 2, +

2、)5.设函数f(x)的定义域为R,满足f(xB. 2, 十 8)D. (一 00, 一 21) 2 f (x),且当 x (0,1时，f (x) x(x 1).若对任意x (, m,都有f (x)8则m的取值范围是9A.B.C.D.6.把函数f x10g2 x 1的图象向右平移一个单位，所得图象与函数g x的图象关于直线y x对称；已知偶函数 h x满足h x 1 h x 1 ,当x 0,1时，h x g x 1；若函数 y k f x( )h x有五个零点，则正数 k的取值范围是A. 10g3 2,1B. 10g32,1, c 1, C 1C. log6 2,-D.log 6 2,22A.

3、x表示不超过实数x的最大整数,R是方程lnx 3x 100的根,则x0A. 18.已知函数f xB. 2log2 x 1 xx 4 xC. 30 皿 ，则 y f f x0D. 43的零点个数为(A. 3B. 4C. 5D. 69.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5% .已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为ktP P0 e（k为常数，P。为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,那么要能够按规定排放废气，还需要过滤时,则正整数n的最小值为（参考数据：取log

4、52 0.43 ）A.B. 9C. 10D.1410.已知函数f sin f0成立,则实数m的取值范围是（0,10,2,1,111.已知y是以为周期的偶函数，且 x0,2时,sinx,则当1 ,3时,A.1 sin xB.1 sin xC.sin xD.1 sin x12.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y aent,假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过a -mmin甲桶中的水只有一升, 4则m的值为（A. 10二、填空题B.C. 8D. 513.已知函数f(x)-1(x x4)若关于x的方程，f（x） k有两个不同的实根,14.10g 2x

5、,(04)则实数k的取值范围是已知函数f1_ 53x ax5 bx2 （a, b为常数），若f 35,则f 3的值为15.如果函数ym2 9m 192m x7m 9是哥函数，且图像不经过原点，则实数16.已知a ,R,集合D22a 0 ,且函数1 b是偶函数，bD,则 20153ab2的取值范围是17.已知函数满足对任意的x一一 1R都有f 一21f x 2成立，则 218 .对于复数a,b,g d ,若集合Sa,b,c,d具有性质“对任意x, y S,必有a 1, xy S，则当b2 1,时，b c d等于c2 b219 .已知函数f x log! mx m2xm2,若fx有最大值或最小值，

6、则 m2的取值范围为.20 .高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子”的称号，他和阿基米德？牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的高斯函数”为：设x R ,用x表示4, 2,72.已知函数不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：3,4f(x)2exrex1,则函数y f(x)的值域是 5三、解答题21 .已知函数f x log2x(1)解关于x的不等式f x 1 f x 1 ;(2)设函数g xf 2x 1kx,若g x的图象关于y轴对称，求实数 k的值.22 .计算(1).log2 24 lg- log 3727 lg2 logz3 23(2).( 3 3、.2)6

7、12 ( 8)091, f 21叫12.23.设函数 f x log2 ax bx ,且 f 1(1)求a, b的值；(2)求函数f x的零点;(3)设g xax bx,求g x在0,4上的值域.24 .随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下：投资A产品的收益与投资额的算术平方根成正比；投资B产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是 0.2万元和0.4万元.(1)分别求出A产品的收益f(x)、B产品的收

8、益g(x)与投资额x的函数关系式；(2)假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25 .某上市公司股票在 30天内每股的交易价格 P (元)关于时间t (天)的函数关系为1-t 2,0 t 20,t NP 5,该股票在30天内的日交易量 Q (万股)关于时间t1t 8,20 t 30,t N10(天)的函数为一次函数，其图象过点 (4,36)和点(10,30).(1)求出日交易量 Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(2)用y (万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这 30天内第几天日交易额最大，最大值为

