北师版九年级数学上册期末复习考点 清单01 特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单01特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】平行四边形的性质边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO【清单02】平行四边形的判定与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【清单03】三角形的中位线三角形中位线：在△ABC中，D，E分别是AC，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离性质：平行线之间距离处处相等【清单05】菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。【清单06】菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半【清单07】菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。【清单08】矩形的性质※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等（3）四个角都是直角。【清单09】直角三角形斜边上的中线※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。【清单10】矩形的判定※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）四个角都相等的四边形是矩形。【清单11】正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）【清单12】正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【考点题型一】菱形的性质【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH为（

）A．3 B．4 C．125 D．【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，则∠BAD的度数为（

）A．98° B．128° C．120° D．118°【变式1-2】已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形面积为（

）A．22 B．25 C．42【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，P是AB边上的一点，E, F分别是DP, BP的中点，则线段【考点题型二】菱形的性质与判定综合运用

【典例2】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=12，求四边形AECF的面积．【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，过点C作CE∥BD，且BD=2CE，连接(1)求证：四边形OCED是矩形．(2)若AO=3，四边形ABCD的面积是183，连接OE，求OE【变式2-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF，连接EF，且AC⊥EF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接OE，若点E是AB的中点，OE=5，OA=12【变式2-3】如图，△ABC中，∠ACB=90∘，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接(1)求证：四边形CFBE是菱形；(2)若AB=10，BC=8，求DF的长．

【考点题型三】菱形中最小问题

【典例3】如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 【变式3-1】如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（

A．2 B．23 C．4 D．【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值为（

A．3 B．32 C．6 D．【变式3-3】如图，点P是菱形ABCD对角线AC上一动点，AB=1，∠BAC=30°，点M是边AB的中点，过点M作MN∥AC交BC于点N，则△MPN周长的最小值是（

）A．3+1 B．3−1 C．32【考点题型四】矩形的性质【典例4】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M，N．若AM=1,BN=2，则BD的长为（

）A．23 B．3 C．25 【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若∠ACB=30°，AB=12，则MN的长为（）A．12 B．8 C．6 D．4【变式4-2】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AO=4，则AD的长是（

）．A．4 B．23 C．3 D．【变式4-3】如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（

）A．26 B．12 C．24 D．不能确定【考点题型五】直角三角形斜边上的中线

【典例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若AB=10，则CD的长为（

A．3 B．5 C．6 D．8【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BCD=20°,E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（

A．30° B．50° C．45° D．40°【变式5-2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，E，F分别是线段AC，BD的中点．若AB=AD，EF=3，则AC=（

）A．5 B．6 C．33 【变式5-3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O,DH⊥BC于点H，连接OH,∠BAD=56°，则∠DHO的度数是（

）A．38° B．34° C．28° D．24°【考点题型六】矩形的性质与判定综合运用【典例6】如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．(1)若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在（1）的条件下，当AP=2，CB=4时，求CD的长．【变式6-1】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB=CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形；(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠E=60°，AB=2，求四边形ABCD的面积．【变式6-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．(1)求证：四边形AEFD为矩形．(2)若AB=6，OE=4，BF=10，求DF的长．【变式6-3】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，点E是CF的中点，DF∥AC交CE延长线于点F，连接

(1)求证：四边形AODF是菱形；(2)若∠AOB=60°，∠AFC=90°，AB=1，求CF的长．【考点题型七】矩形形中最小值问题

【典例7】如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=3，若AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（

