线性代数自考知识点汇总

1、行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等 D Dt .性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零a b c如 a b c 0a b c性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式a11a12a13a11a12a13如ka?ika?2ka?3ka21a22a23a31a32a33a31a32a33推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零.a b c如 a b c 0ka kb kc性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之

2、和a11a12a13a11a12a13a11a12a13如a21 a21a22 a22a23a23a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33a31a32a33性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变a11a12a13a11a12a13如a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31ka11a32ka12a33ka132. 余子式与代数余子式在n阶行列式中，把元素 aj所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 aj的余子式,记作Mj，A311312313如32132232333

3、1332333(1)i iMij叫做元素ay，元素323的余子式为M 23元素323的代数余子式为 A23（ 1）2 3M233.行列式按行（列）展开法则的代数余子式.ai1a31311331ai2a32312332定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D3i 1 Ai 13i2i1,2,L,n;311312313321322323331332333Ai 2L 3in Ain 或 D a1 j A1 j a2j A2jL3nj Anj1,2L n311A11a12 A12a13 A13定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘

4、积之和等于零，即ai1Aj 1ai2Aj2Lain Ajn0,或 a1 j A1j a2 j A2 j Lanj Anj 0, i j i 1,2,L ,n;j 1,2L n4.行列式的计算（1 ）二阶行列式311321312322311322312 321（2）三阶行列式311312313321322323331332333311322333312323331313321332313322331312321333311323332对角行列式1212Ln，21ONnnn( m 1 )1)212L na11（4）三角行列式a?1a?2MMOan1an2Lanna11ai,n 1aina2,n 1

5、ai2La22 LOaina2nMannai1 a22 L anna11Ka21 Ka2,n 1an1an1an2dna2nMannn( n 1)(1)1 2 * * * *ama2,n 1L aM（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值（6 ）降阶法：禾U用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低 行列式的阶数求出行列式的值 （7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值 矩阵1.常见矩阵0的方阵，称为对角矩阵记作A.311312L31n322L32n0的方阵

6、如OM3nn如3213220的方阵如MMOan13n2L3nnA，即 3ijaji ,则称A为对称矩阵TA，即aij3ji，则称A为反对称矩阵的对角矩阵，称为单位矩阵记作E.E或AtA E，则称A为正交矩阵7）正交矩阵：设A为n阶方阵，如果 AA72. 矩阵的加法、数乘、乘法运算(1)矩阵的加法abcabcaab b c c如defdefdde e f f注： 只有同型矩阵才能进行加减运算； 矩阵相加减就是对应元素相加减 .(2) 数乘矩阵a b c ka kb kc如kd e f kd ke kf注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素 .(3) 矩阵的乘法：设 A (aij )ms,B (bi

7、j )s n ，规定 AB C (cij )mn,s其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L aisbsjaik bkj(i 1,2 ,L ,m, j 1,2 ,L ,n.)k1注：左矩阵A的列数等于右矩阵 B的行数; 左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积 C的元素Gj 左矩阵A的行数为乘积 C的行数，右矩阵 B的列数为乘积 C的列数如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵(即一个数) ，即b11a11 a12 La11b11a12b21L a1sbs1列矩阵乘行矩阵是 s 阶方阵，即a11a11b11a11b12La11b1sa21a21b11a21b12La21b1sb1

8、1 b12 Lb1sM 11 12 1sMMMas1as1b11as1b12Las1b1s3. 逆矩阵设n阶方阵A、B，若AB=EBA=E，贝U A,B都可逆，且A 1B,B1 A.(1)二阶方阵求逆，设，则A 1|AA1ad be（两调一除法）a对角矩阵的逆aia1O1On分块对角阵的逆AA2a2a2OnanOn1a2As1A2般矩阵求逆，初等行变换的方法:As1ERT4. 方阵的行列式的行列式记作A或det （A）.由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1 ）互换两行（列）；（2 ）数乘某行（列）；（3 ）

9、某行（列）的倍数加到另一行（列）6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵001100100如010,0k0,010都是初等矩阵100001k017. 矩阵的秩矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩记作R （ A）或r （ A）.求矩阵的秩的方法：（1 ）定义法：找出 A中最高阶的非零子式，它的阶数即为 A的秩（2 ）初等行变换法：A已只丁 行阶梯形矩阵，R（ A）=R （行阶梯形矩阵）=非零行的行数8. 重要公式及结论（1 ）矩阵运算的公式及结论A BB A,(A B) C A (B C),(AB) AB(AB)CA(BC),(AB)C ACbc,(AB)(A)BA(

