22.5菱形（第1课时）

1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标冀教冀教第第二十二二十二章章 四边形四边形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈观察思考观察思考（1）图片中有平行四边形吗？）图片中有平行四边形吗？（2）这些平行四边形具有哪些特征？其中哪个特）这些平行四边形具有哪些特征？其中哪个特征不是平行四边形的性质？征不是平行四边形的性质？学学 习习 新新 知知活动活动1菱形的定义菱形的定义结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?口答下面问题:(1)上面这些图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么各组邻边都相

2、等吗?菱形的定义菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.活动活动2菱形的性质菱形的性质【想一想】【想一想】1.菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?2.你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.【做一做】【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:1.菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?2.菱形中有哪些相等的线段?结论:1.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,是菱形对角线所在的直线,两条对角线互相垂直.2.菱形的四条边相

3、等.3.菱形的每条对角线平分一组对角.如图所示,四边形ABCD是菱形,AB=AD.求证:(1)AB=BC=CD=DA.(2)ACDB.(3)ADB=CDB,ABD=CBD,DAC=BAC,DCA=BCA.分析:菱形不仅两组对边分别相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等;因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点,可以利用三角形全等来证明ACBD和角的相等关系.证明:(1)四边形ABCD是菱形,AB=CD,AD=CB.又AB=AD,AB=BC=CD=DA.(2)在ADO和CDO中,DA=DC,DO=DO,AO=CO,ADO CDO.AOD=COD.AOD+COD=180

4、,AOD=COD=90.ACDB.(3)ADO CDO,ADB=CDB,DAC=DCA.ABCD,ADCB,ADB=CBD,CDB=ABD,DAC=BCA,DCA=BAC.ADB=CDB,ABD=CBD,DAC=BAC,DCA=BCA.菱形的性质定理菱形的性质定理:菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直两条对角线互相垂直,且每条对角线平且每条对角线平分一组对角分一组对角.(教材第142页例1)如图所示,菱形ABCD的周长为16 cm,ABC=120,求对角线BD和AC的长.14解:AB+BC+CD+AD=16 cm,AB=BC=CD=AD= 16=4(cm).BD平分ABC,

5、ABC=120,ABD=60.ABD是等边三角形.BD=AB=4 cm.2222422 3()24 3().AOABOBcmACAOcm在RtAOB中,OB=2 cm,知识拓展知识拓展(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看成菱形的性质,也可以看成菱形的判定.如图所示,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD的长为10 cm.求: (1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.12122222135ADDE1212解:(1)四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E,AED=90(菱形的对角线互相垂直),DE= BD= 10=5(cm

6、)(菱形的对角线互相平分).在RtAED中,AE= =12(cm).AC=2AE=212=24(cm).(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积=2ABD的面积=2 BDAE=2 1012=120(cm2).思考：如果例2中,已知菱形ABCD的两条对角线的长度分别为12 cm和10 cm,怎样直接计算出菱形的面积?菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等对角线互相平分对角线互相平分一组对边平行且相等一组对边平行且相等两组对边分别平行或相等两组对边分别平行或相等四边形四边形平行四边形平行四边形两组对角分别相等两组对角分别相等 课堂小结课堂小结检测反馈检测反馈1.如图所示,菱形ABCD中,AB

7、=5,BCD=120,则对角线AC的长是() 解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB,ABDC,所以ABC=180-BCD=180-120=60,所以ABC是等边三角形,所以AC=AB=5.故选D.D2.(2016莆田中考)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对边相等 B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直解析:菱形具有的性质为:对边相等,对角相等,对角线互相平分,对角线互相垂直;一般平行四边形具有的性质为:对边相等,对角相等,对角线互相平分.所以菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是:对角线互相垂直.故选D.D3.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点