9、多少？9x26.右f x 是前函数.2x 1(1)求a的值；2(2)右对任忌x 0, 都有f x 2m m,求实数m的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1 . C解析：C【解析】由题意知，f (2 x) ln(2 x) ln x f(x),所以f(x)的图象关于直线x 1对称，故C正确，D错误；又f(x) lnx(2 x)( 0 x 2),由复合函数的单调性可知f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以 a, B错误，故选C.【名师点睛】如果函数f(x), x D ,满足 x D,恒有f(a x) f (b x),那么a b函数的图象有对称轴 x ;

10、如果函数f (x),x D ,满足x D ,恒有2a b_、f(a x) f(b x),那么函数f(x)的图象有对称中心(一一,0).2 . A解析：A【解析】【分析】1、八，八，、由函数f x loga()=0, (a 0,a 1)的定义域和值域都是0,1,可得f(x)为增x 11函数，但二一在0 , 1上为减函数，得 0a1,把x=1代入即可求出a的值.1，八，、由函数f x loga()=0, (a 0,a 1)的定义域和值域都是0,1,可得f(x)为增x 1函数，但一-在0 , 1上为减函数，0a1,x + 1，,，1当 X=1 时，f(1) lOga()=-lOg a 2=1，1 1

11、一 1斛得a =,2故选A.本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性.点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出 f(0)=0 ,这样避免了讨论.不然的话，需要讨论函数的单调性.3. B解析：B【解析】因为|x| 0,所以alx 1,且在(0,)上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案 B.4. B解析：B【解析】由 f(1)=得 a2=-,a=：或 a=(舍)，j 内T即f(x)=(；).由于y=|2x-4|在(-8,2上单调递减，在2,+ 8上单调递增，所以f(x)在(-8,2上单调递增，在2,+ 8上单调递减，故选B.5. B解析：B【解析】【分析】本题为选择

12、压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决.【详解】Q x (0,1时,f(x)=x(x 1), f (x+1)=2 f(x), f(x) 2f (x 1),即 f(x)右移 1个单位，图像变为原来的2倍.如图所示：当 2 x 3时，f(x)=4f(x 2)=4(x 2)(x 3),令 4(x 2)(x 3)-,978整理得：9x 45x 56 0,(3x 7)(3x 8) 0,Xi 一 区一(舍)，33m7 一 3mnrSA-皿成8 一 9Xf叱- -，故选B.3【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大

13、到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学 建模能力.6. C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数 h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果详解：曲线f x log2 x 1右移一个单位，得 y f x 1log2x,所以 g(x)=2x, h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1),则函数 h(x)的周期为 2.当 xe 0,1时，h x2x 1,y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数绘制函数图像如图所示，由图像知y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.

14、kf (3) 1,即：klog24klog2610g 6 2 k1,求解不等式组可得:1,_， c 1即k的取值范围是10g 6 2,一2本题选择C选项.-4 T 7 71234567/-I -点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力7. B解析：B【解析】【分析】先求出函数f x lnx 3x 10的零点的范围，进而判断 比的范围，即可求出X0【详解】由题意可知xo是f x lnx 3x 10的零点，易知函数f x是（0,）上的单调递增函数，而 f 2 ln2 6 10 ln2 4 0, f 3 ln3 9 1

15、0 ln3 1 0,即 f 2 n f 30所以2 x0 3,结合x的性质，可知 x02.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题.8. C解析：C【解析】 【分析】由题意，函数y f f x3的零点个数，即方程 f f x3的实数根个数，设3,作出f x的图象，结合图象可知，方程f t 3有三个实根,进而可彳导答案.3的零点个数，即方程 f f x3的实数根个数,【详解】由题意，函数y f f x设t f x ,则f t 3,作出f x的图象,如图所示,结合图象可知，方程f t 3有三个实根t1,11, t2“ t34,1_1有一个斛，f x 一有一个解，f x 4有三个解,4故

16、方程ff x 3有5个解.本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方 程f t 3的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用9. C解析：C【解析】1,，解出t的取值范 200【分析】根据已知条件得出e 4k 1,可得出k ,然后解不等式e kt54围，即可得出正整数 n的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了 80%的污染物，因为PPo ekt,所以1 80% P0 Pe 4k,所以 0.2 e4k,即 4kln0.2 ln 51n5所以 k 7kt则由 0.5%P0P0e，得 ln 0.005l

