三角函数及解三角形练习题

1、三角函数及解三角形练习题一.解答题(共16小题)1 .在中，346, 431,求C的大小.2 .已知3 9 9 =8且0V 9<九.(I )求 9;(H)求函数f (x) =6 (x- 9)在0,曰上的值域.3 .已知专是函数f (x) =2221的一个零点.(I )求实数a的值；(H )求f (x)的单调递增区间.4 .已知函数f (x)乎(2二) 2x.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若函数g (x)对任意x R,有g (x)(工二)，求函数g (x)在-；,3 662上的值域.5 .已知函数f (x) =22g4>0)的最小正周期为(1)求的值;(2)求f (x)的

2、单调递增区间.的图象关于直线与对称,6 .已知函数 f (x)( 6 ( gd>0, 一(|)<-)且图象上相邻两个最高点的距离为九.(I )求和小的值；的值.(H )若 f (巴)(< a<之),求(a+) £46327 .已知向量鼻二(,),%= (3, - V3), x 0,句.(1)若3/反求x的值；(2)记f (x) =5匕，求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.8 .已知函数f0)=gin(G汨个)M>0, |巾的部分图象如图所示.U(1)求函数f (x)的解析式;(2)在中，角A, B, C的对边分别是a, b, c,若(2a-c

3、),求f(与)的取值0-19.函数f (x) =2(6 (>0, 0V(|)<)的部分图象如图所示,2点，该图象与y轴交于点F (0,瓜,与 (I )求函数f (x)的解析式；x轴交于点B,C,且的面积为冗.O(H )若 f (a)丑色，求2a的化 510.已知函数£(工)=(I )求f (x)的最大值及相应的x值;(H )设函数式支)二f，如图，点P,M, N分别是函数(x)图象的零值点、11.设函数 f (x) ( WX-jr其中0V<3,已知f (丁)=0.(I )求；(H)将函数(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平

4、移 *个单位，得到函数(x)的图象，求g (x)在-乎tanA tanBcosB cosA等上的最小值.12 .在中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知2 ()(I )证明：2c；(n)求的最小值.13 .如图，A、B、C、D为平面四边形的四个内角.(I )证明:AH ：2 sinA(H)若 180°, 6, 3, 4, 5,求Al1-的值.2 2 2 2(I )求f (x)的最小周期和最小值;(H)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变, 得到函数g (x)的图象.当x 2Ltn时，求g (x)的值域.15.已知函数 f (x)(5-x)

5、- V32x.(I)求f (x)的最小正周期和最大值；()讨论f (x)在:，营上的单调性.6316 .已知函数f (x)(吟).(1)求f (x)的单调递增区问；(2)若a是第二象限角，f () & ( J) 2a,求a的值.35417 .设 f (x) =2/3 ( l x) ( -) 2(I )求f (x)的单调递增区问；(H)把(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数(x)的图象，求g (今)的值.18 .已知函数 f (x) (x-) (x?)，g (x) =22. 652(I )若a是第一象限角，且f ( a) =

6、1M3,求g ( a)的值;5(n)求使f (x) > g (x)成立的x的取值集合.19 .已知向量=F （m, 2x）, h= （2x, n）,函数f （x） =a?b,且（x）的图象过 点（工，心）和点（竺，-2）.123（I ）求m, n的值；（H）将（x）的图象向左平移 小（0小 冗）个单位后彳#到函数（x）的图象， 若（x）图象上的最高点到点（0, 3）的距离的最小值为1,求（x）的单调递增 区间.三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一.解答题（共16小题）1. （20177®宁模拟）在中，346, 431,求C的大小.【分析】对已知式平方，化简，求出()=-

7、,确定的值，利用三角形的内角和求出C的大小.【解答】解：两边平方(34) 2=36得 921622436 (43) 2=1得 16292241 + 得：(9292A) + (162162B) +242437即 9+16+24 () =37所以()，2所以江或者工 66若工，则>返& 一 (2017砌江模拟)已知38 8 =8且0V 9<九.(I )求 9;I TT(H)求函数f (x) =6 (x- 9)在0,2上的值域.4【分析】(I )利用同角三角函数的基本关系求得8的值.(n)利用三角包等变换化简函数f (x)的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在0, *

