变化率与导数(课时)

1、1.1 1.1 变化率与导数变化率与导数 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 高中数学新课程选修高中数学新课程选修2-22-21.1.11.1.1 变化率问题变化率问题 问题提出问题提出 1. 1. 在物理学中，求变速运动的物体在物理学中，求变速运动的物体在某一时间段内的平均速度可以用公在某一时间段内的平均速度可以用公式式 ，但它不能真实反映物体在某，但它不能真实反映物体在某一时刻的运动状态，必须用瞬时速度来一时刻的运动状态，必须用瞬时速度来刻画刻画. . svt=VV 2.2.我们都有过爬山的体验，在爬山的我们都有过爬山的体验，在爬山的过程中，当山坡平缓时，步履轻盈；当过程中，当山坡平缓

2、时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁山坡陡峭时，气喘吁吁.如果山路是平直如果山路是平直的，可以用坡度来反映山坡的平缓与陡的，可以用坡度来反映山坡的平缓与陡峭程度，如果登山的路线是弯曲的，用峭程度，如果登山的路线是弯曲的，用什么数据来刻画山路的平缓与陡峭程度，什么数据来刻画山路的平缓与陡峭程度，就成为一个有待研究的数学问题就成为一个有待研究的数学问题. 探究（一）：气球的膨胀率探究（一）：气球的膨胀率 【背景材料背景材料】在吹气球的过程中，随着】在吹气球的过程中，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度越来越慢加的速度越来越慢. .设气球的体积为设气球的体

3、积为V V（单位：（单位：L L），某一时刻的半径为），某一时刻的半径为r r（单（单位：位：dmdm）. .思考思考1 1：气球的体积气球的体积V V与半径与半径r r的函数关系的函数关系是什么？是什么？34( )3V rrp=34( )3Vrrp=思考思考2 2：如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数，的函数，则该函数的解析式是什么？则该函数的解析式是什么？ 33( )4VrVp=思考思考3 3：当空气容量当空气容量V V从从0 0增加到增加到1 1时，气时，气球的半径增加了多少？可以用哪个数据球的半径增加了多少？可以用哪个数据来刻画气球的平均膨胀率？来刻画气球的平均膨

4、胀率？ r(1) r(1)r(0)0.62(dm)r(0)0.62(dm)， (1)(0)0. 62(/ )10rrdmL-思考思考4 4：当空气容量当空气容量V V从从1 1增加到增加到2 2时，气时，气球的半径增加了多少？气球的平均膨胀球的半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？率为多少？ r(2) r(2)r(1)0.16(dm)r(1)0.16(dm)， (2)(1)0. 16(/ )21rrdmL-思考思考5 5：一般地，当空气容量从一般地，当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2时，气球的平均膨胀率如何计算？时，气球的平均膨胀率如何计算？332121332233321212

5、2 11( )( )33144()()VVrVrVVVVVVV VVpp-=-+思考思考6 6：随着气球体积逐渐增大，气球随着气球体积逐渐增大，气球的平均膨胀率如何变化？的平均膨胀率如何变化？平均膨胀率逐渐变小平均膨胀率逐渐变小. .3321213322333212122 11( )( )33144()()VVrVrVVVVVVV VVpp-=-+探究（二）：高台跳水的平均速度探究（二）：高台跳水的平均速度思考思考1 1：运动员在运动员在0s0s到到0.5s0.5s时段内的平均时段内的平均速度为多少？速度为多少？【背景材料背景材料】在高台跳水运动中，运动】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高

6、度员相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起）与起跳后的时间跳后的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系：）存在函数关系：h(th(t) )4.9t4.9t2 26.5t6.5t10.10.(0. 5)(0)4. 05(/ )0. 50hhvms-=-(0. 5)(0)4. 05(/ )0. 50hhvms-=-(0. 5)(0)4. 05(/ )0. 50hhvms-=-(0. 5)(0)4. 05(/ )0. 50hhvms-=-思考思考2 2：运动员在运动员在1s1s到到2s2s时段内的平均速时段内的平均速度为多少？度为多少？ (2)(1)8. 2(/ )21hhvms

7、-= -0v=0v=0v=思考思考3 3：如何计算运动员在如何计算运动员在0s0s到到 s s时段时段内的平均速度？运动员在该时段内是静内的平均速度？运动员在该时段内是静止的吗？止的吗？ 6549思考思考4 4：一般地，运动员在一般地，运动员在t t1 1s s到到t t2 2s s时段时段内的平均速度如何计算？内的平均速度如何计算？212121( )( )4. 9()6. 5h th tvtttt-= -+-思考思考5 5：在单位时段内，运动员的平均速在单位时段内，运动员的平均速度如何变化？度如何变化？平均速度逐渐增大平均速度逐渐增大. . 探究（三）：平均变化率探究（三）：平均变化率 思考

8、思考1 1：如果将上述两个问题中的函数关如果将上述两个问题中的函数关系用系用y yf(xf(x) )表示，那么平均膨胀率和平表示，那么平均膨胀率和平均速度可用什么代数式表示？均速度可用什么代数式表示？ 2121( )( )f xf xxx-思考思考2 2：把式子把式子 称为函数称为函数y yf(xf(x) )从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率平均变化率，那么函，那么函数的平均变化率用文字语言怎样表述？数的平均变化率用文字语言怎样表述？其几何意义是什么？其几何意义是什么？2121( )( )f xf xxx-某两个自变量对应的函数值的差与相某两个自变量对应的函数值的差与相应自变量的差

