2020湖北鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中八校高三第二次联考理科数学试题答案解析与点睛(22页)

1、鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中湖北省八校荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中2020届高三第二次联考数学(理科)试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z -2i-,那么z的共轲复数在复平面上对应的点位于()1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】试题分析：因为z -2i-2i(1 i) 1 i所以z 1 "所以z的共轲复数在复平面上对应的点位于1 i (1 i)(1 i) , z第四象限，故选D.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2 .已知集合 P x|y J X2 x 2，Q x|lnx 1,则

2、 PIQA. (0,2B. 2,e)C. (0,1D. (1,e)【答案】C【解析】由题意知，集合P表小函数y x2 x 2的定义域，由x2 x 2 0 ,即x2 x 2 0 ,(x 1)(x 2) 0 ,解得 2 x 1 ,所以 P 2,1.由 ln x 1 ,得 0 x e ,所以 Q (0,e),所以P Q (0,1,故选 C.3.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:AQI指05051 100101150151200201300300数值仝气质里优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势:

3、下列叙述错误的是（）A.这20天中AQI指数值的中位数略高于1001B.这20天中的中度污染及以上的天数占一4C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对 A,因为第10天与第11天AQI指数值都略高100,所以中位数略高于 100,正确；1 - 对B,中度污染及以上的有第 11, 13, 14, 15, 17天，共5天占一，正确；4对C,由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后 11天该市的空

4、气质量越来越差，错误；对D ,由图知，10月上旬大部分 AQI指数在100以下，10月中旬大部分 AQI指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答 .4 .若等差数列 an的公差为-2,且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前 n项和Sn取最大值时，n的值等于( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C【解析】【分析】计算得到an13 2n ， a61 0 ， a71 0 ，得到答案.22【详斛】a5是a

5、2与a6的等比中项，故a5a2a6,即a18a12a110 ,解得ai11.故 an 13 2n ， a61 0 ， a71 0 ，故S6 最大.故选： C .【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的综合应用，确定数列的正负分界点是解题的关键 .5 . 将 5 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A. 36 种B. 42 种C. 48 种D. 60 种【答案】 B【解析】【分析】根据题意，可分为两种情况讨论：甲在最左端，将剩余 4人全排列；乙在最左端，分析可得此时的排法数目，由分类计数原理，即可求解【详解】根据题意，最左端只能拍甲或乙，可分为两种情况讨论

6、：甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有 A： 24种不同的排法；乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时3共有 3A318种不同的排法，由分类计数原理，可得共有24 18 42种不同的排法，故选 B【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中注意优先元素受到的限制条件，合理分类求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.uur6.在VABC中，AD为BC边上的中线，且 AEULur什ED，右uuuEBuuuABUULTAC ,则A. -3B.C. 3D.化简得到uurEBuurEB3uur -AB 4 uur EA1 u

7、uiT AC 4uur AB，计算得到答案1 UUIT -AD 2uuuABuuuABuurACuuuABo UUU 3 AB 41 UULT-AC 4uuuABuurAC ,故3, 44,故-故选：A.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的应用能力7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角一,现在向大正方形区域内随6飞镖落在小正方形内的概率是D. 1设大正方形边长为1,则小正方

8、形面积为11 1 ,因此所求概率为2221盘212选D.8.函数 f(x) 2cosx(sinxcosx) x2,0的最大值为（）A. 12B.C. 2化简得到f(x) ,2sin 2x2x 4,计算得到答案.f (x) 2cosx(sinxcosx)sin 2xcos2x2 sin2xx ,0，则 2x 243,，故 f x4 4max f故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力9.已知抛物线y22 px(p0）的焦点为F ,过F的直线l交抛物线于B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为,则3| AF |1(等于|BF |1A. 一32B.51C.一2

9、2D.3如图所示，作辅助线，计算AF -3BF【详解】如图所示:过点A作准线垂线与过F点x轴的垂线交于点,过点B作准线的垂线与过F点x轴的垂线交于点直线l的倾斜角为AFM1 AMF 中，AM - AF ,2故 CM AC AM AFp,故AF 2 p ,同理可得：BF31AF22p.故庄1 |BF | 3 .故选：A.【点睛】本题考查了抛物线中线段的比例关系，意在考查学生的计算能力和转化能力10 .如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）正视圉 恻视图脩视图A. 2,2B.、10C. 2-3D.13