8、,E,F分别是AB,BC边上的中点,连接EF.若EF= ,BD=4,则菱形ABCD的周长为()3673312127227OAOB3解析解析:E,F分别是AB,BC边上的中点,EF= ,AC=2EF=2 .四边形ABCD是菱形,ACBD,OA= AC= ,OB= BD=2,AB= ,菱形ABCD的周长为4 .故选C.C4.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm,高AE的长为 cm,则对角线AC和BD的长度之比为()A.1 2 B.1 3C.1 D.1 233322ABAE223ABOA3解析:设AC,BD相交于点O,菱形ABCD的周长为8cm,AB=BC=2 cm.高AE的长为 cm,BE= =

9、1(cm),CE=BE=1 cm,AC=AB=2 cm,OA=1 cm,ACBD,OB = (cm),BD=2OB=2 cm,AC BD=1 .故选D.D35.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.BAD=60,则AC=cm.2222213ABOB解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB=2 cm,AB=AD.又因为BAD=60,所以ABC是等边三角形,所以BD=AB=2 cm,所以OA= (cm).所以AC=2 cm.故填2 .332 36.如图所示,AC是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AF.求证CE=CF.解析:由四边形ABCD是菱形,可得EAC=FA

10、C,又由AE=AF,AC为公共边,即可证得ACE ACF,则可得CE=CF.证明:四边形ABCD是菱形,EAC=FAC.在ACE和ACF中,AEAFEACFACACAC ACE ACF(SAS).CE=CF.7.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点.(1)请判断OEF的形状,并证明你的结论;(2)若AB=13,AC=10,请求出线段EF的长.解析解析:(1)利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,进而得到OE=OF,可判断OEF的形状;(2)利用勾股定理得出BO的长,再利用三角形的中位线定理得出EF的长.1212解解:(1)OEF

11、是等腰三角形.证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,ACBD.点E,F分别是边AB,AD的中点,EO= AB,OF= AD,EO=FO,OEF是等腰三角形.2222135ABAO(2)四边形ABCD是菱形,AC=10,AO=5,AOB=90,BO= =12,BD=24.点E,F分别是边AB,AD的中点,EF= BD,EF=12.128.如图所示,在ABC中,AB=AC,四边形ADEF是菱形,求证BE=CE.解析:根据四边形ADEF是菱形,得DE=EF,ABEF,DEAC,可证明DBE FEC,即可得出BE=CE.证明:四边形ADEF是菱形,DE=EF,ABEF,DEAC,C=BED,B=CE

12、F.AB=AC,B=C,BED=CEF,BEDCEFBCDEFE 在DBE和FEC中,DBE FEC,BE=CE.9.如图所示,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接AE,CF. (1)求证四边形AECF是矩形;(2)若AB=6,求菱形的面积.解析:(1)首先证明ABC是等边三角形,进而得出AEC=90,四边形AECF是平行四边形,即可得出答案;(2)利用勾股定理得出AE的长,进而求出菱形的面积.1212证明证明:(1)四边形ABCD是菱形,AB=BC.又AB=AC,AB=AC=BC.ABC是等边三角形.E是BC的中点,AEBC,AEC=90.E,F分别是BC,AD的

13、中点,AF= AD,EC= BC.四边形ABCD是菱形,ADBC且AD=BC,AFEC且AF=EC,四边形AECF是平行四边形.又AEC=90,四边形AECF是矩形.22633 36 3 318 3.ABCDS菱形解:(2)在RtABE中,AE= ,所以10.如图所示,在ABC中,ACB=90,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,点F在DE的延长线上,且AF=AE. (1)求证四边形ACEF是平行四边形;(2)若四边形ACEF是菱形,求B的度数.解析解析:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE,从而得到AF=CE,再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得1=2,根据等边对等角可得F=3,对顶角相等得1=3,然后得到2=F,再根据同位角相等,两直线平行得到CEAF,然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证;(2)根据菱形的四条边都相等可得AC=CE,然后得到AC=CE=AE,从而得到AEC是等边三角形,再根据等边三角形的每一个内角都是60求出CAE=60,然后根据直角三角形的两锐角互余解答.证明:(1)ACB=90,E是BA的中