10、 B)Ak1 Ak2Ak1k2(Ak1)k2Ak1k2J(A)kkAk ,Ek EAB kA BA k 1'b.EA AEa,A0EAt TA, (AB)Tatbt,A Tat,AB TbtatA 丁 At , AB B A ,AA A A |A EAT| |a, I A n A, AB ab| |ba, An| |a： |a b |a |b 矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB MAB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C ;只有当A可逆时，有B=C.一般地若 AB=O，则无A=O或B=O.222A B B?A2 2AB B2.（2 ）逆矩阵的公式及定理A1A,1丄A1

11、1ABAt 1A1TA1A可逆A11IAA,AkAAA1k|A|工0AE(即A与单位矩阵E等价)(3 )矩阵秩的公式及结论R(O)0,R(Am n) min m,n ,R( At ) R( A),R( kA)R(A),k 0R(A) n, R A BR( AB )<R( A ), R( AB ) WR( B ).特别地,当 A 可逆时，R(AB)=R(B)；B 可逆时，R(AB)=R(A).A ETB A B R A R即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩9. 矩阵方程(1 )设A为n阶可逆矩阵，B为n Xm矩阵，则矩阵方程AX=B的解为X A 1B ；解法：求出A1，再计算A 1

12、B ；ERT(2 )设A为n阶可逆矩阵，B为m Xn矩阵，则矩阵方程XA=B的解为X BA1 ；1 1解法：求出A，再计算BA ； A ECT EB10. 矩阵间的关系(1 )等价矩阵：如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A与B等价.即存在可逆矩阵 P, Q，使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等(2 )相似矩阵：如果存在可逆矩阵 P，使得P 1AP B，那么称A与B相似.性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹(3)合同矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得PtAP B，那么称A与B合同.性质：合同矩阵的秩相等向量空间1. 线性组合(1 )若= k卩，则

13、称向量a与卩成比例.(2 )零向量O是任一向量组的线性组合.(3 )向量组中每一向量都可由该向量组线性表示.2. 线性相关与线性无关(1 )单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量.(2 )单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.(3 )两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例(4 )两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例(5 )含有O向量的向量组一定线性相关.(6 )向量组!, 2,K , m线性相关的充分必要条件是 齐次线性方程组& 1 k2 2 Lkm m 0有非零解. 以向量组为列作的矩阵1, 2K , m的秩 < 向量的个数m.(7) n个n维向量1, 2L , n线性

14、相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值1, 2K , n =0.(8 )向量组1, 2,K , m线性无关的充分必要条件是 齐次线性方程组k1 1 k2 2 L km m 0只有零解. 以向量组为列作的矩阵1, 2,K , m的秩=向量的个数m.(9) n个n维向量i, 2L , n线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值1, 2 K , n工0.(10 )当m>n时，m个n维向量一定线性相关.定理1 ：向量组，a? , am (m >2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量

15、都不能由其余向量线性表示.定理2 :如果向量组 A : ai , a?,ar线性无关，而向量组 a , a?,a，a线性相关，则a 可由A线性表示，且表示式唯一.定理 3 :设向量组 A： 1, 2,L , r , B :1, 2 L , r , r 1 L , m若A线性相关，则向量组 B也线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组 A也线性无关.(即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关)定理4 :无关组的截短组无关，相关组的接长组相关3. 极大无关组与向量组的秩定义1如果在向量组 T中有r个向量a , a? ,ar 满足条件： 向量组a，a? , ar线性无关，T ,1, 2L ,

16、 r,线性相关.那么称向量a1 , a2 ,ar是向量组T的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。结论1线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。结论2 如果向量组的秩是r，那么该向量组的任意 r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。定理1 设向量组A:a,a2,a；及向量组B:b,b2,bs，如果组A能由组B线性表示，且组 A线 性无关，则r角.推论 1 等价的向量组有相同的秩 .定理2 矩阵的秩=矩阵列向量组的秩=矩阵行向量组的秩4. 向量空间定义1设V为n维向量的集合，如果集合

17、 V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就 称集合 V 为向量空间 .5. 基与向量在基下的坐标定义2 设V是向量空间，如果向量组 a，a? , , ar 满足条件：（1 ）向量组 a1 , a2 , , ar 线性无关；（2 ）T ， 1, 2,L , r, 线性相关 .那么称向量组a1 , a2 ,ar是向量空间V的一个基， 基中所含向量的个数称为向量空间 V的维数， 记作 dimV ，并称 V 为 r 维向量空间定义3 设向量组a，a2 ,a是向量空间V的一个基，则 V中任一向量x可唯一地表示为基的一 个线性组合，即 x 1a1 2a2 Lrar ，称有序数组1, 2L , r