10、【答案】CDE 484 2用，故选C-【详解】试题分析：由题意得，该多面体为如下几何体，最长的棱长为E考点：空间几何体三视图. 2211 .已知双曲线xr yr 1（a 0,b 0）的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F .过点F且垂直于x轴的直线 a bl交双曲线于 M ,N两点，P为直线l上一点，当 APB最大时，点P恰好在M （或N ）处.则双曲线的离心率为（，A. 2B. , 3C. 2D.、.5当过A, B的圆与直线l相切于P点时，直线上其它点都在圆外，此时 APB最大,由切割线定理得 |FP|2 |FB|FA| (c a)(c a) c2 a2 b2,点P恰好在M处，所以| FM |

11、 b ,由双曲线通径公式可得可知 | FM | b-,a所以 b ", a b, - 1, aa所以双曲线的离心率为e 、1 bJ2 .本题选择A选项.（或离心率的取值范围）,常见有两点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率种方法：求出a, c，代入公式e c , a只需要根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2, c2, a2转化为a, c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)，&1,x- 012 .已知函数f(x) 2，若函数g(x) f (x) kx有且只有

12、两个零点，则实数 k的取值范21n(1 x),x 0围为()C 1小 、1ca. (0,2)B. 0,-C. (2,)D. 一 ,222【答案】D【解析】【分析】求导得到函数的单调性，画出函数图像，计算斜率范围，根据图像得到答案1 .-2O O【详斛】当x 0时，f x Jx 1为双曲线4y x 1的一部分，2一，11渐近线为y - x,斜率为一；222当x 0时，f x 2ln(1 x), f' x0,函数单调递增.1 x画出图像，如图所示：2 1当x 0时，f'x故f'02,根据图像知：一k 21 x2.故选：D .【点睛】本题考查了函数零点个数问题，画出函数图像是

13、解题的关键二、填空题(把正确答案填在答题卡上)x 213.若x, y满足 y 2x ，则x 2y的最小值为 x y 3【答案】5【解析】【分析】1先作出可行域，再做直线 l : y x,平移l ,找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。1 11【详解】作出不等式组表木的平面区域，如图，令z x 2y,则y 1xz ,作出直线l : y 'x,2 22x 2一一平移直线l ,由图可得，当直线经过 C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得C(2,1),因x y 3此x 2 y的最小值为2 2 14.故答案为：4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。14 .已知函数f(x) x

14、3 (a 1)x2 3ax 1,若f(x)在x 1处取得极值，则曲线y 处切线方程为.【答案】3x y 1 0；【解析】【分析】求导得到 f'(x) 3x2 2(a 1)x 3a ,根据 f'(1) 0 得到 a 1,计算 f'03,方程.【详解】f(x) x3 (a 1)x2 3ax 1 ,则 f'(x) 3x2 2(a 1)x 3a, 故 f' 3 2(a 1) 3a 0,解得 a 1, f(x) x3 3x 1, f'(x) 3x2 3. 故f'03, f 01,故切线方程为：y 3x 1,即3x y 1 0.故答案为：3x y 1

15、 0.【点睛】本题考查了函数的切线方程，意在考查学生的计算能力n*15 .已知数列 &满足an 2an 1 21 n N , n- - 2，若a465 ,则a 【答案】3；f(x)在点(0, f (0)f 01得到切线【解析】根据递推公式依次计算得到答案9;【详解】an2an12n1 ,a,65,故 a42a324 1,故 a3 25 ； a32a223 1,故2a2 2a1 2 1 ,故 a1 3.故答案为：3.【点睛】本题考查了根据数列递推公式求值，也可以求出数列通项公式再求值16.设(a,b) j(ab)2,na b40,b R），当a，b变化时，（a,b）的最小值为函数表示点A

16、 a,lnb2a和B b,的距离加上4B的纵坐标，计算得到AB BC AF 1 ,设函数函数表示点In x(a,b)21,计算得到g X min,2 2,2ba b In a 412,得到答案.b254b2A a,ln a和B b, 的距离加上B的纵坐标, 4x2 .一. .一一回出f x Inx和y 的图像，如图所示:4故AB BC AB BD 1 AB BF 1 AF 1 ,当ABF共线时等号成立、儿22In x 1 ,设 gx x In x 1 ，则 gx 2 2x, g 10,x2,故 g' x2 2xx0,函数单调递增;Inx 1当0 x 1时，2xInx 1 八 人 2,故

17、g' x 2 2x 0,函数单调递减xg x min g 12,故 AF 1 V2 1.综上所述：（a,b）的最小值是 J2 1.故答案为：2 2 1.【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题:17.在VABC中，角A, B, C的对边分别是aurb, c,且向量mT(2a c,b)与向量 n (cosC,cosB)共线.(1)求B；b 3"，a 3,uuu uuu且AD 2DC，求BD的长度.(1)