）A．5 B．33 C．245 【变式7-1】如下图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（

A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8【变式7-2】如图，在菱形ABCD中，若AC−BD=2，S菱形ABCD=24，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FGA．2.4 B．4.8 C．3 D．4【变式7-3】如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的动点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则DG=；PA+PG的最小值为．【考点题型八】矩形中折叠问题【典例8】在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．​​(1)如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，求∠DAE的度数．(2)如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．(3)如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【变式8-1】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点是点E，BC的对应边BE交AD于点F．(1)求证：△BFD是等腰三角形；(2)若AB=3,BC=5，求AF的长．【变式8-2】如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，B′C交AD(1)求证：AE=CE；(2)若AB=8，BC=12，求DE的长．【变式8-3】把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG．(1)求证：四边形BGDH为平行四边形；(2)若AB=6,BC=8，求线段FG的长．【考点题型九】正方形的性质【典例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是0,0，4,0，则顶点C的坐标是（）A．2,−22 B．22,−22 C．【变式9-1】如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE=AC，连结AE交CD于点F，则∠AFC等于（

）度．A．112.5 B．125 C．135 D．150【变式9-2】如图，E是正方形ABCD内一点，AE⊥BE于E，若AE=6，BE=8，则阴影部分的面积为（

）A．48 B．76 C．78 D．84【变式9-3】如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是2，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点题型十】正方形的性质与判定综合运用

【典例10】如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点，过点E作EF⊥EA交CD于点G，且EF=EA，连接CF．(1)求证：∠BAE=∠CEF；(2)求∠ECF的度数．【变式10-1】如图，已知正方形纸片ABCD的边长为9，BE=3，将△ABE沿AE对折至△AGE，延长EG交CD于点F，连接AF，且AF平分∠DAG．(1)证明：△AGF≌△ADF；(2)求线段EF的长．【变式10-2】如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，连接AM，过点M作MN⊥AM，交CD于点N，以AM、MN为邻边作矩形AMNP．(1)求证：矩形AMNP是正方形．(2)若点N为CD的中点，且AD=8，求正方形AMNP的面积．【变式10-3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：

(1)AE=CG；(2)AE⊥CG．【考点题型十一】正方形中最小值问题【典例12】如图，正方形ABCD边长为2，E是BC中点，点P是BD上任一点，则PE+PC的最小值是（

）A．5 B．2 C．3 D．2【变式12-1】如图，正方形ABCD的边长为4,E、F分别为边AB和BC上的动点，且始终满足AE=BF，连接DE,DF，则DE+DF的最小值为（

）A．45 B．5 C．42【变式12-2】如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE=CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（

）A．45 B．35 C．25【变式12-2】如图所示，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的最小值为（

）A．9 B．4.5 C．6 D．6

清单01特殊平行四边形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】平行四边形的性质边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO【清单02】平行四边形的判定与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【清单03】三角形的中位线三角形中位线：在△ABC中，D，E分别是AC，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离性质：平行线之间距离处处相等【清单05】菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。【清单06】菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半【清单07】菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。【清单08】矩形的性质※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等（3）四个角都是直角。【清单09】直角三角形斜边上的中线※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。【清单10】矩形的判定※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）四个角都相等的四边形是矩形。【清单11】正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）【清单12】正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【考点题型一】菱形的性质【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH为（

）A．3 B．4 C．125 D．【答案】D【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，由垂线的性质可得∠AOB=90°，在Rt△AOB【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AC⊥BD，OA=OC=1OB=OD=1∴∠AOB=90°，在Rt△AOBAB=O∵DH是菱形ABCD的高，∴S∴DH=1故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质2等知识点，熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键．【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，则∠BAD的度数为（

）A．98° B．128° C．120° D．118°【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分一组对角得到∠ABC的度数，再根据菱形对边平行即可得到答案．【详解】解：∵在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，∴∠ABC=2∠ABO=52°，∴∠BAD=180°−∠AHC=128°，故选：B．【变式1-2】已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形面积为（

）A．22 B．25 C．42【答案】C【分析】本题考查菱形的面积公式，涉及菱形的性质、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，作出图形，由菱形对角线相互垂直，利用勾股定理可知另一条对角线长为42【详解】解：根据题意，作图如下：∴AC⊥BD，∵菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，∴OB=OD=1在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OD=1，AD=3，则OA=∴BD=2，∴菱形的面积为12故选：C．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，P是AB边上的一点，E, F分别是DP, BP的中点，则线段【答案】1【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明△ADB是等边三角形．如图连接BD，首先证明△ADB是等边三角形，可得BD=2，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AD=AB=2，∵E，F分别是DP，BP的中点，∴EF是△BPD的中位线，∴EF=1故答案为：1．【考点题型二】菱形的性质与判定综合运用

