偏微分方程数值解-双曲线方程的有限差分法11页word

1、双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题：(a) 一阶线性双曲型方程(b) 一阶常系数线性双曲型方程组其中A, s阶常数方程方阵,u为未知向量函数.(c)二阶线性双曲型方程(波动方程)a x为非负函数(d)二维,三维空间变量的波动方程§ 1波动方程的差分逼近1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程:2(1.1 )2 U a x其中a 0是常数.2a 0,进 x步有2(1.1 2可表示为：一2 t由于一 a一当打 a时为u x, t t x dt的全导数(du dtuu dxuu atx dttxdtdx故由此定出两个方向(1.3)解常微分方程(1.3)

2、得到两族直线(1.4)x a t C1和 x aC2称其为特征.特征在研究波动方程的各种定解问题时,起着非常重要的作用比方,我们可通过特征给出1.1的通解.行波法、特征线法将1.4 视为x,t与Ci,C2之间的变量替换.由复合函数的微分法那么同理可得将.和上代入1.1 可得： 2 2x t即有 求其对C2的积分得：u f C1其中f C1是G的任意可微函数.C1再求其对C1的积分得：（1.（5） u x,t fGdGf1 C1f2 c2 f1 x at f? x at其中f1 ?和f2 ?均为任意的二次连续可微函数.（1.（6） 1.1 的通解,即包含两个任意函数的解.为了确定函数f1 x a

3、t和f2 x at的具体形式,给定u在x轴的初值ut 00 x(1.5)将1.5式代入上式,那么有注意 ut x, tf1x at af2x at a ；utx, 0f2xf1x a 1 x,有并对x积分一次,得与i 式联立求解,得将其回代到通解中,即得1.1 在1.5条件下的解：11 x at（1.（7） u x,t - 0 x at 0 x at 1d2 00 2a x at 1即为法国数学家Jean Le Rond d ' Alembert 1717-1783 提出的著名的D' Alembert 公式.由D' Alembert公式还可以导出解的稳定性,即当初始条件

4、1.5仅有微小的误差时,其解也只有微小的改变.如有两组初始条件：满足 o 0,1 1,那么 即显然,当t有限时,解是稳定的.止匕外,由D'Alembert公式可以看出,解在x0,to点,to0的值仅依赖于x轴上区间xo ato, xo ato内的初始值o x ,1 x ,与其他点上的初始条件无关.故称区间 xo ato,xo ato为点xo, to的依存域.它是过点 xo, to的两条斜率分别为 1的直线在x轴上截得的区间.a对于初始轴t o上的区间x1,x2 ,过x1点作斜率为二的直线x x1 at ;a过x1点作斜率为 1的直线x x2 at.它们和区间x1, x2 I起构成一l个

5、三角 a区域.此三角区域中任意点 x,t的依存区间都落在xi,x2内部.所以解在 此三角形区域中的数值完全由区间xi,x2上的初始条件确定,而与区间外的初始条件无关.这个三角形区域称为区间 xi, x2的决定域.在xi, x上给 定初始条件,就可以在其决定域中确定初值问题的解.1.2显格式现在构造1.1 的差分逼近.取空间步长 h和时间步长 ,用两族平 行直线作矩形网络.于网点 xj,tn处Taylor展开成代入1.1 ,并略去截断误差,那么得差分格式:n1n n 1nn n(1.7)Uj 2uj u j 2 u j 1 2uj Uj 12a72h这里U；表示U于网点xj,tn处的近似值.初值

6、条件1.5用以下差分方程近似:(1.(8)0uj0 xj(1.(9)10ujuj1 xj注意：1.7的截断误差阶是O 2h2 ,而1.9的截断误差阶仅是O为此需要提升1.9的精度,可用中央差商代替ut,即11(1.10 )1 XjUj Uj2为了处理Uj1,在1.7中令n 0,进一步,其中r Oh并用1.10 )式的 uj11Uj1 xj代入上式得(1.11)1Uj0 xj 10 xj 10 xj1 xj这样,利用1.8 1.11,可以由初始层0的值,算出第一层n 1各网格节点上的值.然后利用1.7或显式三层格式(1.12 )n 12 nn2 nujr uj 1 uj 121 r ujn 1U

7、j可以逐层求出任意网点值.以上显式三层格式也可用于求解混合问题:(1.13 )u x, 0u 0,tt2022 u a -xXut X, 0t u l, t(1.7)(1.9)外.再补充边值条件NU0N一Ujn1. 3稳定性分析下面我们要讨论1.7的稳定性.为引用 Fourier方法,我们把波动方程1.1 化成一阶偏微分方程组,相应地把显式三层格式1.7化成二层格式一种简单的做法是引进变量 v ,于是1.1 化为这样会使得初值u X, 0与v x, 0不适定不唯一,更合理的方法是再引进一个变量1.15 注意到：u ax将1.1化为假设令U v , A ° a ,那么(1.5)可写成

8、a 01.16 A 0t x相应地,将1.7写成等价的双层格式：n 1 nnnvj vjT j 4a(1.17)即hn 1 nn 1 n 1j 1 j 2 vjvj 1 ahn n 1n 1 n 1其中vn,：1auu.可直接验证之.jj ' h记r 个为网比.用Fourier方法可以证实,差分方程1.17稳定的 必要条件是网比(1.19 )a /r 1 0h充分条件是网比(1.19 )hCourant等证实,r 1时,差分解仍稳定,收敛.但是要求有更光滑的初值.习惯上也称 r 1 为 Courant 条件或 C-F-L Courant-Fridrichs-Lewy 条件.稳定性条件1