17、n5一t ,44ln 200所以 t4log 5 200 4logln55 52 238 1210g52 13.16,故正整数n的最小值为14 4 10.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题10. D解析：D【解析】试题分析：求函数f (X)定义域，及f ( - X)便得到f (X)为奇函数，并能够通过求 f(X)判断f (X)在R上单调递增，从而得到sin 0m-1,也就是对任意的0- 都2有sin 9m-1成立，根据0vsin1即可得出 m的取值范围.详解：f (x)的定义域为 R, f (-x) =-f (x);f (x) =e

18、X+e x 0；.f (x)在R上单调递增；由 f (sin / +f (1 m) 0得，f (sin 9 f (m1);/. sin 0 m 1 ；即对任意0 0,者B有m - 1 sin成立; m _ 1 w o；，实数m的取值范围是(-1.故选：D.点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性 的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问 题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不 等式的解集.11. B解析：B【解析】【分析】【详解】一一 5 一 一 一因为y f X是以为周期，所以当

19、x 5 ,3 时，f x f X 3冗，2,1此时X 3- ,0 ，又因为偶函数，所以有 f X 3九 f 3九X ,23冗 x 0,，所以 f 37tx 1 sin 37tx 1 sinx, 2故 f x 1 sinx ,故选 b.12. D解析：D【解析】5n2ae a由题设可得方程组 m 5n a，由2ae5n ae5n 1 ,代入mi n nae 24ae(m 5) nmne1 .emn,联立两个等式可得2 5ne12，r一一,由此解得m 5,应选答案Do12、填空题13. 【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有解析：(1,2)【解

20、析】作出函数f (x)的图象，如图所示，44. .当x 4时，f(x) 1 单调递减，且1 1 2,当0 x 4时，f(x) log2x单调 xx递增，且f(x) log2x 2,所以函数f(x)的图象与直线y k有两个交点时，有1 k 214.【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数(为 常数)且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中 解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1【解析】【分析】1由f 3 5,求得 5 ”h o进而求解f 3的值，得到答案.a 32 7b 2 3【详解】1由题意，函数f x ax5 b

21、x3 2 (a，b为常数)，且f 3 5,1 1所以 f 3 a 35 27b 2 5,所以 a 3M 27b 31又由 f 3 a 35 27b 23 21.故答案为:【点睛】1.本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题 .15. 3【解析】【分析】根据幕函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的 符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幕函数所以即所以所以或当 时其图象不过原点符合题意；当时其图象经过原点不合题意综上所述：故 解析：3【解析】【分析】根据哥函数的概念列式解得 m 3,或m 6,然后代入解析式，看指数的符

22、号，负号就符合，正 号就不符合.【详解】因为函数y m2 9m 19 x2 7m 9是募函数,所以 m2 9m 19 1 ,即 m2 9m 18 0,所以(m 3)(m 6)0,所以m 3或m 6,当m 3时，f(x) x 12，其图象不过原点，符合题意；当m 5时，f (x) x21,其图象经过原点，不合题意.综上所述：m 3.故答案为：3【点睛】本题考查了募函数的概念和性质，属于基础题.16.【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】函数是偶函数.即平方后整理得.一由得.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇解析

23、：2015,2019【解析】D ,得b的取值范围，从而可得结论.【分析】 由函数f(x)是偶函数，求出a ,这样可求得集合【详解】f ( x) f(x),即一1 b 函数f x |x a a -2-是偶函数,x a x a ,平方后整理得 ax 0, .a 0, D x|x2 2x 0 x| 2 x 0,由 b D,得 2 b 0. _2 2015 2015 3a b 2019 .故答案为：2015,2019. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式.解题关键是由函数的奇偶性求出参数 a17. 7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7【解析】 【分析】 【详解】设$

