2024-2025学年湖南省雅礼集团高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省雅礼集团高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|y=log3A.{x|−1<x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x<2} D.{x|0≤x<2}2.若i(2−z)=1，则z+z−=A.1 B.2 C.3 D.43.若椭圆C：x2m+y22=1A.6 B.263或26 C.24.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的最大盛水量为(

)A.68πcmB.152πcmC.20D.204πc5.已知直线l：x−2y+6=0与圆C：x2+y2−4y=0相交于A，BA.165 B.−165 C.6.设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，tanA=ab，且B为钝角，sinA+sinC的取值范围(

)A.(22,98] B.7.如图，F1，F2是分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与△PF1A.2

B.2

C.3

8.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，f(0)=1，且f(x−1)+f(x+1)=f(x)，则下列选项不正确的是(

)A.f(1)=12 B.f(x)的图象关于点(32,0)对称

C.f(x)以二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(

)A.若m⊥α，n//α，则m⊥n

B.若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n

C.若α//β，m⊂α，则m//β

D.若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β10.亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象关于直线A.φ=π3

B.直线x=5π12是函数f(x)图象的一条对称轴

C.f(x)在区间[−π3,−π6]上单调递减

D.11.已知双曲线E：x2a2−y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点PA.若|PF1|⋅|PF2|=2，则PF1⋅PF2=0

B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a与b的夹角为30°，|a|=1，|b|=13.已知sin(α−π3)+14.已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，AB=23，BC=4，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥P−ABCD内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的)，其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；

(2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为12，得2分的概率为14；丙同学得5分的概率为16，得2分的概率为12.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这216.(本小题15分)

已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4．

(Ⅰ)若直线l：(m−2)x+(1−m)y+m+1=0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；

(Ⅱ)若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A，B17.(本小题15分)

在△ABC中，已知sinB+sinCsinA=cosB+cosCcosA，D为BC的中点．

(1)求A；

(2)当BC=4时，求18.(本小题17分)

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．

(1)证明：平面BED⊥平面ACD；

(2)设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，

①求四面体ABCD与其外接球的体积比；(化为最简形式)

②当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．19.(本小题17分)

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线l交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

(ⅰ)证明：以QG为直径的圆必然经过点P．

(ⅱ)求|PQ||PG|的取值范围，并求当|PQ||PG|取得最小值时的直线l的方程．参考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.D

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.BCD

11.ACD

12.1913.−714.1015.解：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：

AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，其中正确的选项只有一个．

样本空间Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}，共11个基本事件．

∴猜对本题得5分的概率为P=111．

(2)这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的情况有3种：

①乙两道题都得5分，丙两道题分别得2分和5分，概率为：P1=(12)2×C21×16×12=124，

②乙两道题分别得5分和2分，丙两道题分别得2分和0分，概率为：P216.(Ⅰ)证明：由题意知，圆心C(3,4)，圆C的半径为r=2，

点C到直线l的距离|3(m−2)+4(1−m)+m+1|(m−2)2+(1−m)2=12m2−6m+5=12(m−32)2+12≤2<2，

故无论m为何值，直线l都与圆C相交．

(Ⅱ)解：由题意知，直线m的斜率不可能为0，设其方程为x=ty+1，

则圆心C到直线m的距离d=|3−4t−1|1+t2=|2−4t|1+t2，

17.解：(1)因为sinB+sinCsinA=cosB+cosCcosA，

所以(sinB+sinC)cosA=(cosB+cosC)sinA，即sinBcosA+sinCcosA=cosBsinA+cosCsinA，

可得sinBcosA−cosBsinA=cosCsinA−sinCcosA，即sin(B−A)=sin(A−C)．

因此，B−A=A−C+2kπ(k∈Z)，或(B−A)+(A−C)=2kπ+π(k∈Z)，

①当B−A=A−C+2kπ(k∈Z)时，可得B+C−2A=2kπ(k∈Z)，

结合A+B+C=π且0<A<π，得A=−2kπ3+π3(k∈Z)，取k=0，得A=π3．

②当(B−A)+(A−C)=2kπ+π(k∈Z)时，B−C=2kπ+π(k∈Z)(不符合题意，舍去)．

综上所述，A=π3；

(2)设AB=c，AC=b，

由(1)及余弦定理，可得16=b2+c2−2bccosπ3，即16=b2+c2−bc．

所以16+bc=b218.解：(1)证明：因为AD=CD，且E为AC的中点，所以AC⊥DE，

在△ADB中和△BCD中，因为AD=CD，且∠ADB=∠CDB，DB=DB，

所以△ADB≌△BCD，所以AB=BC，

又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，

因为DE∩BE=E，且DE，BE⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE，

又因为AC⊂平面ACD，

所以平面ACD⊥平面BDE．

(2)①由(1)知AB=BC，且∠ACB=60°，AB=2，

所以△ABC为边长为2的等边三角形，则AC=2,BE=3,AE=1，

因为AD=CD且AD⊥CD，所以△ACD为等腰直角三角形，且DE=1，

可得DE=1，且E为△ACD的外接圆的圆心，

又因为AB=BD=2，可得DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE，

取等边△ABC的外接圆的圆心O，则O为四面体ABCD的球心，且OE=33，

设四面体ABCD的外接球的半径为R，

则R2=AE2+OE2=43，即R=233，

所以外接球的体积为V=43πR3=43π(233)3=32327π，

又由DE2+BE2=BD2，所以DE⊥BE，

又因为AC⊥DE，且AC∩BE=E，AC，BE⊂平面ABC，

所以DE⊥平面ABC，

所以四面体的体积为VABCD=13×34×22×1=33，

则VABCDV=932π，

即四面体ABCD与外接球的体积比为932π．

②由(1)知，AC⊥平面BDE，连接EF，因为EF⊂平面BDE，

所以AC⊥EF，当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，

即EF的长度最小时，△AFC的面积取得最小值，

在直角△BDE中，当EF的长度最小时，EF⊥BD，此时EF=DE⋅BEBD=32，

又由DE⊥AC，BE⊥AC，可得EA，EB，ED两两垂直，

以E为坐标原点，以EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，19.解：(1)点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12，

直线AM的斜率为yx+2(x≠−2