【典例2】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=12，求四边形AECF的面积．【答案】(1)详见解析(2)723【分析】（1）证明△AOF≌△COEASA得OE=OF，再证明四边形AECF（2）由菱形的性质得CE=AE=12，再证明∠CEO=∠B=30°，则OC=12CE=6，AC=2OC=12，然后由勾股定理得OE=6【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCEOA=OC∴△AOF≌△COEASA∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）由（1）可知，OE=OF，四边形AECF是菱形，∴CE=AE=12，∵AC⊥AB，EF⊥AC，∴∠COE=90°，EF∥AB，∴∠CEO=∠B=30°，∴OC=1∴AC=2OC=12，OE=C∴EF=2OE=123∴菱形AECF的面积=1【点晴】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，过点C作CE∥BD，且BD=2CE，连接(1)求证：四边形OCED是矩形．(2)若AO=3，四边形ABCD的面积是183，连接OE，求OE【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质勾股定理．（1）由菱形的性质得BD=2OD,AC⊥BD，证明OD=CE可证四边形OCED是平行四边形，进而可证四边形OCED是矩形；（2）连接OE，由四边形ABCD的面积是183求出BD=63，由勾股定理得CD=6，进而可得【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴BD=2OD,AC⊥BD即∠COD=90°∵BD=2CE∴OD=CE∵CE∥BD即CE∥OD∴四边形OCED是平行四边形∵∠COD=90°∴▱OCED是矩形（2）解：连接OE∵四边形OCED是矩形∴OE=CD在菱形ABCD中，AC=2OA=2OC=6，OD=∵∴∴BD=6∴OD=3∴CD=∴OE=6．【变式2-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF，连接EF，且AC⊥EF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接OE，若点E是AB的中点，OE=5，OA=12【答案】(1)见详解(2)四边形ABCD的周长和面积分别是85和【分析】（1）由平行四边形的性质得∠CAD=∠ACB，再证∠BAC=∠DAC，得△ABC为等腰三角形即可得出结论；（2）由菱形的性质得OA=OC，OB=OD=BD=2，AC⊥BD，由直角三角形斜边上的中线性质得OE=1本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∵AC⊥EF，∴∠BAC=∠DAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD=∠ACB，∴∠BAC=∠BCA，∴△ABC为等腰三角形，∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD=12BD∴∠AOB=90°，∵E为AB的中点，∴OE=1∵OE=5，OA=∴AB=2OE=25，OB=2OA∵OA∴5OA∴OA=2（负值已经舍去），∴AC=2OA=4，BD=2OB=4OA=8，∴四边形ABCD的面积=1∴四边形ABCD的周长=4AB=85∴四边形ABCD的周长和面积分别是85和16【变式2-3】如图，△ABC中，∠ACB=90∘，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接(1)求证：四边形CFBE是菱形；(2)若AB=10，BC=8，求DF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)3．【分析】（1）证明△CDE≌△BDFASA得到DE=DF，即得四边形CFBE是平行四边形，进而由EF⊥BC（2）由勾股定理可得AC=AB2−BC2=6【详解】（1）证明：∵CE∥∴∠DCE=∠DBF，∴EF垂直平分BC，∴CD=BD，在△CDE和△BDF中，∠DCE=∠DBFCD=BD∴△CDE≌△BDFASA∴DE=DF，∴四边形CFBE是平行四边形，又∵EF⊥BC，∴平行四边形CFBE是菱形；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AC=AB2∵EF⊥BC，∴AC∥又∵CE∥∴四边形ACEF是平行四边形，∴EF=AC=6，由（1）可知，DF=DE，∴DF=1【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．