8、上的值域.3>3-> 1,则43>1这是不可能的2所以一6因为180°所以&【解答】解：(I )3 9 9 =8,且0V 9<砥9>0, 8为锐角.|3-3cos 2 白cos 6二8,求得吟，或8 = 3 (舍去)一T，【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题.综上可得，ol.3 (H)函数 f (x) =6 (x 9) =6? (?L?p.)=22421 +2223 (±212x) 33=3 (2x- 9),在0,马 上，2x-钱-9, - q , f (x)在此区间上先增后减，4 2当2x- 9 =0寸，

9、函数f (x)取得最大值为3,当2x- 8= 8时，函数f (x)取得 最小值为3(- 9) =39 =1故函数在0,当上的值域为1, 3.4【点评】本题主要考查三角包等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题.3. (2017TW淀区一模)已知 二是函数f (x) =2221的一个零点.3(I )求实数a的值；(H )求f (x)的单调递增区间.【分析】(I )利用函数的零点的定义，求得实数 a的值.(II)利用三角包等变化化简函数的解析式， 再利用正弦函数的单调性求得f(x) 的单调递增区间.【解答】解：(I)由题意可知fd；)二。，即f g)二女口、+J1二。， J'JJJ即 f

10、 =2.1=0，解得 &=-V3. j一乙( H ) 由 ( I ) 可 得f(K)=2Gos2x-V3sin2x+l|CDs2x-V3sin2i4225in(2x+-) + 2,函数的递增区间为2kTT，2kH+-, kCZ.由患n 什聆式2knT，kCZ,ZbZ得 k冗 Yk丸kCZ, t>所以，f (x)的单调递增区间为k冗 T, kCZ.3b【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于中档题.4. (2017硒阳三模)已知函数f (x) 亚 (2) 2x.24(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若函数g (x)对任意x R,有g (x)

11、(工)，求函数g (x)在-巴，工 662上的值域.【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f (x),再由周7T期公式计算得答案;(2)由已知条件求出g (x) 1 (记口 日，当xC -2二,与时，则23262一,由正弦函数的值域进一步求出函数g (x)在一裔上的值域.【解答】解：(1) f (x)返2(吟)2x=;：，；"上2 :22x2 2421 -2HQ1 22 2 2'，- f (x)的最小正周期(2)二.函数g (x)对任意x R,有g (x)(g(X)-y2 ( li4TO,当 xC -<g (x)，解心<g (x) <1

12、.JT综上所述，函数g (x)在-二二T-上的值域为：与 6 Z4【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法， 考查了函数值域的求法，是中 档题.5. (2016打匕京)已知函数f (x) =22必«0)的最小正周期为 九.(1)求的值;(2)求f (x)的单调递增区间.【分析】(1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 ( 的值；(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x的取值范围得f (x)的单调递增 区间.【解答】解：(1) f (x) =22cdx2 2("sin25 比+_匕口台2 H k)的si.口(2 -由三三二7T ,得=1(2)由(1)

13、得，f (x) =VsinC2x+p)-再由g+2k冗学T2kn，得/n, kE ".f (x)的单调递增区间为上。k冗，；珏n(kCZ).L；O【点评】本题考查(6型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档 题.6. (2014?®庆)已知函数f (x)乃(6 (>0,K-jT-)的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为冗.(I )求和小的值；(H )若 f (-7-) =-口 号)，求(a+u1)的值.上 。 buz【分析】(I )由题意可得函数f (x)的最小正周期为 冗求得=2再根据图象 关于直线三对称，结合-小三可得小的值.(n)由条件求得(a

14、-三)二.再根据a-二的范围求得(a-2)的值， 6466再根据(/当)M (a-四)+,利用两角和的正弦公式计算求得结果. 266【解答】解：(I )由题意可得函数f (x)的最小正周期为阳宁三=阳.二2再根据图象关于直线|与对称，可得2x21+ 玲，ke z. 结合一(K三可得小二一匹.226(U ) f (±L)=叵(工< a<-), 2463 立(a-；) =£1,.( a-三)j6464再根据0<a-三(工，62【点评】本题主要考查由函数(的部分图象求函数的解析式，两角和差的 三角公式、的应用，属于中档题.7. (2017?!苏)已知向量 3=

