圆锥曲线大题综合测试[含详细答案解析]

1、WORD资料可编辑圆锥曲线、-x2 y2a2 1 .设椭圆M : = +乙=1 a> J2的右焦点为Fi ,直线l : x = =_ 与x轴交于点A,若OF1=2F1A （其中O a 2a2 -2为坐标原点).(1)求椭圆M的方程;(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N ： x2 +(y - 2，=1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点)求PE PF的最大值.2 .已知椭圆E：3+4=1(a Ab >0 )的一个焦点为F1(J3,0),而且过点H 1 a b(I)求椭圆E的方程；(n)设椭圆E的上下顶点分别为 A1,A2,P是椭圆上异于 A1,A2的任一点，直线PA,PA2分

2、别交x轴于点N,M , 若直线OT与过点M ,N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值，并求出该定值.223、已知圆O: x +y =2交x轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为 变 的椭圆，其左焦点为F,若P是圆O 2上一点，连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.（I ）求椭圆C的标准方程；（II ）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线PQ与圆O相切;（出）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系 ？若是，请证明；若不是，请说明理由22y x一x yx。 y。4设A（xy。B（x2，y2）是椭圆 J+-y =1（a

3、 > b > 0）上的两点，满足 （，皂）（一，型）=0 ,椭圆的离心率 x bbabae=3，短轴长为2, 0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F （0, c）, （c为半焦距），2求直线AB的斜率k的值；（3）试问： AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由5、直线l: y = mx + 1 ,双曲线C ： 3x2 - y2 = 1 ,问是否存在 m的值，使l与C相交于A , B两点，且以AB为直 径的圆过原点226已知双曲线C：=4 =1(a A0,b A0)的两个焦点为Fl (-2, 0), F2 (2, 0),点P(3,

4、J7)在曲线C上。(1) a b求双曲线C的坐标；(2)记O为坐标原点，过点 Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同两点 E, F,若 OEF的面积为2豉,求直线l的方程。专业整理分享(2)设直线AM2 x8 .已知椭圆Ci : a7.已知椭圆C:：+4=1(2 >b A0)经过点A(2, 1),离心率为 走,过点B(3, 0)的直线l与椭圆C交于不同的两 a2b22点M ,N . (1)求椭圆C的方程;和直线AN的斜率分别为kAM和kAN ,求证：kAM +kAN为定值.y2 2一 一+%=1(a >b >0)的离心率为 ，直线1 : y = x+2&与以原点为圆

5、心、以椭圆Ci的短半b2 轴长为半径的圆相切。(I)求椭圆Ci的方程；(n)设椭圆Ci的左焦点为F1,右焦点为F2,直线li过点Fi,且垂直于椭圆的长轴，动直线 12垂直li于点P, 线段PF2的垂直平分线交12于点M ,求点M的轨迹C2的方程；(出)若AC、BD为椭圆Ci的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2,求四边形 ABCD的面积的最小值.229设F是椭圆C: +与=1(a Ab0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长 a b轴，已知 |MN |=8,且 |PM |=2|MF |.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：

6、/ AFM =/BFN;(2)求三角形ABF面积的最大值.10如图，已知椭圆的中心在原点， 焦点在x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点M (2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为 m(m#0) , l交椭圆于 A B两个不同点(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直 线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。22 x y11已知椭圆C： f+f =1(a a b > 0),左、右两个焦点分别为 F1、F2,上顶点A(0,b) , AAF1F2为正二角形 a b且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离心率；(2) O为坐标原点，P是直线RA上的一个动点，求|PF2|

7、十 |PO|的最小值，并求出此时点 P的坐标.2212 如图，设P是圆x +y =2上的动点，PDx轴，垂足为D, M为线段PD上一点，且|PD|= J2|MD| ，点 A、F1 的坐标分别为(0, J2), (1, 0)。(1)求点M的轨迹方程；(2)求|MA|+|MF1|的最大值，并求此时点 M的坐标。2X 213 .如图，在平面直角坐标系 xOy中。椭圆C: +y =1的右焦点为F ,右准线为1。2(1)求到点F和直线1的距离相等的点 G的轨迹方程。(2)过点F作直线交椭圆C于点A,B,又直线OA交1于点若OT=2OA,求线段AB的长;(3)已知点M的坐标为(xo,y。1x。¥

8、0,直线OM交直线出+ 丫0丫 = 1于点N ,且和椭圆C的一个交点为点 P , 2?2是否存在实数使得OP =，uOM ON?,若存在，求出实数 九；若不存在，请说明理由。圆锥曲线答案1解：(1)由题设知,1分1 22,、由 OF1 +2AR =0,得 Va2 2=2 2.Ja2 -2 , 3分解得 a2 =6.3a2 -2)22所以椭圆M的方程为M :二+2一=162(2)方法1 ：设圆N : x2 +(y -2 2 =1的圆心为N , 八金二 = K 八 r -2 r八则 PE PF ='NE NP “NF - NP 16分=(一NF-NP)NF-NP )7分=NP - NF =