【考点题型三】菱形中最小问题

【典例3】如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 【答案】B【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，作点M关于AC的对称点M′，连接PM'，M'E，则PM'=PM，PE+PM=PM【详解】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M∴PM∴PE+PM=PM当M'E⊥BC时，点P在M'∵四边形ABCD是菱形，∴点M′在AD∵AC=6，BD=62∴AB=AD=3由S菱形得12解得：EM即PE+PM的最小值是26故选：B．【变式3-1】如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（

A．2 B．23 C．4 D．【答案】B【分析】本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′，首先证明E与E′重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′【详解】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为83∴AB=BC=4，AB⋅CE∴CE在Rt△BCE′∵BE=EA=2，∴E与E′∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P′A+故选：B．【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值为（

A．3 B．32 C．6 D．【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，当AF⊥BC时，AF【详解】解∶过A作AK⊥BC于K，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23∴∠BAK=45°=∠B，AB=BC=23∴AK=BK，∴AK∴AK=6∵G、H分别为AE、EF的中点，∴GH=1∴当F和K重合时，AF最小，GH也最小，∴GH的最小值为62故选∶D．【变式3-3】如图，点P是菱形ABCD对角线AC上一动点，AB=1，∠BAC=30°，点M是边AB的中点，过点M作MN∥AC交BC于点N，则△MPN周长的最小值是（

）A．3+1 B．3−1 C．32【答案】D【分析】根据四边形ABCD是菱形，AB=1，∠BAC=30°，算出AO，再根据点M是边AB的中点，MN∥AC，得出MN=AO=32，N是BC边上的中点，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP=M′P+NP≥M′N，得出当M′,P,N三点共线时，MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．，再证明四边形【详解】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB=1，∠BAC=30°，∴AB=CD=AD=BC=1，BD⊥AC，∴OB=1∵点M是边AB的中点，MN∥AC，∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AC=AO=32作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP=M′P+NP≥M′N，当∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD又∵N是BC边上的中点，∴AM∴四边形ABNM∴M′∴MP+NP=M即MP+NP的最小值为1，∵△MPN周长=MN+MP+NP，则△MPN周长的最小值是=MN+M故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识点，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．【考点题型四】矩形的性质【典例4】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M，N．若AM=1,BN=2，则BD的长为（

）A．23 B．3 C．25 【答案】A【分析】根据矩形的性质，垂直平分线的性质可证△BEN≌△DEMASA，可得AD=3,DM=BN=BM=2，运用勾股定理可得AB的值，在直角△ABD中，运用勾股定理即可求解【详解】解：如图所示，连接BM，设BD,MN交于点E，∵四边形ABCD矩形，∴∠A=90°,AD∥BC，∴∠EBN=∠EDM，∵MN垂直平分BD，∴∠BEN=∠DEM=90°,EB=ED，BM=DM，在△BEN和△DEM中，∠EBN=∠EDMEB=ED∴△BEN≌△DEMASA∴DM=BN=2，∴BM=2，AD=AM+MD=1+2=3，在Rt△ABM中，AB=在Rt△ABD中，BD=故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握矩形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若∠ACB=30°，AB=12，则MN的长为（）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质得出AC=BD=24，进而求出BD=2BO，再依据中位线的性质推知MN=1【详解】解：在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，若∠ACB=30°，AB=12，∴BD=AC=2AB=2×12=24，∴BD=2BO，即2BO=24，∴BO=12，又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN=1故选：C．【变式4-2】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AO=4，则AD的长是（

）．A．4 B．23 C．3 D．【答案】D【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题关键．根据矩形的性质结合题意可证明△AOB为等边三角形，即得出AB=AO=4，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AO=BO=4，∠BAD=90°，∴BD=2BO=8．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°−∠AOD=60°，∴△AOB为等边三角形，∴AB=AO=4，∴AD=B故选D．【变式4-3】如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（

