浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法

1、解： (1) + (2)得 7x -7y = 7浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法云南省曲靖市宣威市羊场镇初级中学张荣芝【摘要】 解二元一次方程组最常用的方法是代人法和加减法， 但对于一些特殊的二元一次方程组，若能根据方程组的特征，灵活运 用一些技巧，不仅可以简化解题过程，而且有助于培养同学们的创新 意识。【关键词】二元一次方程组巧解创新意识加减法二元一次方程组的解题思路就是消元，通过消元把二元转化为一 元。消元分代入消元法和加减消元法，这是解二元一次方程组的基本 方法。解题时常遇到一些特殊形式的方程（组），它们结构巧妙而富 有规律性。此时应仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种 规律，联

2、想一些解题方法与技巧，往往能避免常规解法带来的繁杂运 算，找到较为简便的解法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想 出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结 为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了 “未知”转化到“已 知”的重要数学化归思想。一、整体代入法y 1 x 2例1 解方程组下 飞一2x 3y 1解：原方程组可变形为4x 3y2x 3y继续变形为 2 x 3y+2 x=52 x L 3y=1(2)代入(1)得：12 x 5 x 3x解得:方程组的解为y再如：2aj +b=3 (1)3a +b=4 (2)ax by m, 解：(2)式变形为(2a+ b) +a =

3、4 (3) bx ay n把(1)代入(3)得3 +a=4把a= 1代入(1)得b=1原方程组的解是&=1b L =1二、直接加减法ax x+by=m当方程组中未知数的系数具有轮换特点时，即类似于bx + ay=nL的形式，可以直接将两个方程相加、减，反复两次，然后联立得到新 方程，从而巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法.例2解方程组4x3y=3 (1)3x L -4y=4 (2)x y = 1(3)(3) (2)得 x +y=- 1 (4)由(3), (4)得 x= 0 x = 0, : y = -197x79y212，再如： ”"仙八令 可用此种方法快速求解79x97y

4、140三、整体叠加法例3解方程组3x 5(x y) 36, 3y 4(x y) 36.分析：两个方程的第一项未知数x、y的系数相同，并且都含有x y 的倍数，故可将x y视为一个整体，把两方程相加，先求出x y的值, 尔后将x y的值分别代入两方程即可得解.解：(1) + (2)得3(x+y)+9(x+y)=72 x+y=6(3)把(3)代入(1) (2)彳# 3x+30=36 x=23y+24=36 y=4所以原方程组的解为x =2Yy 1=4四、消常数项法例4解方程组2 2x-5y= - 3(1)1-4x+ y = - 3(2)解： (1) (2)得6x 6y = 0 化简得 x = y（

5、3）把（3）代入（1）得y= 1 把y = 1代入（1）得x=1所以原方程组的解为 X = 1 YyJ = 17x 38y 90, 再如：解方程组23X 67y 180.五、设参数代入法例5解方程组X -3y=2 （1） x:y=4:3 X y 解：由（2）得：4 3、X工k设 43 ，则 x=4k,y=3k（3）把（3）代入（1）得：4k 9k 2解得： 5,286k -x 一, y 把 5代入（3）,得： 558 x56 y所以原方程组的解是 5六、换元法部分看作一个整所谓换元法，就是把一个数学式子或者其中的 体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的x/5 + y/7=12(1)2

6、x 3y32x 3y27,8.2x 3 y解方程组42x 3y3分析：从该方程组的特点可以看出，把2x 3y,2x 3y各视为一个整体, 利用换元法较为简捷。解：设2x + 3y = a, 2x -3y=b则原方程组可变形为'3a+4b= 842a+3b=48解得a = 60q b=-242x+3y=60x=92x-3y= -24解得这个方程组，得卜=14用换元法解方程组可化繁为简，不仅可减少运算量，还可以又快 又准地解出方程。七、对称方程组的解法例7解方程组x /5+ y/7=12L y/5+x/7=12分析：观察方程组不难发现，把期中任意一个方程中的两个未知 数互换位置，得到的方程恰为另一个方程。不难验证，在这种情况下 将原方程组中任一方程与y= x联立求得的解即为原方程组的解。解：原方程组与下列方程组的解相同(2)把(2)代入(1)得x=35, 把x = 35代入(2)得 y = 35所以原方程的解为一 x= 35、y=35八、简化系数法例8解方程组4x 3y=3(1)I 3x 4y=4(2)解：(1) +(2)得:7x-7y=7所以 xy=1(3)(1)(2)得：x+y= 1(4)由(3)(4)得：x 0其实解二元一次方程组的方法远远不止以上几种，有些二元一