15、(,), b= (3, -h/s), xe 0,句.(1)若:a/ 1>,求x的值；(2)记f (x) =a*b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到- 叵,问题得以解决，3 |(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1) .:=(,),b= (3,-阴),a/b,.3,一圣 xC0,句，.屈6，(2) f (x) a-b3-323 (坐彳)=2/5 (年),xC 0,句，兀r 7T 了兀1 ,656. 一 1< (2L) &叵, 62当0时，f (x)有最大值，最大值3,当匹时，f (x)

16、有最小值，最小值-23.6【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质，属于基础题8. (2017TW州一模)已知函数£&)=Msin(砧豆十力)(花>8 |巾|-)的部分图 象如图所示.(1)求函数f (x)的解析式；(2)利用正弦定理化简，求出和八即可求函数f (x)的解析式;(2)在中，角A, B, C的对边分别是a, b, c,若(2a-c),求工合)的取值B,根据三角内角定理可得 A的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：(1)由图象知1,屁式笔一1)5, ,.”212&f (x) (2小)二图象过(三

17、，1),将点(二，1)代入解析式得同口当0)二1 663明Y，故得函数f (x)=sin(2k+亲)-(2)由(2a c),根据正弦定理，得：(2-)2 (), . 2.AC (0, tt),.w 0,谒吟弩,即0<a<今 DJ那 A： f(7；-)=，OMW-，5 263666sin(A+-) (y - 11故得崎大1L【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解 决本题的关键.同时考查了正弦定理的运用化简.利用三角函数的有界限求范围, 属于中档题.9. (2017?丽水模拟)函数f (x) =2(必巾(>0, 0V小V于)的部分图象如图 所示，M

18、为最高点，该图象与y轴交于点F (0,m),与x轴交于点B, C,且 的面积为九.(I )求函数f (x)的解析式；(U)若 f ( a-2L) =Z1,求 2a 的值.【分析】(I )依题意，由 吟义2义几可求得其周期2冗岑二，解得 ”1,再由f (0) =2(|)A历，可求得耙从而可求函数f (x)的解析式；(n)由f ( a-二)=2 a 2返，可求得a,再利用二倍角的余弦即可求得 2a的 45【解答】解：(I )因为SJaXx2X阳2所以周期2九一 W由f (0) =2小y区得“除因为0V(|)<丸2所以f(x) =24);(H )由 f ( a所以2a=F22卷)=23【点评】

19、本题考查由(6的部分图象确定其解析式，求得 与小是关键，考 查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.10. (2017?延庆县一模)已知函数(I )求f (x)的最大值及相应的x值;兀(H)设函数晨口二如图，点P, M, N分别是函数(x)图象的零值点、4(H)化简函数g (x),过D作，x轴于D,根据三角函数的对称性求出/ 90°, 再求/的值. ，一 TT【解答】解：(I)函数fG)；式n2x十sin(一-zx (1 分)_i , M=-；.:一jr=§m+；“）；（3分）J .f （x）的最大值为f （x） 1,（4分）止匕时n+-，（5分） JZa解得"女&

20、quot;十方，kE2；（6分）（n）函数式兀）=f（；，2 （pLx） +2L （2L）,（7 分）过D作，x轴于D,如图所示；. 1,/ 90°,（9 分）计算近，22«, JF+3姐瓦（门分）c/HPN;?.（13 分）V10 5也考查了三角函数的计算问题,【点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题, 是综合题.11. （2017?山东）设函数f （x）（x看）（x萼），其中0必 3,已知f TT二0. 6（I）求；（H）将函数（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），再 x ITT I将得到的图象向左平移 彳个单位，得到函数（x）的图象，求g （x

