《北航-高等数学-张奇业》第二讲 导数的计算及应用

1、高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt第二讲第二讲导数的计算与应用导数的计算与应用一、导数的优良性质一、导数的优良性质二、导数的计算二、导数的计算三、导数的应用举例三、导数的应用举例四、有关单调性的两个问题四、有关单调性的两个问题高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt1. 导函数的优良性质导函数的优良性质).(lim)()(,)(lim),(),()( 000000 xfxfxfxfxUxUxfxxxx 且且存存在在，则则存存在在内内可可导导，且且内内连连续续，在在在在某某如如果果函函数数 所所以以条条件件，内内满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在证证明明：,)

2、(0 xxxf).(lim)()(lim)(00000 fxxxfxfxfxxx 2cos ,0,. ( )(0).1,0.xxxxxf xfex 例求性质性质1.高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt.),()(),()(点点内内不不可可能能有有第第一一类类间间断断在在内内可可导导，则则在在如如果果函函数数baxfbaxf 00000( )()()limlim( ),xxxf xf xfxfBxx00000( )()()limlim( ),xxxf xf xfxfAxx，若若BxfAxfxxxx )(lim,)(lim0000则则).(lim)(lim)(000 xfxfxfx

3、xxx 从从而而有有性质性质2.高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt?)()(lim00 xfxfxx . 0, 0, 0,1sin)(2xxxxxf . 0, 0, 0,1cos1sin2)(xxxxxxf!)()(lim00 xfxfx 高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt. 0)(),(, 0)()(,)( fbabfafbaxf，使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在可可导导，且且则则在在若若函函数数, 0)()(lim)(0 axafxfafxx0)()(lim)(0 bxbfxfbfxx，证证明明：不不妨妨设设0)(,0)( bfaf由由. 0

4、)(,)()(),( fbaxfbfaf引引理理知知在在区区间间内内部部，由由费费尔尔马马值值点点上上的的最最小小值值，故故最最小小在在均均不不是是从从而而性质性质3.可知可知),()(afxf 由由可知可知),()(bfxf 高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt.)(),(,)()(),()(),(,),()(21212121cfxxcxfcxfxfxfbaxxbaxf ，使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在的的则则对对于于满满足足且且内内可可导导，在在若若函函数数, 0)(, 0)(21 xFxF则则，证证明明：设设cxxfxF )()(性质性质4.)(, 0)(),(

5、321cfFxx 即即，使使得得内内至至少少存存在在一一点点知知在在由由性性质质高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt2. 导函数的计算导函数的计算 求导的方法有：求导的方法有：(1)(2)(3)(4)(5)(6)、定义法 、四则运算及复合函数求导法（基本导数公式）、隐函数求导法、对数函数求导法、参变量函数求导法、高阶导数高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt例例1 1( )=( )=.f xx af xx a设在的某个邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是（ ）0001(A) lim( +)- ( ).( +2 )- ( + )(B) lim.( + )- (

6、- )(C) lim.2( )- ( - )(D) lim.nhhhn f af anf ah f a hhf a h f a hhf a f a hh存在存在存在存在D高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt(1- )( )- =lim ( (1/n)-1).xynf xy x en f设函数由方程确定，求例例2 2分析分析1()- (0)(0)=1,lim,1-0nffnyn注意到 所求极限可以变形为 =0,(0)=1.xy令得 (1 -)-1 =( 1 -) ,xyyeyx y解 ： 对 方 程 两 边 求 导 得 (0)f 实际上就是求 2013数一考研高等数学方法与应用高

7、等数学方法与应用I I编辑ppt设n为自然数，在什么条件下，函数例例3 3解解1sin,0,(x)=0,=0,nxxfxx(1)=(2)=(3)=.xxx在0连续， 在0可导， 在0导函数连续高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt(1). (1). 连续性连续性01limsin(0)0.nxxfx，即n 0时连续( )=f xx要使在0连续，只需(2). (2). 可导性可导性.对于分段函数，要用定义法求导-10001sin( )(0)1(0)limlimlimsin,0nnxxxxf xfxfxxxx1(0)0.nf 所以当时，存在且等于高等数学方法与应用高等数学方法与应用I

