导数定义及公式.

1、导数:1 .若 f(x)=c,则f '(x)=2 .若 f(x)= xn (n6Q?),则 f '(x)=3 .若 f(x)= sin x,则f (x)=4 .若 f(x)= cosx,贝Uf '(x)=5 .若 f(x)= ax,则f '(x)=6 .若 f(x)= ex,则f '(x)=7 .若 f(x)= loga x,贝Uf (x)=8 .若 f(x)= lnxMUf (x)=9 .【f(x) 士 g(x)】=10 .【f(x).g(x)=-r f(x) i11 . I J =g(x)12 . cf(x)J =13 . y= f(u),u = g

2、(x),则 y=f (g (x);yx =sin2x=(e-x )=# #导数：一般地，函数y=f (x)在x=x0处的瞬时变化率是="，0+?照0),称函数 y=f (x)在 x=xo处的导数，记作:?xf0 Ax ?x-o ?xf (x)或y |x = xo。即 f'(x0)=与=f(x0+?x)-f(x 0)p?xf0 Ax ?xfo ?x# #函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P (x°, f (x°)处的切线斜率，也就是说曲线 y=f (x)在点 P (x0, f (x0)处的切线斜率是f '(x0

3、)。相应地，过p点的切线 方程为：y-f (x0)=f (x0) (x-x0)# #导函数：如果函数 y=f (x)在开区间(a, b)内每一点都可导, 就说函数f (x)在开区间(a, b)内可导。若函数f (x)在开区间(a, b)内可导，则f (x)在(a, b)内每一点的导数构成一个新 函数，把这一新函数叫做f (x)在开区间(a, b)内的导函数(简 称导数)记作f '(x)或y或yx。(x) =y= lim 巨=lim f(2x+2xJfL?xf0 Ax ?xfo ?x、函数的单调性一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间 (a, b)内, 如果f '(x)

4、> 0,那么函数y=f (x)在这个区间内单调递增；如果 f '(x) < 0那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。1 . 如果f '(x) > 0 ,则f (x)严格增函数；如果f '(x) < 0 ,则f (x)严格减函数。2 . 如果在(a, b)内恒有f '(x) = 0 ,那么f (x)在(a, b)内是常数。3 . f '(x) > 0是f (x)在此区间上为增函数的充分而不 必要条件。求函数单调区间的步骤：1 .确定y=f (x)的定义域；2 .求导数f '(x),求出f '(x) =

5、0的根；3 .函数的无定义点和f '(x) =0的根将f (x)的定义域分成若干区 间，列表考查这若干区间内f'(x)的符号，进而确定f (x)的单 调区间。注意：A .如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个 这些单调区间不能用“u”连接，只能用逗号或“和”字隔开。B.求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数 的定义域。二、函数的极值：1 .定义，设函数f (x)在点X0附近有定义，如果对X0附近的 所有点，都有f (x) < f(X0),则称f(X0)是函数f (x)的一个 极大值；如果对X0附近的所有点，都有f (x) > f(X0),则称 f

6、(X。)是函数f (x)的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值 点，极大值和极小值统称极值。2 .判断f (x。)是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数f( x)；第二步，求方程f '(x) = 0的根；第三步，检查f '(x)在f '(x) =0的根左右两侧的值的符号；1 .如果“左正右负”，那么f (x)在这个根处取到极大值；2 .如果“左负右正”，那么f (x)在这个根处取到极小值；3 .如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则 f (x)在这 个根处无极值。在此步聚中，最好利用方程f '(x) =0的根，顺次将函数的定 义区间分成若干

7、个开区间，并列表，依表格内容得出结论。函数在极值点的导数为0 ,但导数为0的点不一定是极值点， 如函数f (x) =?,点x= 0就不是极值点，但？(0) = 0;函数的极大值不一定大于极小值；在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也 可能不存在极值点。三函数的最值：设函数y=f (x)是定义在区间a, b上的函数，y=f (x)在 区间(a, b)内有导数，求y=f (x)在a, b上的最大值与最小值， 其步骤为：先求函数y=f (x)在(a, b)内的极值；再将函数y=f (x)的各极值与端点的函数值f( a)、f( b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。如果在区间

8、a, b上，函数y=f (x)的图象是一条连续不断的曲线，则函数在a， b 上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或端点处取得。提示：1 .若函数y=f (x)在区间a, b上单调递增，则f (a)为最小值，f (b) 为最大值；若若函数y=f (x)在区间a, b上单调递减，则f (a)为最大值，f (b)为最小值。2 .图象连续不断的函数在开区间(a, b)上不一定有最大(小)值，如果 图象连续不断的函数在开区间(a, b)上只有一个极值，则该极值就是最值。3 .函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求 可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论，其

9、是极大值还是极小值， 只需将导数为0的点的函数和端点函数值时行比较。在解决实际生活中优化问题注意事项：1必须考虑是否符合实际意义2只 有一个点使f '(x) =0的情形，如果在点有最大(小)值，不与端点比较也能 知道是最大(小)值。3不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来， 而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。四.定积分及应用定积分定义：若函数y=f (x)在区间a, b上连续用分点a=x0 < x1 < ? ? < xi-1 < xi < xn=b,将区间a , b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi-i , xj上任取一点i (i=1 ,

10、 2, 3, ? n),b-a作和式41 f ( a ?x=丝1 f ( 0，当n-8时，上述和式无 限接近某个常数，这个常数叫 函数y=f (x)在区间a, b上定积分，记作 / f (x) dx。即? f (x) dx = n!m "=1 ba-f ( “ aan其中f (x)叫做被积函数，a做积分下限，b做积分上限。定积分/ f (x) dx不是一个表达式，是一个常数。 a定积分几何意义：从几何上看，若函数y=f (x)在区间a, b上连续且恒有f (x) no,那么定积分?f (x) dx表示直线 ax=a,x=b (a?b) , y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的

11、面 积；定积分性质：/ kf (x) dx=k/f (x) dx(k为常数) aad(x) 士g( x) dx= Jf (x) dx 士/g(x) dx aaaJ f (x) dx =-(x) dx以上是线性性质，下面是对区间可加性(x) dx =/f(x) dx +f(x) dx (a< ?< ?微积分基本定理-牛顿-莱布尼兹公式一般地，如果f (x)在区间a, b上的连续函数，并且F (x) =f(x),那么? f (x) dx = F ( b) F (a)。a定积分的简单应用：1、 求平面图形面积的应用1 .定积分与平面图形面积的关系通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也可为0 .(1 )当对应的曲边梯形位于X轴上方，定积分值取正值，且等于曲边梯形的面积；(2)当对应的曲边梯形位于X轴下方，定积分值取负值，且等于曲边梯形面积的相反数；(3 )当位于X轴上方的曲边梯形的面积等于位于X轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0,且等于位于X轴 上方的曲边梯形的面积减去位于X轴下方的曲边梯形的 面