18、 B (2)3BD .19（1）根据共线得到（2 ac)cos B bcosC ,利用正弦定理化简得到答案9 c22 363LT 【详解】(1) m (2 a即(2sin A sin C)cos B即 sinA(2cosB 1).AC-1sin A 0,cosB 一 B (0, ),，B -3(2) b 3", a 3B 3,在 VABC 中,由余弦定理得:1根据余弦定理得到c /cosC访，再利用余弦定理计算得到答案Tc,b)与 n (cosC,cosB)共线，(2a c)cos B bcosC.sin BcosC,，2sin AcosB sin(B C) sin A22, 23c

19、 54 0.a c b cosB 2ac6 （舍去）-1 cosC2,22a b c2ab9 63 812 3 3.7uuu ADuuu2DC DC在VBDC中，由余弦定理得:222BD CB DC 2CB DC cosC2 3 .712 "19, BD 、语.【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力18.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCM直角才!形，AD/BC, ADC 90°，平面PAD面ABCD Q为AD的中点，M是PC上的点，PA PDAD 2, BC 1 , CD 33B1求证：平面PQB 平面PAD2若PM 3MC ,

20、求二面角M BQ C的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解.试题解析：（1） Q为 AD 中点，PA PD AD 2, BC 1,底面ABCD为直角梯形,. .PQ AD , QL&BC , .四边形 BCDQ 是平行四边形，/.DC /QB ,AD/BC , ADC 90°，BQ AD .又 BQ PQ Q, . .AD平面 PQB. . AD平面PAD，平面PQB 平面PAD .（2） . PQ AD ,平面 pad 底面 ABCD ,平面 PAD 底面 ABCD

21、AD. PQ 底面 ABCD,以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为轴z ,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0), B(0,73,0), C( 1,褥0) , P(0,0, J3),uuuu 3 uur 设 M (a,b,c),则 PM -PC ,即(a,b,c 、.-)/ 3 3.3(，-：-4443:3、T' a 3 h 3-3 c 、33 3x3 13、, a , b , c , M (一,),4444 44uuur 3 3、3 . 3 uur QM ( 3 /当,QF(0, 5/3,0),444r设平面MQB的法向量ruuur/、nQM(x,y,z),则 uuunQB3-

22、x43y313.3 八y z 044,0取 x 1,得 r (1,0, J3),平面 BQC 的法向量 n (0,0,1).设二面角M BQ C的平面角为 ，则cosmnnmmll-nl面角M BQ C的大小为-.考点：空间线面 位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用.22119.已知椭圆C:xr yy 1(a b 0)的离心率为一，左、右焦点分别是E,F2,椭圆C上短轴的一个端 a2 b22点与两个焦点构成的三角形的面积为J3 ；（1）求椭圆C的方程;（2）过F1作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点（点A在第二象限），M,N是椭圆上位于直线侧的动点，若 MAB NAB,求证：直线

23、 MN的斜率为定值.22【答案】（1） x_ y- 1 ； （2）证明见解析.43【解析】【分析】（1）根据离心率和三角形面积可构造关于a,b,c的方程，解方程可求得a,b,c,进而得到椭圆方程;假设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到X1 X2和X1X2；根据 MABNAB 知 kAMkAN从而可利用韦达定理形式表示出等式，化简可得2k 12m 2k 30；当 2m 2k 3 0时,（2）0,可知,一“人，一1过A点，不符合题意；所以可知 k -.2 _ 一 一 c 1-【详解】（1）由题息可得：一 一且bc J3a 2T7 .2.22222.又 Qab c 得：a 4, b 3, c

24、122椭圆C的方程为y- 143一 .3证明：由（1）可得：直线l ： x 1, A 12设直线MN的方程为y kx m ,代入椭圆方程, 一 一 22_2_消 y 可得 3 4kx 8kmx 4m 12 022设 M x1, y1 , N x2, y2 ，则 48 4k m 30则 x1 x28km23 4k2x1x24m2 12 2 3 4k233-y1 y2 一Q MAB NABkAMkAN 0220x1 1x2 1即 kx1 mx2 1kx23mx1 1023232kx1x2m k2x1 x22m 32k 4m2 1223 4k28km22 3 4k22m 3 0化简可得2k 12m

25、2k 31或 2m 2k 2当2m2k3 0时,直线MN的方程为则直线MN经过点A31,-,不满足题意2即直线MN，1的斜率为定值-2【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定值问题的求解.对于定值问题，关键是能够通过已知条件建立起与参数有关的等量关系式，通过整理化简将关系式变为恒等式，或通过消元得到所求定值20.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的 7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中乙In,1 7y,z -4)7 i 1平均温度x/ C21232527293235平均产卵数y/个7112124661