8、I编辑ppt1(2),x0nn首先需要当时，由初等函数求导法得：(3). (3). 导函数的连续性导函数的连续性-1-211sincos,0,( )0,=0,nnnxxxfxxxx2.n当时，导函数连续高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt例例4 422=4=sin,.(2013)= sin +costxtd yy tttdx设求考研解解( )( )dytdxtsin + cos -sincost tttt22=()d yddydtdxdtdxdx22=4= 2.td ydx所以t11=( )=cosdtdxdttdt高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt例例5 5

9、2(n)2arcsin.(1)(1) =1;(2)(0).1xyxyxyyx设求证：求证证(1)21arcsinyxx函数变形有，两边求导得：2221+ 1=.11xyx yxx2(1) =1.x yxy即：得证(n+1)2(n-1)=0=.xyn y令有：(1)n对结论两边求 阶导数有2(n+1)(n)(n-1)(n)(n-1)(n1)(1)+ (2 )+(2)(+)=0.2nxynx yyxyny解解(2)递推公式递推公式高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt(0)=0, (1)=1,yy注意到由递推公式可得(2 )(2 +1)2(0)=0,(0)=4 ( !) , =0,1

10、,2.kkkyykk高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt例例6 6222222(1).lim.(2).12lim sin()+sin()+sin() ;12lim (1+)(1+)(1+) .nnnnxnnnnnnnn求计算+222(0)=0, (0)12= ()+ ()+(),nffnxfffnNnnn设存在，定义数列高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt解解,由有限增量公式得222222222111222()=(0)+ (), ()=(0)+ (),()=(0)+ ().ffoffonnnnnnnnnffonnn(1).2(n+1)(0)(0)+(1),.22

11、nnfxfonn 222(1)121limsin ()+ sin ()+sin ()=2nnnnn 由得；(2).高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt121log,.2nnyye即22222212=(1+)(1+)(1+),12log=log(1+)+log(1+)+log(1+).nnnynnnnynnn令则高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt2(n)+12221111=(-)+12-+1(-1)!1()=sin(n+1)arctan+1(1+)nnxix ix inxxx利用恒等式证明例例7 7证证xixi将复数及化成三角形式：(cossin ),(coss

12、in ),xirixiri 1221(1+) ,arctan.rxx其中所以高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt(n)(n)(n)21111()()()+12-+xix ix i111(-1)!(-1)!2( - )()nnnnnnix ixi1121(-1)!( + )( - )2 (1)nnnnnx ix ii x1211(-1)!cos( +1) + sin( +1) 2 (1)cos( +1)sin( +1) nnnnnrnini xrnin高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt121(-1)!sin( +1)(1)nnnnrnx1211(-1)!cos(

13、 +1) + sin( +1) 2 (1)cos( +1)sin( +1) nnnnnrnini xrnin+122(-1)!1=sin(n+1)arctan.(1+)nnnxx高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt22( )(1),(1).nnyxy设求例例8 8分析分析222222242221222222(1-)(1+)+(1-)=2(1)nnnnnnnnxnxxCxCxCx注意到的 阶导数在1点的值为零，而这是一个多项式，很容易求得它在1点的导数为4(n+1)(n+1)!.n如果直接二项式展开，再求 阶导数，将十分复杂.高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt1

14、( ) | sin(0),(0)0|nmf xxxfx及，(m0)例例9 9( )0a 当x0,x (- , )()时，在什么条件下函数在什么条件下函数有有(a)于原点的邻域上有有界的导函数于原点的邻域上有有界的导函数 (b)于原点的邻域上有无界的导函数于原点的邻域上有无界的导函数解解高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt11|11 |sin-|cos|nn mmmxn xm xxxx11|1|1( )|sin-| cos|nnmmmxmxfxn xxxxxxx|11,sin,cos|( )(0)0mmxxxxfxf由于均为有界函数，于是当nm+1时，为有界函数(易知此时).(