）A．26 B．12 C．24 D．不能确定【答案】B【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．由矩形ABCD可得：S△AOD=14S矩形ABCD，又由AB=15，BC=20，可求得AC【详解】解：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=S△AOD∴OA=OD=1∵AB=15，BC=20，∴AC=AB2∴OA=OD=1∴S∴PE+PF=12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故选：B．【考点题型五】直角三角形斜边上的中线

【典例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若AB=10，则CD的长为（

A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．由题意得，CD=12AB【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12∵AB=10，∴CD=5，故选：B．【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BCD=20°,E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（

A．30° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】本题考查了斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，由题意得CE=12AB=BE【详解】解：∵CD⊥AB,∠BCD=20°,∴∠B=70°；∵E是斜边AB的中点，∴CE=1∴∠ECB=∠B=70°，∴∠DCE=∠BCE−∠BCD=50°，故选：B【变式5-2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，E，F分别是线段AC，BD的中点．若AB=AD，EF=3，则AC=（

）A．5 B．6 C．33 【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EF=AC，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．【详解】解：连接AF，∵AB=AD，F为BD的中点，∴AF⊥BD，即∠AFC=90°，∵E为AC的中点，∴EF=1∵EF=3，∴AC=6，故选B．【变式5-3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O,DH⊥BC于点H，连接OH,∠BAD=56°，则∠DHO的度数是（

）A．38° B．34° C．28° D．24°【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．首先根据菱形的一组邻角互补可以求出∠ABC=124°，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得∠DBH=∠ABD=12∠ABC=62°、OB=OD，所以可得∠BDH=28°，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得HO=DO【详解】解：如下图所示，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD=56°，∵∠ABC=124°，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠DBH=∠ABD=1∵DH⊥BC，∴∠DHB=90°，在Rt△DBH中，∠BDH=90°−∠DBH=90°−62°=28°∵OB=OD，∴点O是BD的中点，∴HO=DO，∴∠DHO=∠BDO=28°．故选：C．【考点题型六】矩形的性质与判定综合运用【典例6】如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．(1)若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在（1）的条件下，当AP=2，CB=4时，求CD的长．【答案】(1)证明见解析(2)CD=5【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：（1）证明△CPQ≌△CDQ，进而得到∠CDQ=90°，即可得证；（2）设CD=x，根据矩形的性质，得到AB=CD=x，进而得到BP=AB−AP=x−2，在Rt△CBP中，利用勾股定理求出x【详解】（1）证明：∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ=∠PCQ，∵CP=CD，CQ=CQ，∴△CPQ≌△CDQ，∴∠CDQ=∠CPQ，∵PQ⊥CP，∴∠CDQ=∠CPQ=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）由（1）知平行四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°,CD=AB，设CD=AB=x，则：CP=CD=x，BP=AB−AP=x−2，在Rt△CBP中，由勾股定理，得：x解得：x=5，∴CD=5．【变式6-1】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB=CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形；(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠E=60°，AB=2，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由题意易得四边形ABCD是平行四边形，OA=OB，则有AC=BD，然后问题可求证；（2）由题意易得∠AOB=∠E=60°，AO=BO，则有AO=AB=2，然后可得AC=2AO=4，∠ABC=90°，进而根据勾股定理可进行求解．【详解】（1）证明：∵四边形EBOA是菱形，∴OA=OB，∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=12AC∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形EBOA是菱形，∴∠AOB=∠E=60°，AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=2，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO=4，∠ABC=90°，∴BC=A∴S矩形【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键【变式6-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．(1)求证：四边形AEFD为矩形．(2)若AB=6，OE=4，BF=10，求DF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)DF=24【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC=EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，即可得出AD=EF，AD∥EF，可证明四边形（2）根据矩形的性质可得AF=DE=8，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案；本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵CF=BE，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥∴AD=EF，AD∥∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD为矩形；（2）解：由（1）得：四边形AEFD为矩形，∴AE=DF，OE=OD=12DE=4∴AF=DE=8，∵AB=6，BF=10，∴AB∴∠BAF=90°，∴S△BAF∴12∴AE=24∴DF=AE=24【变式6-3】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，点E是CF的中点，DF∥AC交CE延长线于点F，连接

