曲面的面积 重心 转动惯量 引力

1、 曲面的面积曲面的面积 重心重心 转动惯量转动惯量 引力引力iiAS ),(iii iSi iAxyzO求由方程求由方程Dyxyxfz ),(),(所确定的曲面所确定的曲面 S 的面积的面积对区域对区域 D 作分割作分割 T , niiTAS10|lim一、一、曲面和面积曲面和面积曲面面积的计算公式曲面面积的计算公式先计算先计算 Ai 的面积的面积.iiiA cos zini i iAi ),(),(11|cos|22iiyiixiff iiiyiixiffA ),(),(122 niiiiyiixTniiTffAS1220|10|),(),(1limlim Dyxyxyxfyxfdd),()

2、,(122所以若曲面方程为所以若曲面方程为Dyxyxfz ),(),(则该曲面的面积则该曲面的面积 S 为为 DyxyxyxfyxfSdd),(),(122说明说明: zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(则曲面面积则曲面面积 S ：如果曲面方程为如果曲面方程为 yzDzyzyzyxzyxSdd),(),(122如果曲面方程为如果曲面方程为则有公式：则有公式： xzDzxzxzxyzxySdd),(),(122例例1求圆锥求圆锥22yxz 在圆柱体在圆柱体xyx 22内那一部分的面积内那一部分的面积.解解 DyxyxzzSdd122所求面积的曲面的方程为所求面积的曲面

3、的方程为22yxz xyxD 22:,22yxxzx ,22yxyzy 21122222222 yxyyxxzzyx所以所以 Dyxdd2 42 例例. 计算双曲抛物面 yxz 被柱面222Ryx所截 解解: 曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积 A .设空间有设空间有n个质点个质点, ),(iiizyx, ),2,1(nimi 由力学知由力学知, ,11 nkknkkkmmxx,11 nkknkkkmmyy nkknkkkmmzz11分别位于分别位于其质量分别为其质量分别为该质点组

4、的重心坐标为该质点组的重心坐标为二、二、重心重心设空间物体设空间物体 V , 有连续密度函数有连续密度函数),(zyx 采用采用 “分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取极限取极限” 可导出其可导出其重心坐标公式重心坐标公式.求求 V 的重心坐标的重心坐标. 将将 V 分成分成 n 小块小块, ),(kkk 将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点),(kkk 的重心坐标的重心坐标. 例如例如,此质点组的重心坐标就近似该物体此质点组的重心坐标就近似该物体的质点的质点, 其质量为其质量为在第在第 i 块上任取一点块上任取一点nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(kkk

5、kkvm ),( 令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径,0|T VVzyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( 即得即得其中其中 m 为物体为物体 V 的质量，的质量， VVzyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( VVzyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( mzyxzyxxV ddd),( mzyxzyxyV ddd),( mzyxzyxzV ddd),( 同理可得同理可得 ,),(常数时当zyx则则,dddVzyxxxV ,dddVzyxyyV .dddVzyxzzV 其中其中 V 表示区域表示区域 V 的体积的体积若物体为占有若物体为占有xoy 面

6、上区域面上区域 D 的平面薄片的平面薄片, ),(yx DDyxyxyxyxxxdd),(dd),( ,常数时,ddDDSyxxx (SD 为为 D 的面积的面积)则则则它的重心坐标为则它的重心坐标为其面密度为其面密度为 DDyxyxyxyxyydd),(dd),( ,ddDDSyxyy 4例例. 求位于两圆求位于两圆 sin2 r sin4 r和和之间均匀薄片的重心之间均匀薄片的重心. D解解: 利用对称性可知利用对称性可知0 x而而 DDyxySydd1 Drrr ddsin31rr dsin4sin22 dsin95604 2956 dsin2956204 37 0dsin31 43 2

7、12 2oyx质点质点 A 对于轴对于轴 l 的转动惯量的转动惯量 J 惯量可用积分计算惯量可用积分计算. 质点组的转动惯量等于各质点质点组的转动惯量等于各质点和和 A 与转动轴与转动轴 l 的距离的距离 r 的平方的乘积的平方的乘积, 即即 2mrJ 三、三、转动惯量转动惯量的转动惯量之和的转动惯量之和, 故连续体的转动故连续体的转动r等于等于 A 的质量的质量 m 设设),(zyx 在该物体位于在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元，处取一微元，vzyxyxd),()(22 因此该物体因此该物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量: VzzyxzyxyxJddd),()(22