9、NP -1 8 分 .2 .一 .从而求pe pf的取大值转化为求 NP的取大值. 9分因为P是椭圆M上的任意一点，设P(% ,y0), 10分22所以出+!0_=1,即 X0 2 =63y02. 11 分62-2。因为点 N(0,2 ),所以 NP =x0 +(y0 -2) =-2(y0 +1) +12 12分因为y w -72, J21,所以当y0 = 1时，NP2取得最大值12. 13分14分所以PE PF的最大值为11.2 由(I)可知 A(0,1),A(0,1)P(X0,y0)，直线 PA1： y -1 =y二1x,令 y =0,得 Xn =0- x0y0 -1直线 PA2： y 1

10、 =必1 x ,令 y = 0,得 Xm =X° X)y。 1则 |OM | |ON | =-x0y0 -12%_x0y0+1y°212而 包 + 丫02 =1，即 x2 =4(1y2 ),，|OM | |ON |=4 4取线段MN的中点Q ,连接GQ,GM ,GO,r =|GM |_22222_22OT2 =OG2 -GM 2 =(OQ2 QG2) -(MQ2 QG2)2_2 _ _= OQ2 - MQ2=(|OQ MQ|)(| OQ | - | MQ|) 二|OM| |ON|二4J.|OT=2.即线段OT的长为定值2 . 14分3 7.(14 分)解:(I )因为 a

11、= J2 e =,所以 c=1,则 b=1, ，22所以椭圆C的标准方程为 + y2 =1 5分2(n)/P(1,1), kPF =1,.kOQ =-2,.直线 OQ 的方程为 y=-2x, .点 Q(-2,4)7 分2 kPQ = T,又 kOP =1,，k°P IkPQ = 1，即 OPPQ,故直线 PQ 与圆 O 相切 10 分(出)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切11分证明：设 P(x0,y0)(x0#±j5)，则 y；=2x2，所以 kPF =,kOQ = 1,所以直线OQ的方程为y = - x0 +1 x 所以点Q(-2, 2x0 + 2 ) 12分

12、x0 - 1y0y°y°2x02y 0 -22yn所以 k _y°-y-0_(2 xo2L_zx°_2x0 _x2,，又koP=一 -13PQx02(x0 2) Vo (x0 . 2) y° Vox0所以kOP .LkPQ =一1，即OPPQ,故直线PQ始终与圆O相切.14分. c4 9 解：(1) 2b = 2.b = 1,e =aa2 一b2.、3 K2 2a = 2.e = J3椭圆的方程为 匕+ x2=14.(2 分)(2)设AB的方程为y =kx + 432y人2十x.4二1(k2 4)x2 2 . 3kx -1 =0x1 x2-1

13、, X1X2= 1k 4 k 4(4分)XiX2b2y1 y2 = x1x2(kx1. 3)(kx2 3) = (1a242.k、 3k,、 3)X1 x2 (X1 x2)4442k_414 (k2 4亘，H+g,解得k=±2 4 k2 44(7分)(3)当A为顶点时，B必为顶点AOB = 1(8分)当A, B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b2 y.,4x2=1 (k2 4)x22kb+ 2kbx + b 4 = 0 得至 U x1 +x2 = k2 4b2X1X2yy2-2X1X2 =k2 44=0= X1X2(坏b)(kx2b) =0代入整理得4:2b2 + k2 = 4

14、(11 分)S = -1 |b | % -X2 尸11 b . (% X2)2 -4x1X22222|b|.4k -4b 16k2 4上12|b|所以三角形的面积为定值96 .解：(1)依题意 c=2,ab2 =1 且 c2所以双曲线方程为22x y .一 一一 二122(2)依题意可知，直线l的斜率存在(12 分)22. 一a +b ,解得:设直线 l 的方程为 y=kx+2 , E( X1,y1)，F( X2,y2),22,一 x y22由 y=kx+2 及 一 一一 =1 得(1k)x 4kx6 = 0, 222222.有两个交点，1 -k #0,又=16k +24(1k ) >0

15、 , k <3,1-一芯 Mk<V3,又 x1+x2= 4'2 且 X Lx2 = -21 -k1-k | EF |= 1 k2 J22 4k 224X1 X2) -4X1X2 = 1 k (1 - k2) I2 -121 O点到直线的距离为 d = -又S = | EF |d = 2 J2 ,1 k22= 2.2, k= -、.2,直线l的方程为y = 72x+2或y = &x + 2 12分Alb2(1)由题意得c _ 22.a 一万22x y 故椭圆C的方程为一十=1 . 5分63(2)由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y = k(x-3),y =k(