26、15325xyznxi又乙 Zi 1n - 2为 xi 127.42981.2863.61240.182147.714（1）根据散点图判断，y a bx与y cedx （其中e 2.718L自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28c以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28c以上的概率为 p 0 p 1 .记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为 f

27、p ,求f p的最大值，并求出相应的概率 p.当f p取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.nx x yi y附：线性回归方程系数公式 b? ,<? y bx .2xi x i 1【答案】（1） y cedx 更适宜，y e0.272x 3.849 ; f p max 受，p E（X） 3,D（X） 662555【解析】【分析】（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量z,构造线性回归方程，利用已知量求解出z关于x的线性回归方程，即可求解出 y关于x的回归方程；（2）先表示出f p ,然后根据f p分析出f p的最大值以及p的值；根据p的值以及二项分

28、布的均值与方差的计算方法求解出结果即可【详解】解：（1）根据散点图可以判断,ycedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型;对y cedx两边取自然对数，得ln y lnc dx ；令 z In y,a ln c,b d ,得 z a bx ;7xi x zi z 因为g _ 2xi xi 140.182147,7140.272 ,cy z Ibx 3.612 0.272 27.4293.849 ；所以z关于x的回归方程为? 0.272x 3.849;所以y关于x的回归方程为? e0.272x 3.849332(2) (I)由 f(p) C5 p (1 p),32得 f pC5

29、P (1 p)(3 5p),3因为0 p 1 ,令f p 0,得35P 0 ,解得0 p -；5一 .3 3.所以f p在0,3上单调递增，在 3,1上单调递减,55一 3.所以f p有唯一的极大值为 f -,也是最大值;533所以当p 5时，f pmax f 5216；6253(ii)由(i)知，当f p取最大值时，p ,所以X 5 .3所以X的数学期望为E(X) 5 3 3,5»工4、，、326方差为D(X) 5 .5 5 5【点睛】本题考查线性回归方程的求解、独立重复试验的概率与函数的综合应用、二项分布的均值与方差 计算，难度较难.已知X B n, p ,则E X np, D

30、X np 1 p .1-，21.已知函数 f x x 2a lnx. x(1)讨论f x的单调性；2设g x lnx bx cx ,若函数f x的两个极值点x1,x2 x1 x2恰为函数g x的两个零点,且y x1 x2 g x12 x2的范围是ln 2 ：,求实数a的取值范围.【答案】(1)当a 1时，单调递减区间为 0,，无单调递增区间；当a 1时，单调递减区间为0,a a2 1 , a 、a2 1,；单调递增区间为a aa 1,a aa 1 ；(2)(1)求解导函数，根据导函数的分子(二次函数)分类讨论f x与0的关系，从而可分析出函数的单调性；X1, X1的取值范围，然后根据 a与3

31、X1_ ，一,(2)根据已知条件构造关于 一的新函数，根据新函数的单调性分析出X2的关系即可求解出a的取值范围一 ,_1 2a x 2ax 1【详解】解：(1) f x的定义域为 0,fx 412a-一年X Xx若a 1,则f x 0,当且仅当a1,X1时，f x 0(ii)若 a 1,令 f x0得x1 a Ja2 1,x2 a Ja2 1.当 x 0, a 7a21 U a 后1,时，f x 0；当 x a ya1 1,a 4a1 时，f x 0,所以，当a 1时，f x单调递减区间为 0,无单调递增区间；当a 1时，f x单调递减区间为 0,a Ja2 1 , a Ja2 1,；单调递增

32、区间为 a .a2 1,a、,a2 1 .(2)由(1)知：a 1且为 x2 2a,x1x2 1.1 .一X1 X22,又 g x b 2cx, g b c X1 X2 ,x2 X2X1_ 22由 gX1gX20得ln bX1X2c X1X2,X2X1X2 g2 x1 x2X1X2b x1 x22c X12X22 x1 x2X1X2,X1ln X22上1X2为1X2,X1ln X22(t 1)t 10,所以y在0,1上单调递减.y « 1)2 y2t(t 1)2,2由y的取值范围是ln 2 -,3LE1，得t的取值范围是0,2222222 X1 2X1X2 X2, 2 X1 X2 cXi X2 2a,(2a)x1 X2x; 2X1X2 X2 4a 2 ,x1x2x2 X1.4a2 土生 2 t 1 29,X2 X1t 2又 a 1 ,故实数a的取值范围是3.24(2)利用导数求解双变量【点睛】(1)含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论;X1X2问题，多数情况下需要构造关于一(或一)的新函数，借助新函数的单调性分析问题.X2X1(二)选考题：请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分2 一一一，_(t为参数).以坐标原点。为极点，X轴的正半轴当