人教版八年级数学下册第十七章勾股定理的两个重要结论及其应用

1、人教版八年级数学勾股定理的两个重要结论及其 应用知识背景：结论 1 :如图 1,直角三角形 ABC 中，/ C=90, DE 垂直平分 AB,若 AC=b BC=a,BE=x,小222则x=b+(a- x).AB图1 E证明：连接 AE,因为 DE 垂直平分 AB,所以 AE=BE=x EC=BC-BE=a-x 在直角三角形 AEC2 2 2 2 2 2中，根据勾股定理得：AE = EC + AC，所以x=b+(a-x).结论 2 :如图 2,直角三角形 ABC 中，/ C=90,将厶 ABC 折叠，使点 C 恰好落在边 AB 上,2 2 2与点 D 重合， AE 为折痕， 若 AC=b,BC

2、=a,AB=c,BE=x，则x=(c- b)+(a- x).c E B图2证明：根据折叠的性质得：AD=AC=b EC=BC-BE=a-x=DE BD=AB-AD=c-b,在直角三角形2 2 2 2 2 2BED中，根据勾股定理得：BE = ED + BD，所以x=(c- b)+(a- x).下面就和同学们一起走进 2014 年中考，聚焦这两个结论的灵活应用.一、折叠直角三角形后用结论，探求折痕与一边的交点到直角顶点对称点的距离例 1 如图 3,在 Rt ABC 中，/ B=90, AB=3, BC=4,将厶 ABC 折叠，使点 B 恰好落在边8AC 上，与点 D 重合，AE 为折痕，则 ED

3、=_.8分析：此题是结论 2 的具体应用，只是改变了所求的线段， 但是对我们的解题思路不会产 生丝毫的影响.解:根据折叠可得 BE=ED AD=AB=3 设 EC=x 贝 U BE=ED=BC-EC=4-x 因为/ B=90, AB=3,BC=4,所以在 Rt ABC 中，由勾股定理得，AC=AB2+ BC?=l3?+ 4?=5,2 2 2所以 DC=AC-AD=5-3=2 在RtDC 中，由勾股定理得，x=(5- 3)+(4- x).解得 x=2.5,所以 ED=4-x=1.5 .所以应该填 1.5 .点评：分清折叠以后哪些线段是相等的是解题的关键，选择恰当的直角三角形是解题的核心.二、斜边

4、的垂直平分线为条件用结论，探求线段的长度例 2 如图 4, Rt AB(中, / ABC=90, DE 垂直平分 AC,垂足为 O, AD/ BC,且 AB=3 BC=4,贝 U AD 的长为_ .分析：如图 4,连接 AE,问题就化归为结论 1,求得 EC 的长，再利用三角形的全等就得到 AD 的长.2 2 2 2 2 2解：连接 AE,设 AE=EC=x 根据结论 1 得到：AE = EB + AB，所以x=3+(4- x),5解得：x= .8因为 AD / BC,所以/ ADO= / CEO，因为 DE 垂直平分 AC ,垂足为 O,所以 AO=CO ,85/ AOD= / COE，所以

5、 ADOCEO，所以 AD=CE，所以 AD=点评：设未知，把未知当已知对待，转化为结论1 问题获解.点评：正确求出线段 EC 的长是解题的关键，利用平行线和全等三角形传递求得所求线段 的长度是解题能力的一个综合反映.三、斜边的垂直平分线为条件用结论，探求斜边的长度例 3 如图 5,在 Rt ABC 中，/ ACB=60, DE 是斜边 AC 的中垂线，分别交 AB AC 于 D E 两点.若 BD=2 则 AC 的长是()A. 4 B. 4 气3C. 8 D. 83分析：设 AC=2x 由/ ACB=60，知道/ A=30，所以 BC=x 在直角三角形 ABC 中，根 据勾股定理得 AB=；_AC2- BC2=;(2x)2- X23X,这样 AD=CD=AB-BD =3x-2，利用 结论 1 就可以完成问题的解答.解：设 AC=2x 因为/ ACB=60，所以/ A=30,所以 BC=x 在直角三角形 ABC 中， 根据勾股定理得 AB=AC2- BC2=,(2x)2- X2=3x，所以 AD=CD=AB-BD=3x-2