人教A版2019高一数学必修1第一学期第二章2.1等式性质与不等式性质

人教A版高一数学必修1第一学期第二章2.1等式性质与不等式性质第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质核心素养目标1.数学抽象：会用不等式组表示不等关系.2.直观想象：掌握等式的性质.3.逻辑推理：理解不等式的概念,掌握不等式的性质.4.数学运算：能够用作差法比较两个数或式的大小.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.教学目标教学重点：会用比较法比较两实数的大小．教学难点：会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．情境导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等，类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示．现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；2、三角形ABC的两边之和大于第三边；3、a是一个非负实数。在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？4、某路段限速40km/h5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%6、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.知识讲解什么是不等式？用不等号连接两个关系式所得的式子。（3）一般情况下，不等式研究的数的范围是实数集R。（1）常用不等符号有<,>,≠，≤，≥；（2）关系式可以是式子，也可以是数、字母···；知识讲解知识讲解不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________.不等式

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量

f应不少

于2.5%，蛋白质的含量

p应不少于2.3%；设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v40.问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h；解：解：

知识讲解设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞

c，a–b＜

c

.（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；解：（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.解：如图，设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.CDEAB知识讲解知识讲解问题2：你能用不等式表示并解决下面的问题吗？

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？不等关系：销售总收入不低于20万.解：设提价后每本杂志的定价为

x元.问题3：如何比较两个式子的大小关系？关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：

作差法：比较两个实数（式子）大小关系的方法.比较大小关系研究差值符号运算知识讲解生活中的不等关系：例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：因此，销售总收入为：用不等式表示为：知识讲解13知识讲解变式：如果设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*)，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析：杂志的单价提高了0.1n元，销售量就减少了2000n本，杂志单价为(2.5+0.1n)元，则可得到销售的总收入不低于20万元的不等式可表示为：(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20你能计算出n在哪个范围内变化吗?两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.若a-b>0，则______;若a-b=0，则______;若a-b<0，则______.差0人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《等式性质与不等式性质》第一课时课件（共15张ppt）人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《等式性质与不等式性质》第一课时课件（共15张ppt）实数大小关系的基本事实a>ba=ba<b反过来也对。这样，我们就得到了不等式的基本原理a-b>0<=>a>ba-b=0<=>a=ba-b<0<=>a<b这样，比较两个实数的大小，就可以转化为比较它们的____与____的大小。知识讲解不等式的性质性质1

a>b⇔_______；(对称性)性质2

a>b，b>c⇒_______；(传递性)性质3

a>b，c∈R⇒_____________；(同加保序性)推论：a＋b>c⇒__________；(移项法则)性质4

a>b，c>d⇒_____________；(同向相加保序性)性质5a>b，c>0⇒_________，(乘正保序性)

a>b，c<0⇒

；(乘负反序性)性质6

a>b>0，c>d>0⇒_________；(正数同向相乘保序性)性质7

a>b>0⇒_________(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)b<a

a>c

a＋c>b＋c

a>c－b

ac>bc

a＋c>b＋d

ac>bd

an>bn

ac＜bc

知识讲解16知识讲解

分析：若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系.

作差法比较大小步骤是：第一步，作差；第二步，变形；第三步，判号；第四步，定论.知识讲解例2：右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？DABCGHFE知识讲解

DABCGHFE

ab

正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和

＞19知识讲解比较数或式子的大小例2.已知x＜y＜0，比较（x2＋y2）（x－y）与（x2－y2）（x＋y）的大小．[解析]∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴（x2＋y2）（x－y）－（x2－y2）（x＋y）＝－2xy（x－y）＞0，∴（x2＋y2）（x－y）＞（x2－y2）（x＋y）．20知识讲解比较两个实数（或代数式）大小的步骤：（1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差；（2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）；（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；（4）作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．

已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞０），再添加m克糖（m＞０）（假设全部溶解），糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立解：要证

只要证

观察目标式，从目标式出发即证

即证

得证

方法：分析法/执果索因知识讲解知识讲解已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x，y所满足的不等关系.知识讲解解析：由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位,含有维生素B800x单位,ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位,含有维生素B400y单位,则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B(800x+400y)单位,则有

不等式基本性质的应用1.应用不等式性质判断命题真假例3对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若a<b<0,则a2>ab>b2;分析:判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可.知识讲解知识讲解26知识讲解

1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.知识讲解③

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