18、为向量x在基a , a2 ,ar下的坐标.线性方程组1. 线性方程组解的判定（1 ） 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 和增广矩阵（ A,b ）的秩相同，即 R（A）=R （A， b）.当 R（A）=R （A， b）=r 方程组 AX=b 有惟一解的充分必要条件是 r=n; 方程组 AX=b 有无穷多解的充分必要条件是 r n.(2 )方程组AX= b无解的充分必要条件是 R(A) MR (A , b ).2. 齐次线性方程组有非零解的判定(1 )齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R(A) 未知量的个数n .(2 ) 含有 n 个方程， n 个未

19、知量的齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是方程组的系数 行列式等于零 .(即 |A|=0 )(3)齐次线性方程组 AX=0中，若方程的个数 m未知量的个数n,则方程组有非零解3. 齐次线性方程组解的性质(1 )若 1, 2 是 Ax=0 的解,则 12 也是 Ax=0 的解；(2 )若 是 Ax=0 的解,则 k 也是 Ax=0 的解 .4. 齐次线性方程组的基础解系与通解( 1 ) 解空间齐次线性方程组 Ax=0 的全体解向量所组成的集合,是一个向量空间,称为方程组Ax=0 的解空间.记作 V，即 V= x | Ax=0 , x R .( 2 ) 基础解系齐次方程组 AX=0

20、的解空间 V 的一个基,称为齐次方程组 AX=0 的一个基础解系 . 基础解系中解向量的个数是 n-r ( A) .方程组 AX=0 的任意 n-r 个线性无关的解都是 AX=0 的基础解系 .(3 )齐次线性方程组的通解为k1 1 k2 2 Lkn r n r ,其中 1, 2,L , n r 是 Ax=0 的一个基础解系.5. 非齐次线性方程组解的性质(1 )若 1, 2是 Ax=b 的解,则 12是 Ax=0 的解；即 Ax=b的任意两个解的差必是其导出组Ax=0的解.(2 )若是Ax=b的解， 是Ax=0的解，则是Ax=b的解.即 Ax=b的任意一个解和其导出组Ax=0的任意一个解之和

21、仍是Ax=b 的解.6. 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组 AX=b的通解为ki i k22 Lkn r n r其中1, 2L , n r为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,为非齐次线性方程组AX=b的任意一个解，称为特解方阵的特征值1. 向量的内积XiX2M，yy1y2，则x, y的内积为 x,yx1y1%y2 LM人齐.Xnyn(1)向量x的长度:1 、非零向量的单位化：若向量x工0 ,则厂x是单位向量lxlx,y 0时,称向量x与y正交.若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组.若正交组中每个向量都是单位向量，则称它为标准正交组 定理1 正交向量组必线性无关定理

22、2 A为正交矩阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交.(6 )施密特正交化过程1, 2, 3是一个线性无关的向量组,正交化：令11,2 a21 ,a3a31单位化：取e1e33等价的标准正交组2. 特征值与特征向量(1 )方阵A的特征值是特征方程A E0的根.三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元.方阵和它的转置方阵有相同的特征值n, A 12L设1, 2,L , n是n阶方阵A的全部特征值，则tr A 12 L即方阵A的对角线上元素之和等于 A的全部特征值之和，方阵A的行列式等于 A的全部特征值的乘积(5 )若是方阵A的特征值，则f是方阵f A的特征值特别地，当f

23、A0时，方阵A的特征值是f0的根说明:f(x) amXm amm 1-1x Laix a, f (A) amAm am iAm 1 L例如是方阵A的特征值,则方阵fA A 2E的特征值是f2.方阵f AA2 3A 4E的特征值是f34.2 2例如若1, 2 4 ki,k2不全为零也是0的A 3A 4E 0 ,则方阵A的特征值是34 0的根，即(6)设Pi,P2都是方阵A的属于同一特征值 0的特征向量，则kiR k2P2特征向量.(7 )属于不同特征值的特征向量线性无关(8 )属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关3. 方阵的对角化(1 )若方阵A与对角矩阵A相似，则说 A可以对角化

24、即存在可逆矩阵P，使得P 1AP(A是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.)(2 ) n阶方阵A可以对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量；属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同(3 )n 阶方阵 A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵 A 的 n 个特征值互不相等(4)若 A 与 B 相似，则 f A 与 f B 相似.4. 实对称矩阵的对角化(1 )实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.(2 )实对称矩阵一定可以对角化即存在正交矩阵 P,使得P 2 ,L , n ，最后做正交变换 x=Cy ，得到 f 的标准形为2 ,L , n 是 fxT Ax 的矩阵 A 的特征值 .)2 ) 用配方法化二次型为标准形的具体步骤AP .(A是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