16、x-3), 由 h2V2得(1+2k2)x2 12k2x+18k2 6=0. 7 分=163,因为直线l与椭圆C交于不同的两点 M , N ,所以 A=144k4 4(1 +2k2)(18k2 -6) =24(1k2) >0,解得一1<k<1.设M , N的坐标分别为(。y1), (x2, y?),则x1又2_ 212k221 2k218k2-621 2kV=k(x1 3), y2=k(x2 -3).9 分kAM, kANy1 -1 , y2 -1x1 - 2x2 - 210分_ (kx1 3k1)(x2 -2)(kx23k1)(x12) _ 2kxix2(5k1)(x1x2

17、)12k 4(x1 -2)(x2 -2)x1x2 -2(x1 x2) 422222k(18k -6) -(5k 1) 12k(12k 4)(1 2k )-4k4-=222 =2= -2 18k -6 -24k4(1 2k )2k -2所以kAM +kAN为定值-2. 14分22 c2 a2 -b2 12 c-28 6 .斛：(I) * e =，, e =2 =2= , a = 2b2a a 2;直线l : xy+2 = 0W圆x2+y2 =b2相切=b,. b = 2,b2 = 4,. a2 = 8,222.椭圆Cl的方程是=1. 3分84(n) MP=MF2, 动点M到定直线li ： x =

18、 2的距离等于它到定点 F2 (2, 0)的距离,，动点M的轨迹C是以li为准线，F2为焦点的抛物线2.二点M的轨迹C2的方程为y =8x 6分(m)当直线 AC的斜率存在且不为零时，设直线 AC的斜率为k,A(xi,yi),C(x2,y2),则直线 AC 的方程为 y = k(x2).22x y2222联立+ =1 及 y=k(x2)得(i+2k)x 8kx+8k 8 = 0.84所以xix28k28k2-8=2 , xi x2 =2i 2k2i 2k2| AC | = J(i +k2)(xi x2)2 = J(i +k2)(xi ox2)2 4xix2 : 2；)9 分由于直线BD的斜率为

19、2，用-工代换上式中的k可得| BD上寂！ * k)k kk2 2. AC -L BD ,-2 2.，一 i -i6(i k )八四边形ABCD的面积为S=|AC| BD|=1一(Lr.i2分2(k2 2)(i 2k2),22 (i 2k2) (k2 2) 23(k2 i) 2由(i 2k)(k 2) _-=2264 ,所以S之，当i+2k2 =k2 +25tJPk =±i时取等号.i3分9易知，当直线 AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形 ABCD的面积S=89 解：(i) |MN |=8.1. a = 4又| PM | = 2 | MF | 得a2、2-2 ,八i_,五和循|a郝

20、Mf坪得ae【a0爽:C)为2e2i面)i =0= c= 1 或e = i(舍去)c2222c=2 b =a -c =i222，椭圆的标准方程为匕=ii6 i2(2)当AB的斜率为0时，显然/AFM =/BFN =0.满足题意当AB的斜率不为0时，设A(xi, yi),B(x2,y2) , AB方程为x = my8,代 入 椭 圆-(48m)2 -4 i44(3m2方 程 整 理 得22_(3m4)y -48my i44 = 0- kAFkBF =yixi2.上x2 24), yiyimy -6 my2 -648mi442yi y 二23m2 43m2 42myi y2 - 6(yi y2)

21、_ _一一 0(myi 6)(my2 -6)，kAF +kBF =0,从而/AFM =/BFN.综上可知：恒有 AFM - BFN172 m2 -2，72 m _42' T3(m _4) 16() SABF =Spbf $paf=2|PF|1义-y1|=T7<：72=3 3一2.3 16723、m2 _4 +16m -4取得等号当且仅当3k7 16 目口m2 28 （此时适合> 。的条件） ,m2 -43三角形ABF面积的最大值是 3，32210【解析】：（1）设椭圆方程为 x2+当=1（abA0） a b-|-a = 2b- 222,.修 a = 8 、一 x y则41

22、解得V 0 所以椭圆方程一+ L=1二十F=1(b2=282kab（2）因为直线l平行于OM ,且在y轴上的截距为 m1y 二一x m一 1 1.22 一 一 2 一又 K0M = 一，所以 l 的万程为：y = x+ m由<22=x+ 2mx + 2 m-4 = 022x2y2=1,82因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点，=(2m)2 -4(2m2 -4) >0,所以 m 的取值范围是m|-2 < m <2,m # 0。（3）设直线MA、MB的斜率分别为 4*2,只要证明k1+k2=0即可设 A(x1,y1)，B(x2, 丫2)，贝U k1 =-y11, k2 =-y21x1 -2x2 -2222由 x +2mx+2m 4 = 0可得 x+x2 =2m, x1x2 = 2m -4y1 -1y2 -1(y1 -1)(x2 -2) ( y2 -1)(x1 -2)而 k1 k2 =Xi - 2 x2 - 2(Xi -2)(x2 -2)11(一x1 m 一 1)(x2 -2) (x2 m -1)(x1 -2)_ '2 1 八 22 2_ x1x2 (m 2)(x1 x2)4(m-1)一(Xi -2)(X2-2)一(Xi -2)(X2-2)2m2 -4 +(m +2)(-2m)