空间直角坐标系

1、高考总复习高考总复习数学数学11.2.1 11.2.1 空间直角坐标系空间直角坐标系高考总复习高考总复习数学数学1.定义定义 在空间取定一点O，以点O为原点作三条互相垂直的数轴，分别称为x轴，y轴，z轴，统称为坐标轴。三个坐标轴的次序和方向按右手系排列。这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系（O为原点）。坐标平面：两条坐标轴确定的面；高考总复习高考总复习数学数学 三个坐标平面将空间分成八个部分，每一部分称为卦限，从由x轴、y轴、z轴的正半轴所确定的半平面隔出的那一部分起，按逆时针方向，依次为第卦限,第卦限,第卦限,第卦限,第卦限,第卦限,第卦限,第卦限.高考总复习高考总复习数学数学 2空间点的

2、坐标表示空间点的坐标表示 设M是空间一点，过点M分别作垂直于x轴,y 轴,z 轴的平面，它们与坐标轴的交点分别为P,Q,R,这三点在三坐标轴的坐标依次为x，y，z，这样,由空间一点M唯一地确定一个三元有序数组(x,y,z);反之反之,设(x,y,z)为一个三元有序数组,过x 轴上坐标为x的点,y 轴上坐标为y的点,z轴上坐标为z的点，分别作x轴,y轴,z轴的垂直平面，这三个平面的交点 M便是三元有序数组(x,y,z)唯一确定的点。所以所以空间点M与三元有序数组(x,y,z)一一对应,称为M点的坐标，记为M(x,y,z)。高考总复习高考总复习数学数学3 .坐标轴、坐标平面上的点的特征：坐标轴、坐

3、标平面上的点的特征：坐标系中各卦限的点的的坐标的符号特征:第卦限(正,正,正),第卦限(负,正,正),卦限(负,负,正),第卦限(正,负,正),第卦限(正,正,负),第卦限(负,正,负),第卦限(负,负,负),第卦限(正,负,负).图11.2-1-1高考总复习高考总复习数学数学4.空间里点的对称规律空间里点的对称规律规律1：关于坐标平面对称的两点的坐标的特点：规律2：关于坐标轴对称的两点的坐标的特点：规律3：点关于原点对称的点的特点规律4：点关于点对称的点的特点高考总复习高考总复习数学数学二、空间两点的距离公式二、空间两点的距离公式设11112222( ,),(,)Mx y zMxyz221|

4、NMzz高考总复习高考总复习数学数学三.线段的中点坐标公式：线段的中点坐标公式：高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学求空间距离问题求空间距离问题在空间直角坐标系中,求点N(3,-4,2)到原点、各坐标轴、各坐标平面的距离。【思路分析【思路分析】要理解空间直角坐标系中,点的坐标的意义,先确定点N在空间的位置(第卦限),然后作出点N在各坐标平面内的射影,并分析各射影点的坐标可帮助理解.图11.2-1-2高考总复习高考总复习数学数学【解析解析】如图11.2-1-2,点N在空间坐标系中的位置,及到各坐标平面内的射影可依赖长方体NMKL-PQOS来观察分析.各距离如下:N到原点的距离

5、|NO|=222)2()4(329N到xoy平面的距离为|NP|=2,到xoz平面的距离为|NM|=4,到yoz平面的距离为|NL|=3,N到x轴的距离为|NQ|=,到y轴的距离为|NS|=到z轴的距离为|NK|=5,5213高考总复习高考总复习数学数学【点评与感悟【点评与感悟】研究点N(x,y,z)坐标,可以N,O(坐标原点)为对顶顶点,构造一个长方体,借助长方体模型来理解空间直角坐标系中的点的坐标十分直观,注意此长方体中的以N为一端点的棱,对角线,面对角线的意义.高考总复习高考总复习数学数学 求空间中已知点的对称点的坐标求空间中已知点的对称点的坐标 （1）分别写出点关于三个坐标平面的对称点

6、的坐标.（2）分别写出点关于三个坐标轴的对称的点的坐标.（3）写出点关于原点对称的点的坐标.（4）写出点关于点对称的点B的坐标.【思路分析【思路分析】类比平面直角坐标系中点的对称问题，考虑添加平面后的各种情况。高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学【解析解析】(1)点在平面的下方，所以，点关于平面对称的点为如图（一）所示点关于平面的对称点为如图（二）所示（2）点关于x轴对称的点的坐标为点关于平面对称的点为如图（三）所示点关于y轴对称的点的坐标为点关于z轴对称的点的坐标为高考总复习高考总复习数学数学（3）由点的坐标概念可得：点关于原点对称的点的坐标为（4）设点B的坐标为，则点是

7、线段PB的中点，由中点坐标公式可得：所以点B的坐标为(7,-4,11).高考总复习高考总复习数学数学【点评与感悟【点评与感悟】注意归纳以下有关对称问题的规律：1.关于坐标平面对称的两点的坐标的特点；2.关于坐标轴对称的两点的坐标的特点;3.关于原点对称的点的特点；4：点关于点对称的点的坐标特点。高考总复习高考总复习数学数学 求空间中的线段长求空间中的线段长 已知棱长为1的正方体中，【思路分析【思路分析】本题从宏观上讲，有两种思考方法：第一种，建立空间直角坐标系，用坐标法，求出线段的长。第二种，从公理化体系入手，用纯立体几何的方法，构造直角三角形，解出线段的长。高考总复习高考总复习数学数学解法一

8、：分别以射线 的正方向，建立空间直角坐标系的棱长为1，由中点坐标公式得：E点的坐标为，F点的坐标为高考总复习高考总复习数学数学由两点的距离公式可得：故所求EF的长为高考总复习高考总复习数学数学解法二：过点E作连结FH，且两平面的交线为CD，为直角三角形E为C1G的中点，为的中位线1C CG高考总复习高考总复习数学数学下面求FH的长：在底面正方形ABCD中，过点F作由勾股定理可得：所以，在中，由勾股定理可得：故所求EF的长为高考总复习高考总复习数学数学【点评与感悟【点评与感悟】本题的求解方法有多种，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行的方法，通过方法的对照比较，体现了坐标法解题的优越性。高考总

9、复习高考总复习数学数学 已知正四棱锥V-ABCD,O为底面中心，若AB=2,VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.【思路分析思路分析】先画出正四棱锥V-ABCD，再根据图形的特点建立空间直角坐标系。本题有多种建系的方法，同学们可以尝试。法一法一：因为正四棱锥VABCD，O为底面中心，所以四边形ABCD为正方形所以ACBD,且VO底面ABCD建立适当坐标系求点的坐标建立适当坐标系求点的坐标高考总复习高考总复习数学数学以射线CA为X轴的正方向，射线DB为y轴的正方向，O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，所以射线OV即为z轴的正方向,于是高考总复习高考总复习数学数学 法二法二：分别以射线DA，DC为x轴和y轴的正方向，D为原点建立空间直