(1)求证：四边形AODF是菱形；(2)若∠AOB=60°，∠AFC=90°，AB=1，求CF的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）由AAS可判定△DEF≌△OEC，由全等三角形的性质得DF=OC，结合矩形的性质得OA=OD=DF，由平行四边形的判定方法得四边形AODF是平行四边形，再由矩形的判定方法，即可得证；（2）由等边三角形的判定方法得△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得OA=AB=1，由菱形的性质得AF=OA=1，AF∥BD，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得CF=3【详解】（1）证明：∵DF∥AC，∴∠DFE=∠OCE，∠EDF=∠EOC，∵点E是CF的中点，∴FE=CE，在△DEF和△OEC中∠DFE=∠OCE∠EDF=∠EOC∴△DEF≌△OEC（AAS），∴DF=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC=BD，∴OA=OD=DF，∵DF∥OA，∴四边形AODF是平行四边形．∴平行四边形AODF是菱形．（2）解：由（1），得OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=1．∵四边形AODF是菱形，∴AF=OA=1，AF∥BD，∴∠FAC=∠AOB=60°．∵∠AFC=90°，∴∠ACF=30°，∴AC=2AF，∵CF∵CF∴CF=3【点睛】本题考查了菱形的判定及性质，矩形的性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，掌握菱形的判定及性质，矩形的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键．【考点题型七】矩形形中最小值问题

【典例7】如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=3，若AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（

）A．5 B．33 C．245 【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，掌握矩形的性质，找到点B关于AC的对称点B'，结合三角形三边数量关系，垂线段最短知识的运用是解题的关键根据题意，过点B关于AC的对称点B'，连接BB'交AC于点F，连接B'N,B'M，作B'E⊥AB于点E，交AC,AB于点M',N'，根据三角形三边数量关系可得，B'M+MN≥B'N，根据点到直线垂线段最短可得，B'【详解】解：如图所示，过点B关于AC的对称点B'，连接BB'交AC于点F，连接B'N,B'M，作∵对称，∴BF=B∴BM+MN=B根据三角形三边数量关系可得，B'根据点到直线垂线段最短可得，B'∴当点M,N在垂线B'E上，即点M于点M'，点N于点N∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴AC=A∵S△ABC∴BF=AB·BC∴BB在Rt△ABF中，AF=∵S△AB∴B'故选：C．【变式7-1】如下图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（

A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8【答案】D【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，连接CD，由题意可得四边形CEDF是矩形，得到EF=CD，可知当CD⊥AB时，CD的值最小，利用勾股定理和三角形的面积求出CD的最小值即可求解，掌握矩形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：连接CD，∵DE⊥AC，DF⊥CB，∴∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF=CD，当CD⊥AB时，可知CD的值最小，此时12∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=6∴12解得CD=4.8，∴线段EF的最小值是4.8，故选：D．【变式7-2】如图，在菱形ABCD中，若AC−BD=2，S菱形ABCD=24，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FGA．2.4 B．4.8 C．3 D．4【答案】A【分析】连接OE，利用菱形的性质证明四边形GEFO为矩形，得到FG=OE，进而得到当OE⊥DC时，OE的值最小，即FG的值最小，利用菱形的性质和勾股定理分别算出OD、OC、DC，再利用面积法求解，即可解题．【详解】解：连接OE，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵EF⊥OC，EG⊥OD，∴四边形GEFO为矩形，∴FG=OE，当OE⊥DC时，OE的值最小，即FG的值最小，∵AC−BD=2，S菱形∴12AC⋅BD=24解得AC=8，BD=6，∴OD=3，OC=4，∴DC=O∴1即5OE=12，解得OE=12∴FG的最小值为2.4，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，解题的关键在于利用矩形性质和垂线段最短找出FG取最小值的情况．【变式7-3】如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的动点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则DG=；PA+PG的最小值为．【答案】14【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到DG=1，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，当点A′，P，G，D共线时，PA+PG的值最小，最小值为A′【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC=∠D=90°∵EF=2，点G为EF的中点，∴DG=1，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，当点A′，P，G，D共线时，