8、 zJdxVyoz对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 22yx 其体积记为其体积记为 dV ，质量为，质量为 Vzyxd),( 到到 z 轴的距离为轴的距离为22yx 从而从而为空间物体为空间物体 V 的密度函数，求的密度函数，求 V 对对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量. ),(zyx类似可得类似可得: VxzyxzyxJddd),( VyzyxzyxJddd),( VOzyxzyxJddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量一般说来，若一般说来，若 V 中的点中的点 (

9、x , y , z ) 到转动轴到转动轴 l 的距离为的距离为则转动惯量为则转动惯量为, ),(zyxr VlVzyxJd),( ),(2zyxr对坐标平面的转动惯量分别为对坐标平面的转动惯量分别为 VxyzyxzyxJddd),( VyzzyxzyxJddd),( 2z2x对对 xy 平面的转动惯量平面的转动惯量对对 yz 平面的转动惯量平面的转动惯量 VxzzyxzyxJddd),( 2y对对 xz 平面的转动惯量平面的转动惯量 DyyxyxJdd),( 如果物体如果物体 D 是平面薄片是平面薄片, 面密度为面密度为 Dyxyx ),(),( DxyxyxJdd),( 则转动惯量的表达式是

10、二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x一般说来，若一般说来，若 D 中的点中的点 ( x , y ) 到转动轴到转动轴 l 的距离为的距离为则转动惯量为则转动惯量为),(yxr DlyxyxJdd),( ),(2yxr ),(yx例例4 求密度均匀的圆环求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量中心轴的转动惯量zyx解解设圆环设圆环 D 为为222221RyxR 密度为密度为，则，则 D 中任一点中任一点 ( x , y ) 与转轴的距离为与转轴的距离为22yx 于是转动惯量于是转动惯量 DyxJ d)(22)(24142RR 21dd220RRrr

11、r )(221222122RRRR )(22122RRm rraddsin0302 例例. 求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,yxyIDxdd2 Drrr ddsin22 441a 241aM 半圆薄片的质量半圆薄片的质量 221aM 2212 oxyDaa的转动惯量的转动惯量. 481a 设薄片的密度为设薄片的密度为，则，则例例6. 设某球体的密度与球心的距离成正比，设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量求它对于切平面的转动惯量解解建立坐标系如图建立坐标系如图,设球体为设球体为2222Rzyx 密度为密

12、度为222zyxk k 为比例常数为比例常数.切平面方程为切平面方程为 z = R , VVzRzyxkJd)(2222 RrrrRrk022020dsin)cos(dd RrrrRrRk03222020dsin)coscos2(dd 6911Rk 则球体对于该切平面的转动惯量为则球体对于该切平面的转动惯量为V),(zyx 求密度为求密度为F的物体的物体 V 对物体外质量为对物体外质量为 1 的的的单位质点的单位质点 A 的引力的引力在该物体位于在该物体位于( x , y , z )处取一处取一微元，其体积记为微元，其体积记为 dV ，质量为，质量为 Vzyxmd),(d 对质点对质点 A 的

13、引力为的引力为设设 A 点的坐标为点的坐标为, ),( 四、四、引力引力),( ),(zyx该引力在坐标轴上的投影为该引力在坐标轴上的投影为VrxkFxdd3 ),(1d1d2 zyxrrmkF),(d),(3 zyxrVzyxk其中其中 k 为引力常数，为引力常数，222)()()( zyxrVrykFydd3 VrzkFzdd3 于是所求力在坐标轴上的投影分别为于是所求力在坐标轴上的投影分别为V),( ),(zyxr VxVrxkFd3 VyVrykFd3 VzVrzkFd3 所以所以),(zyxFFFF AaRxyzo例例7. 求密度求密度 的均匀球体的均匀球体 V ：2222Rzyx )(), 0 , 0(RaaA 的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力. 解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0 yxFF z