空间向量的数量积运算

1、空间向量的数量积运算说课案今天我说课的课题两个向量的数量积，本节课是数学选修 2-1 第三章第 三节的第一课时的内容，现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与 学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。一、教材分析本节课是人教 A 版选修 2-1 第三章第 1.3 节的内容，是在学生学习了空间 向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。 它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几 何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础1教材的地位与作用：空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量

2、的重要内容， 也是高考的重要 考查内容。从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、 数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在 立体几何中应用的教学基础。学生已经学习了立体几何，通常都按照传统方法解立体几何题， 这就要求我 们的学生需要有较强的空间想象能力、 逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由 于这些能力的不足造成解题困难。 用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间 想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻 炼和提高。整体来看，本节课在整个高中数学

3、中占有重要的地位。2、学情分析本节课授课对象是高二年级的学生，他们已熟知了实数的运算体系，学习了平面向量的一些内容，理解了向量的概念， 对向量的加法、减法及数乘运算都应该较熟练，具备了功等 物理知识，并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。（二）根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征、及本节课在整个 高中数学中的地位，对本节课我设置了如下的三维目标：知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题 过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形

4、成过程（2）体会低维与高维相互转化的思维过程（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神三、教学重难点分析根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点， 我制定了以下重难点教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题四、教法与学法分析1、教法分析：（1） 本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。（

5、2） 在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力。（3） 通过知识对比来加强学生的知识迁移能力， 顺便对已学过知识进行的复习。 2、学法分析：在本节课的教学中，引导学生学会观察、分析讨论、类比归纳，以此增加学 生的参与机会，增强学生的参与意识，让学生真正成为教学过程中的主体。五、教学过程：学生是认知的主体，遵循学生的认知规律和本节课的特点， 我设计了如下的教学 过程程：1.复习引入1 ）让学生回顾平面向量数量积及其运算律。1平面向量的数量积定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量丨 aIIbIcos0叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a.b，即: a.b=IaIIb

6、IcosB,其中B是向量2平面向量数量积的几何意义：数量积 a.b 等于 a 的长度丨 a 丨与 b 在 a 的方向上的投影丨 b 丨 cos9的乘积。a 和 b 的夹角。3平面向量数量积的运算律：a.b=b.a ；(入 a) .b=入(a.b ) =a.(入 b)；(a+b) c=a.c+b.c在这个环节中我会请两个学生回答平面向量的数量积的定义 及其运算律：由于我所带的学生的认知情况有限，所以同学可能回答不上，所以在这个过程当中我会进行适当的引导。设计意图：通过复习平面向量的数量积及其运算，从学生已 有认知平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念 做铺垫2、讲授新课在复习平面

7、向量的数量积的过程中牵扯到了模长及其夹角； 所以我会进一步引出本 节课的第一个内容空间两个向量的夹角，空间中任何两个向量都可以进行平移，平移到同 一个平面上(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点0,作 o=a,oB=b，则.AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作:a,b ； 规定 一： a,b 乞二，显然有：:=: b,a -； 若：:a,b，则称a与 b 互相垂直，记作：a_b.2推广：这样设计是为了在后面的学习中容易找夹角以便于计算两个向量的数量积(2)向量的模：设 0A 二 a，则有向线段 0A 的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.(3)向量的数量积：已知

8、向量 a,b，贝 U |a | |bcos：a b 叫做 a,b 的数量积，记作 a b，即444T 斗4、a b = |a| |b | cos：a b -已知向量 AB = a 和轴I，e是I上与I同方向的单位向量，作点A在I上的射影A，作点B在I上的射影B，则AB叫做向量AB在轴I上或 在e上的正射影.可以证明AB的长度IABI=IABICOS：a,e 胡 a ei.(4)空间向量数量积的性质:a e =|a| cos：a,e -.a _ b：= a b=0.2| a | a a .（5）空间向量数量积运算律:求证：I _：.例 2.已知空间四边形ABCD中，AB _CD，AC _ BD，

9、求证：AD _ BC.设计意图：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示， 并用已知向量表示未知向量， 然后通过向量运算取计算或证 明，利用向量的数量积可以证明线面垂直，对于前面的有关立体几 何中证明线线垂直，线面垂直的问题，我们就可以用向量数量积等于a b=b a （交换律）.a （b a b aC（分配律）.设计意图：先设计了两个向量的夹角及 其模长的概念。是为了引出数量积的内 容3、讲解范例：例 1 +用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理+已知：m,n是平面:-内的两条相交直线，直线I与平面的交点为B，且b = (a b) = a ( b).0 来证明，使一些几何中的问题

10、简单化4 巩固练习：1.已知向量 2_b，向量 c 与 a,b 的夹角都是60：，且lal=1，lbl=2,cl=3 ,试求：(1)(a b)2；(2)(a 2b -c)2；( 3)(3a - 2b) (b-3c).2.已知线段 AB BD 在平面内，BD_AB 线段 AC :，如果 AB=a,BD=b,AC=c, 求C、D 间的距离.例 3.如图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB = 6，AC = 4，BC = 5，Z OAC = 45，OAB =60；，求OA与BC的夹角的余弦值设计意图：设计这三道题是为了巩固本节课的内容， 进一步让学 生理解对于立体几何中的我们用常规方法解不出来的题(如线线垂 直，线面垂直，异面直线的夹角问题)就可以向量的数量积求出来五课堂小结，布置作业1、 课堂小结引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行总结，通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，使学生完成知识建构， 培养其能力。2、 课后作业习题 4、习题 5。设计意图： 通过布置相关的作业进一步巩固学生对新知识额理解 记忆，并能提高学生对新知识