∵AB=2，AD=3，∴AA∴A′∴A′∴PA+PG的最小值为4；故答案为：1，4．,【考点题型八】矩形中折叠问题【典例8】在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．​​(1)如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，求∠DAE的度数．(2)如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．(3)如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【答案】(1)∠DAE=18°(2)8(3)0.9【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAC=36°，根据折叠的性质的∠DAE=18°；（2）根据矩形的性质得∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=8，则CF=2，设CE=x，则EF=ED=6−x，根据勾股定理可得22+x2=6−x2（3）连接EG，由题意可得DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，则∠EFG=90°=∠C，通过证明Rt△CEG≌Rt△FEGHL，则CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC−CG=10−y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：6【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAC=90°−∠BAC=90°−54°=36°，∵△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处，∴∠DAE=∠EAC=1（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED，∴BF=A∴CF=BC−BF=10−8=2，设CE=x，则EF=ED=6−x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：2解得：x=8即CE的长为83（3）解：连接EG，如图所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在Rt△CEG和RtEG=EGCE=FE∴Rt∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：6解得：y=0.9，即CG的长为0.9．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．【变式8-1】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点是点E，BC的对应边BE交AD于点F．(1)求证：△BFD是等腰三角形；(2)若AB=3,BC=5，求AF的长．【答案】(1)详见解析(2)AF=【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，根据折叠的性质得到∠DBC=∠DBF，根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）根据折叠的性质我们可得出CD=DE=AB=3，∠E=∠C=∠A=90°，BE=BC=5，证明△ABF≌△EDFAAS，设BF=x【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠DBC=∠DBF，∴∠DBF=∠BDF，∴△BFD是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴CD=DE=AB=3，∠E=∠C=∠A=90°，BE=BC=5，在△ABF与△EDF中，∠AFB=∠EFD∠A=∠E=90°∴△ABF≌△EDFAAS∴AF=EF，设BF=x，则AF=FE=5−x，在Rt△AFB中，B即x2解得x=17∴AF=5−17【点晴】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．【变式8-2】如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，B′C交AD(1)求证：AE=CE；(2)若AB=8，BC=12，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)DE=10【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理．（1）证明△AEB（2）设DE=x，在Rt△DCE中，利用勾股定理求出x【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′∴∠B∴AB在△AEB′与∠B∴△AEB∴AE=CE；（2）解：∵△AEB∴AE=CE，设DE=x，则AE=CE=12−x，在Rt△DCE中，D∴x2∴x=10∴DE=10【变式8-3】把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG．(1)求证：四边形BGDH为平行四边形；(2)若AB=6,BC=8，求线段FG的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查了与矩形有关的折叠问题，平行四边形的证明及勾股定理，准确分析计算是解题的关键．（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明即可；（2）由折叠可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在根据勾股定理计算即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥∴∠ABD=∠CDB，又由折叠可得：∠ABH=∠DBH，∠CDG=∠BDG，∴∠ABH=1∴∠DBH=∠BDG，∴BH∥∵AD∥∴四边形BGDH为平行四边形；（2）解：由折叠可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在Rt△BCD∵BD∴BD=8∴BF=10−6=4，设FG=CG=x，则BG=8−x，在Rt△BGF∵BF42解得：x=3，即FG=3．【考点题型九】正方形的性质【典例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是0,0，4,0，则顶点C的坐标是（）A．2,−22 B．22,−22 C．【答案】C【分析】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标．根据AC、OB的互相垂直平分，且OB=4=AC，即有OD=DB=DA=DC=2，问题得解．【详解】解：连接AC，交OB于点D，∵B4，∴OB=4，∵四边形OABC是正方形，∴AC、OB的互相垂直平分，且OB=4=AC，∴OD=DB=DA=DC=2，OD⊥DC，∴C点坐标2，故选：B．【变式9-1】如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE=AC，连结AE交CD于点F，则∠AFC等于（