15、)10(1)( )bnmnmfx 在此领域上，当即时无界，(0)f另一方面，由上一个例题知，当n1时，才存在，11(0).nmm因而所求的条件为高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt3. 导数的应用举例导数的应用举例高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt例例1.出出“光光的的折折射射原原理理”由由“光光行行最最速速原原理理”推推,)(,222211kxdPBhxAPxdPBxPA 则则则则解：设解：设,0 ,)()(222122dxvkxdvhxxT 时间时间ABA1B1phk.21vBvA中中的的速速度度是是，在在介介质质中中的的速速度度是是设设光光在在介介质质,

16、0 ,)()(222221dxkxdvxdhxvxxT , 0)0( T, 0)( dT, 0)(), 0(00 xTdx使使希腊人公元希腊人公元2世纪发现并研究世纪发现并研究开普勒、斯涅耳、笛卡尔开普勒、斯涅耳、笛卡尔高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt, 0)()()(2222232212 kxdvkhxvhxT.0是是最最小小值值点点是是唯唯一一的的极极小小值值点点，即即x费尔马费尔马1661年年,)(2202022010kxdvxdhxvx ,coscos21vv 即即ABA1B1ph .sinsin2211vv 即即1 2 高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编

17、辑ppt.),(,),()( . 1121 nnxgxxgxxxxg，记记迭迭代代方方法法：任任取取的的根根的的求求方方程程根根用用不不动动点点迭迭代代求求方方程程的的收收敛敛？满满足足什什么么条条件件时时，问问当当可可导导函函数数nxxg)(.)(,000 xxgxba 使使即即存存在在先先找找一一个个根根存存在在区区间间解解时，时，当当1| )(| rxg)()(010 xgxgxxnn )(011xxgn )()()(021xgxggn 0|0110 xxrxxnn,limaxnn存存在在，记记为为可可得得 .)(aag 即即有有)()(0111xxggn 例例2.高等数学方法与应用高等

18、数学方法与应用I I编辑ppt书上习题第书上习题第7 7题题高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt例例5.用切线法求方程的根。用切线法求方程的根。. 0)(, 0)(, 0)(, 0)(,)( xfxfbfafbaxf上上有有二二阶阶导导数数，且且在在设设得得做做切切线线在在点点令令,)(,(,000 xfxax )()(000 xxxfxfy ,)()(0001xfxfxxx 轴轴的的交交点点的的横横坐坐标标为为切切线线与与得得做做切切线线再再在在点点,)(,(11 nnxfx,)()(111 nnnnxfxfxx高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt现在证明二个

19、命题：现在证明二个命题：)0)(.)2()1( cfcxxnn收收敛敛到到方方程程的的根根单单调调增增加加有有上上界界；, 0)( xf20000)(2)()()()(xxfxxxfxfxf 0 , 0)(, 0)()1( xfaf因因为为证证00001)()(xxfxfxx 所所以以)()()(01001xxxfxfxf .)(1cxxf 的的单单增增可可知知由由.1cxxnn 同同理理可可知知高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt)()(111 nnnnxfxfxcxc单单调调减减少少，且且因因为为证证)(, 0)()2(xfxf )()()(111 nnnxfcfxfxc)

20、()(1)(111 nnxffxc )()(1)()()(1)(22112 nnnxffxffxc )()(1()()(1)()()(1)(022110 xffxffxffxcnnn . 0)()(1)( nafbfac高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt.10,)1 , 0(4 . 19 . 01 . 1)(.323 使使误误差差不不超超过过的的零零点点内内，求求函函数数在在设设例例xxxxf, 0)1(0)0( ff，, 0)(0)( xfxf，, 10 x738. 0)()(0001 xfxfxx674. 0)()(1112 xfxfxx671. 0)()(2223 xf

21、xfxx671. 0)()(3334 xfxfxx, 0)671. 0(, 06700( ff），又又.6705. 0 x故故可可取取高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf4. 有关单调性的二个问题有关单调性的二个问题高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt 0.100.050.050.100.050.051.00.50.51.02112高等数学方法与应用高等数学方法与应用I I编辑ppt0.0100.0050.0050.0100.0100.00