24、二吟今+11因为 fx fx 2 ,22/+叫卜硝 =2x7=,所以-一 一+吗+-, 故答案为7.18 .-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综 上可得： 解析：-1【解析】由题意可得：b2 1,a 1 ,结合集合元素的互异性，则： b 1 ,由c2 b 1可得：c i或c i , 当 c i 时，bc i S ,故 di ,当 c i 时，bc i S ,故 d i , 综上可得：b c d 1 .19 .或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步 求出的范围【详解】解：二.函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值 且取最值时当时

25、由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：m|m 2或m-3【解析】【分析】m的范围.分类讨论m的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出 【详解】2解：函数f x 10g1mx m 2 x m 2若f x有最大值或最小值， 2则函数y mx2 (m 2)x m 2有最大值或最小值，且 y取最值时，y 0.当m 0时，y 2x 2,由于y没有最值，故f x也没有最值，不满足题意.当m 0时，函数y有最小值，没有最大值，f x有最大值，没有最小值.22故 y 的最小值为 4m(m 2) (m 2)，且 4m(m 2) (m 2)0,4m4m求得m 2 ；当m 0时，函数y有

26、最大值，没有最小值，f x有最小值，没有最大值.22故 y 的最大值为 4m(m 2) (m 2)且 4m(m 2) (m 2)04m4m“2求信m 一 .32综上，m的取值范围为m|m 2或m.32故答案为：m|m 2或m -. 3【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.20.【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所 以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：1,0,1求出函数f(x)的值域，由高斯函数的定义即可得解Q f(x) 2VF 5Q1 ex 1 ,211 ex 50,2191955

27、1 ex 5一1 9所以 f（x）-,-,5 5f （x）1,0,1 ,故答案为：1,0,1【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题三、解答题21. (1) x|0 X 1 ； (2) k试题分析：1由题意得f X 1 f X log2 X 1 lOg2X,然后解不等式即可（2）图X_ X象关于y轴对称即为偶函数，即：10g2 21 kX log2 21 kX成立，从而求得结果解析：（1）因为 f x 1 f x 1 ,所以 1og2 x 11og2X 1,即：X 1X 110g2 1,所以 2,由题意，X 0,解得0 x 1,所以解集为 XXX |0 X 1 . g x f 2X 1

28、 kx log2 2X 1 kx,由题意，g x是偶函数，所以XXx R,有 g X g x ,即：log2 21 kx log2 21 kx成立，所以2 x 1.x10g2 2 x 110g2 2X 1 2kx,即：10g22 2kx,所以 10g222kx ,211所以 x 2kx, 2k 1 x 0,所以 k 12322. （1）金.（2） 44.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析:一一一 一 1 _ 一.log2 24 lg- log 3,27 lg2 log2 3213(log 2 2

29、4 log 2 3) (lg lg 2) log 3 32333log 2 8 lg1 - 3 -2223_12113.(33 .2)6-(-8)0 (33 2为6 (3 2卢 19 8 27 1 449考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算23. (1) a 4,b 2(2)x log25 (3)g x 0,2402【解析】【分析】(1)由f 11, f 210g212解出即可y 2 y令f(x) = 0得4x 2x 1,即221 0,然后解出即可(3) g x 4x 2x ,令2x t ,转化为二次函数【详解】(1)由已知得f 1 log2 a b 1a b 2_22_，

30、即 22_f 2log2 a2 b2log212a2 b2 12解得a 4,b 2；x x(2)由(1)知 f x10g2 42 ，令 f(x) = 0 得 4x 2x 1,即 2x 2 2x 1 0 ,解得 2x L5 ,2又2x 0, 2x解得x log?5 22(3)由(1)知 g x4x2x,令 2x t，则 g t t2 t1, t1,16 ，因为g(t)在t1,16上单调递增所以 g x 0,240 ,24. (1) f x21 一一 、一 159-x x 0 ; (2)当投资A厂品一万兀，B广品516160 , g x万元时，收益最大为16140【解析】【分析】(1)设出函数解析式，待定系数即可求得；(2)构造全部收