）度．A．112.5 B．125 C．135 D．150【答案】A【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质．解题的关键是掌握以上知识点．首先根据正方形的性质得到∠BCA=∠FCA=12∠BCD=45°【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=90°∴∠BCA=∠FCA=∵CE=AC∴∠E=∠CAE=∴∠AFC=180°−∠CAF−∠ACF=112.5°．故选：A．【变式9-2】如图，E是正方形ABCD内一点，AE⊥BE于E，若AE=6，BE=8，则阴影部分的面积为（

）A．48 B．76 C．78 D．84【答案】B【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理的应用、三角形及正方形的面积公式等知识与方法，先由∠AEB=90°，AE=6，BE=8，根据勾股定理求得AB=10，再分别求出正方形ABCD的面积和△AEB的面积，即可由S阴影【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=A∵四边形ABCD是正方形，∴S∵S∴S∴阴影部分的面积是76，故选：B．【变式9-3】如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是2，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°,∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌【详解】解：如图，设AB与OE交点N，BC与OG交点M，∵四边形ABCD和四边形EFGO都是正方形，∴OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°,∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON=∠MOC．在△OBN与△OCM中，∠OBN=∠OCMOB=OC∴△OBN≌∴S∴S故选：A．【考点题型十】正方形的性质与判定综合运用

【典例10】如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点，过点E作EF⊥EA交CD于点G，且EF=EA，连接CF．(1)求证：∠BAE=∠CEF；(2)求∠ECF的度数．【答案】(1)见解析(2)135°【分析】此题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质．（1）根据正方形的性质和等角的余角相等即可得结论；（2）在AB上截取BP=BE，连接EP，证明△APE≌△ECFSAS，可得∠ECF=∠APE=180°−∠BPE=135°【详解】（1）证明：∵EF⊥EA，EF=EA，∴∠AEB+∠CEF=90°，在正方形ABCD中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF；（2）解：如图，在AB上截取BP=BE，连接EP，在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，∴AP=EC，∠BPE=45°，∴∠APE=180°−∠BPE=135°，∵AP=EC，∠PAE=∠CEF，AE=EF，∴△APE≌△ECFSAS∴∠ECF=∠APE=180°−∠BPE=135°．【变式10-1】如图，已知正方形纸片ABCD的边长为9，BE=3，将△ABE沿AE对折至△AGE，延长EG交CD于点F，连接AF，且AF平分∠DAG．(1)证明：△AGF≌△ADF；(2)求线段EF的长．【答案】(1)见解析(2)15【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AG，BE=GE，∠B=∠AGE=90°，利用HL定理得出Rt△AGF≌（2）结合（1）设DF=GF=x，则CF=9−x，EF=x+3，利用勾股定理得出CE2+C【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD=9，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ABE沿AE对折至△AGE，∴AB=AG，BE=GE，∠B=∠AGE=90°，∴AD=AG，∠D=∠AGF=90°，又∵AF=AF，在Rt△AGF和RtAF=AFAD=AG∴Rt△AGF≌（2）由（1）可知，Rt△AGF≌Rt△ADF∴DF=GF，CE=BC−BE=6，设DF=GF=x，则CF=9−x，EF=x+3，∴在Rt△CEF中，CE2解得x=9∴EF=3+9【变式10-2】如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，连接AM，过点M作MN⊥AM，交CD于点N，以AM、MN为邻边作矩形AMNP．(1)求证：矩形AMNP是正方形．(2)若点N为CD的中点，且AD=8，求正方形AMNP的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】本题考查正方形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：（1）过点M作ME⊥AD于点E，MF⊥CD于点F，先证ME=MF，四边形EMFD是矩形，进而得出∠AME=∠NMF，再证△AME≌△NMFASA，推出AM=NM，即可证明四边形AMNP（2）先用勾股定理解Rt△ADN求出AN【详解】（1）解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，MF⊥CD于点F，∵四边形