9、.19有直观的几何解释.从方程1.12可看出,u：依赖于前两层的值：u：；, u：；, u：1, u：2,而这四个值由依赖于,u： 2依赖于：u：13 , u：；, u：3, u：4u：1 依赖于：u：12, u：12, u：3, u：2：1： 2： 2： 2： 3uj 1 依赖于：uj 2 , uj , uj 1 , uj 1u：1 依赖于：u： 2 u： 2 , u： 2 , u： 13以此类推,可知,u：最终依赖于初始层：0上的以下值：因此,称x轴上含于区间Xj ：,Xj ：的网点为差分解u：的依存域,它是x轴 上被过Xj, t：和Xj ：, 0以及Xj,t：和Xj ：, 0的两条直线所

10、切割下来的区间 所覆盖的网域.而过 Xj, t：的两条特征线为：x Xjat t： 0差分格式稳定的必要条件为：r a- 1或-1,并且进而 - -o h hah a可见差分格式稳定的必要条件是：差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域,否那么差分格式不稳 定.用依存域的概念容易证实：当 r 1时,差分解不收敛.1.4 隐式为了得到绝对稳定的差分格式,用第 ：1层、：层、：1层的中央差 商的加权平均去逼近uxx得到以下差分格式：1222 n a 2 n 12 nt Uj 2 xU j 12 xU j其中01是参数.可以证实,对于4时,差分格式绝对稳定;汨差分格式的充要条件是：r ah1,1 4

11、分格式为:0就是显格式1.7 ), 一个常用的隐式格式是取高维波动方程!12 n-t Uj2 n 1 n n 1x Uj2Uj Ujh一阶双曲方程双曲方程与椭圆方程和抛物方程的一个重要区别是,双曲方程具有特 征和特征关系,其解对初值有局部依赖性质.初值的函数性质(如间断、 弱间断等)也沿着特征传播,因而其解一般没有光滑性质.我们在构造双 曲方程的差分逼近时,应充分注意这些特性.下面对于一阶双曲方程,介绍几种常见的差分格式3.1 迎风格式首先考虑一阶线性常系数双曲方程(3.1 ) a 0t x此方程虽简单,但是对我们构造差分格式很有启发.我们的主要的目的是构造差分格式,因此只限于考虑纯初值问题.

12、设a 0,定义特征线：dtdx那么在每一条这样的特征线上,a,或dxdt因此,在特征线上,u等于常数.对于3.1根据用差商代替微商的方法,自然有如下三种格式：n 1 nn n3.2 iuuj a0左偏心格式hn 1 nn n3.3 2U乜a上j 0右偏心格式hn 1 nn n3.2 3UaUj1 Uj1 0中央格式2h其中3.2 1和3.2 2的截断误差的阶为O h , 3.2 3的截断误差的阶为Oh2 0记3.3r h将3.2 13.2 3式改写为：用Fourier方法分析稳定性可知,3.2 3绝对不稳定.a 0时,3.2 2不稳定,而3.2 1当a 1稳定,；a 0时,3.2 1不稳定,而

13、3.2 2当一 a 1稳定. hh这两个稳定条件意味着 差分方程的依存域必须包含微分方程的依存域.同样的思想可用于构造变系数方程的差分格式.此时a可能变号,因此相应的格式为:n 1 nUj Uj(3.6 )其中aj a Xj.n 1 nUj Ujajajn nUj Uj 1hn nUj 1 Ujh0,当aj00,当aj0稳定性条件为3.7- maxaj 1由3.7,并取rj aj,那么知3.2 i和3.2 2右端的系数非负.j h j当aj 0时,当aj 0时,其中Un是以un为分量的的向量.总之,un|un| .这说明3.6稳定,按气体力学的含义表示气流速度,称3.6 为迎风格式.初边值问题

14、：边值条件应该在迎风方向给出！3.2积分守恒的差分格式迎风格式是根据特征走向构造出来的向前或向后差分格式.现在以积分守恒方程出发构造差分格式.所谓守恒方程是指如下散度型偏微分方程（3.（13） f x,u 0t x设G是xt平面中任意有界域,由 Green公式其中 G o于是可将3.13写成积分守恒方程（3.（14） fdt udx 01. Lax 格式首先,我们从3.14出发构造所谓 Lax格式.取G为Aj 1, n ,B j 1, n 1,Cj 1, n 1和Dj 1,n为顶点的开矩形.ABCDA为其边界,贝U（3.（15） fdt udx u dx+ u dx+ fdt + fdtDABCABCD右端第一积分用梯形公式,第二积分用中矩形公式即第三、第四积分用如下矩形公式计算: 从而有两端同除以2h 得Lax格式(3.16 )n 11 n nUj 2 Uj 1 Uj 1f n f nfj 1 fj 102h其中fjn fXj,UXj,tn,此格式的截断误差为特别地,f au时,Lax格式为关于Tu ax0的显格式:n 1Ujnr Uj 1nUj 1其稳定性条件为