21、）在-N， 巧上的最小值. 4TT【分析】（I ）利用三角包等变换化函数f （x）为正弦型函数，根据f （二）=0 求出的值;(n)写出f (x)解析式，利用平移法则写出g (x)的解析式，求出xe 记-时g (x)的最小值.4【解答】解：(I )函数f (x) ( CDX-2L)6又 f (r?-) k/3 (-w-=0, &&3兀兀I < 7-九，kCZ,63解得=62又0V<3,(H)由(I )知，f (x) JI (2x-7Ty将函数(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)V3 (x-)的图象;再将得到的图象向左平移卷个单位,得到会 (JI

22、77T)的图象,函数(x) V3 (x-当 xC -手时，x- 42K,£ ,时,g (x)取得最小值是-是中档tanA tanBcdsB cos A【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题,12. (2016?山东)在中，角A, B, C的对边分别为a,b, c,已知2()(I )证明：2c；（n）求的最小值.【分析】（I）由切化弦公式叁毡过二山殳,带入 cosAcosB2（tanA+tanB）上曲启出并整理可得2（），这样根据两角和的正弦公式即可 cosB cosA得到2,从而根据正弦定理便可得出 2c；（n）根据2c,两边平方便可得出a22+24c2,从而

23、得出022=4（2 - 2,并由不等式 a222得出c2>,也就得到了这样由余弦定理便可得出心口嵋二芸-1，从而得出的范围，进而便可得出的最小值.【解答】解：（I ）证明：由c/ 一 八 _tanA . tanB i目2 Ct &nA+t 曰 丁 <丁彳寸COSD COSA2($inA +sinB ) _ sinAvcosA cosB -cosAcosBcasAcoeB两边同乘以得，2（）; -2 ();即 2 (1);根据正弦定理，-二L二2R； sink sinB sinCWM二急si声条而六品，带入（1）得:a b 2g 2c；(H ) 2c；()222+24c2;.

24、a22=4c2-2,且4c2>4,当且仅当时取等号;又 a, b>0；函；，由余弦定理，的最小值为【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为”十丁-1=3-2 肝二色上 1 *1：2ab 2ab 2 ab T阳以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 a22> 2的应用，不等式的性质.13. （2015?四川）如图，A、B、C、D为平面四边形的四个内角.(I)证明:Al-wA :2 sinA(H)若 180°, 6, 3, 4, 5,求誓*的值.ABCD 222 2 2 2sinA sinB连结，在中，利用余弦定理求出，连结，求出，然后求解即可.【

25、分析】(I )直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.(II )通过 180°,得 180 -A, 180° - B,利用(I )化简(H )由 180° ,得 180° A , 180° - B ,由(I )可知：包回gD1222gl(宽T T)2主2 2 2 2 sinA sinB sin(180 -A)sin(180 -B) sinA sinB结，在中，有 222- 2?, 6, 3, 4, 5,在中，有222 - 2?,所以 22-2?22-2?,则：-一工2(AB-ADBC-CD) 2 (6 X 5+3X4) 7连结，同理可得:AB

26、2-FBCg-ADg-CD2 6g+32-52-g 12(AB-BC+AD-CD) 2(6X 3+5X4) 19于是所以，2 2 2 2sinA sinB 2V103【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理.简单的三角包等变换，考 查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用.14. (2015?®庆)已知函数 f (x) 2x-/3(I )求f (x)的最小周期和最小值；2x.(H)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变,得到函数g (x)的图象.当x 2L,n时，求g (x)的值域.【分析】(I )由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x

27、) (2x-A) 3-F，从而可求最小周期和最小值；(n)由函数(6的图象变换可得g (x) (x-与，由xe 2L,何时,可得x-2L的范围，即可求得g (x)的值域.37T3Vs2【解答】解：(I ) , f (x) ,2xT2-2x 苧(12x) (2x- f (x)的最小周期空阳最小值为：-1-亨=-左兴.(H)由条件可知：g (x) (x-)-日那么(x-日) 3-丑的值域为：上道222W3当xe2L,句时，有x-2Le2L,些,从而(x-三)的值域为上，1, 256332故g (x)在区间子，句上的值域是土遁, 22【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数(8的图象变换,属于基本知识的考查.15. (2015?重庆)