高等数学第六章答案

1、第六章 定积分的应用第二节 定积分在几何上的应用1. 求图中各阴影部分的面积: （1） . (2) 1 (3). (4). 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) . (2). (3). (4)3. . 4. （1）.（2）.4 5. (1) pa2. (2) . (3). 6. （1）（2）（3） 7求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）（2）（3）（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。（5）摆线8由y=x3, x=2, y=0所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. . 9把星形线所围成的图形, 绕x轴旋转, 计

2、算所得旋转体的体积.10（1）证明 由平面图形0axb, 0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y=sin x(0xp)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. 11计算底面是半径为R的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. . 12计算曲线上相应于的一段弧的弧长。13计算曲线上相应于的一段弧的弧长。14求星型线的全长。6a15求曲线的周长。8a第三节 定积分的应用第四节1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F(单位: N)与伸长量s(单位: cm)成正比, 即F=ks (k为比例常数). 如果

3、把弹簧由原长拉伸6cm, 计算所作的功. 18 k(牛厘米) 解 将弹簧一端固定于A, 另一端在自由长度时的点O为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW=ksds, 所求功为 k(牛厘米). 2直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？(J). 解 由玻-马定律知: . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2, 则 , . 功元素为, 所求功为 (J). 3设地球的质量为M，半径为R，现要将一个质量为m的物体从地球表面升高到h处，问需要做多少功（设引力系数为G）？4半径

4、为R的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C沿其轨迹移动的距离S时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功 解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点B为圆柱体的速度瞬心，由式 （11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=来计算所以它的元功为 =-如及R均为常量，滚动一段路程S后滚动摩阻力偶的功为 W=-=- 可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值与圆柱半径成反比5设一锥形贮水池, 深15m, 口径20m, 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？ 解 在水深x处, 水平截面半径为, 功元素为 , 所求功为 =1875(吨米)=

5、57785.7(kJ). 6. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m. 求闸门上所受的水压力.205. 8(kN). 解 建立x轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为 , 闸门上所受的水压力为 (吨)=205. 8(kN). 7. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力. 17.3(kN). 解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为 . 压力元素为 , 所求压力为 (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为) 8. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m和6m, 高为20m. 较长的底边与水面相齐.

6、 计算闸门的一侧所受的水压力. 14388(千牛) 解 建立坐标系如图. 直线AB的方程为 , 压力元素为 , 所求压力为 (吨)=14388(千牛).9一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm, 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图. 腰AC的方程为, 压力元素为 , 所求压力为 (克)=1.65(牛). 10. 设有一长度为l、线密度为m的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M, 试求这细棒对质点M的引力. 解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy, 引力元素为 , dF在x轴方向和y

7、轴方向上的分力分别为 , . , 总复习题六1 填空题：（1） 曲线与直线围成所界区域的面积为 （2）曲线与直线所界区域的面积为 18（3）曲线上相应于的一段弧长为 4(4) 圆盘绕x=-b(ba0)旋转所成旋转体的体积 . （5）一圆盘的半径为，而密度为，其中为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量M (6) 半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将球从水中取出，则做 的功。2求抛物线与轴所围成图形的面积。3求抛物线与所围成图形的面积。4求圆的面积、圆周长。5求双纽线的面积。6求心脏线绕极轴旋转所成旋转体体积。7求摆线与轴围成图形的面积，弧长，绕轴旋转体体积。8求悬链线下的曲边梯形的面

8、积，弧长，绕轴旋转体体积。9抛物线绕轴旋转所得旋转抛物面的体积。10证明曲线的一个周期的弧长等于椭圆的周长。11求椭球体的体积。12设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）。设圆柱体的比重为，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？13一块高为，底为的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。14用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少？答案：2解：令得。故抛物线与轴交点为及，所求图形为轴上半部分。 。3解：两条抛物线交点为。则。4解：由对称性，只需考虑第一象限，；故圆面积为。由圆的参数方程，求周长只需考虑第一象限，；圆周长。5解：。6解： 。7解：；8解：；。9解：。10证：曲线的一个周期的弧长为；对于椭圆，由于其参数方程为故 ；可见 。11解：用垂直于轴的平面截椭球，交轴于，所得截面为椭圆即于是此椭圆的面积为，从而椭球体的体积为。xxyR-yyo12解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高，所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功R+y及从水面提高到高度提升力所做的功之和；水下部分提升力，所以水上部