9、的比值应自变量的差的比值. . 连结点（连结点（x x1 1，f(xf(x1 1) )）和（）和（x x2 2，f(xf(x2 2) )）的直线的斜率的直线的斜率. .思考思考3 3：习惯上用习惯上用x x表示表示x x2 2x x1 1，用，用y y表示表示f(xf(x2 2) )f(xf(x1 1) )，则平均变化率可以，则平均变化率可以表示为表示为 ，如何进一步理解，如何进一步理解x x和和y y的含义？的含义？yxVVx x是自变量的增加值，是自变量的增加值，y y是对应的函数值增量是对应的函数值增量. . 思考思考4 4：代数式代数式 表示的含表示的含义是什么？义是什么？00()(

10、)f xxf xx+-VV函数函数f(xf(x) )从从x x0 0到到x x0 0 x x的平均变化率的平均变化率. . 理论迁移理论迁移 例例1 1 求函数求函数y y5x5x2 26 6在区间在区间22，2 2xx内的平均变化率内的平均变化率. .20205 5x. x. 例例2 2 某盏路灯距离地面高某盏路灯距离地面高8m8m，一个身，一个身高高1.7m1.7m的人从路灯的正底下出发，以的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率求人影长度的平均变化率. .s s1.41.4t t8 81.71.717

11、(/ )45smst=VV小结作业小结作业 1. 1.函数的平均变化率是函数值增量与函数的平均变化率是函数值增量与自变量增量的比值，在实际问题中它具自变量增量的比值，在实际问题中它具有相应的实际意义，如膨胀率，平均速有相应的实际意义，如膨胀率，平均速度，平均增长率等度，平均增长率等. . 2. 2.自变量增量自变量增量x x的值可以是正数，的值可以是正数，也可以是负数，但也可以是负数，但x0 x0；函数值增量；函数值增量y y可以为任意实数，当可以为任意实数，当y y0 0时，平均时，平均变化率为零变化率为零. . 3. 3.函数的平均变化率与自变量的初始函数的平均变化率与自变量的初始值及其增

12、量有关，它能刻画函数在某个值及其增量有关，它能刻画函数在某个区间内函数值的平均取值情况，但不能区间内函数值的平均取值情况，但不能反映函数在区间内各点的函数值反映函数在区间内各点的函数值. .作业：作业：P10P10习题习题1.1A1.1A组：组：1.1.1.1.2 1.1.2 导数的概念导数的概念1.1 1.1 变化率与导数变化率与导数 问题提出问题提出 1. 1.函数函数y yf(xf(x) )从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率的含义是什么？的含义是什么？ 某两个自变量对应的函数值的差与相应某两个自变量对应的函数值的差与相应自变量的差的比值自变量的差的比值. .2.2.

13、函数的平均变化率用增量符号怎样表函数的平均变化率用增量符号怎样表示？示？00()( )yf xxf xxx+-=VVVV 3. 3.在物体的运动过程中，我们可以在物体的运动过程中，我们可以用平均变化率反映物体在某个时间段的用平均变化率反映物体在某个时间段的平均速度，但不能刻画物体在某个时刻平均速度，但不能刻画物体在某个时刻的运动速度，因此，如何在平均变化率的运动速度，因此，如何在平均变化率的基础上进一步研究物体在某一时刻的的基础上进一步研究物体在某一时刻的运动速度，就成为新的学习内容运动速度，就成为新的学习内容. .探究（一）：瞬时速度与平均变化率探究（一）：瞬时速度与平均变化率 【背景材料背

14、景材料】在高台跳水运动中，运动】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度员相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起）与起跳后的时间跳后的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系：）存在函数关系：h(th(t) )4.9t4.9t2 26.5t6.5t10.10.思考思考1 1：显然，运动员在不同时刻的速度显然，运动员在不同时刻的速度是不同的是不同的. .一般地，我们把物体在某一时一般地，我们把物体在某一时刻的速度称为刻的速度称为瞬时速度瞬时速度，那么运动员在，那么运动员在起跳后起跳后2s2s时的瞬时速度与运动员在时的瞬时速度与运动员在0s0s到到2s2s时段内的平均速度相等吗？

15、时段内的平均速度相等吗？思考思考2 2：设设t t2 2时的时间增量为时的时间增量为t t，那，那么运动员在么运动员在t t时间段的平均速度如何计时间段的平均速度如何计算？算？(2)(2)4. 913. 1hhthvttt+-= -VVVVV思考思考3 3：下表数据反映了在下表数据反映了在t t2 2附近运动附近运动员的平均速度的变化情况，你能发现平员的平均速度的变化情况，你能发现平均速度有什么样的变化趋势吗？在理论均速度有什么样的变化趋势吗？在理论上如何解释？上如何解释？13.100 004 90.000 00113.099 995 10.000 00113.100 0490.000 011

16、3.099 9510.000 0113.100 490.000 113.099 510.000 113.104 90.00113.095 10.00113.1490.0113.0510.01ttvv 在在t t2 2附近的时段内，当时间间隔附近的时段内，当时间间隔| |t|t|无限变小时，平均速度就无限无限变小时，平均速度就无限趋近于一个确定的值趋近于一个确定的值13.1. 13.1. 思考思考4 4：当当t t趋近于趋近于0 0时，平均速度趋近时，平均速度趋近于于13.113.1，这个数据具有什么实际意义？，这个数据具有什么实际意义？它与它与h(2)h(2)相等吗？相等吗？13.113.1是

17、运动员在是运动员在t t2 2时的瞬时速度，时的瞬时速度，h(2)h(2)13.1.13.1.思考思考5 5：数学上，我们把定值数学上，我们把定值13.113.1称称 为为 当当t t趋近于趋近于0 0时的时的极限极限，并表示为并表示为 ，那么，那么运动员在某一时刻运动员在某一时刻t t0 0的瞬时速度怎样表的瞬时速度怎样表示？其化简结果是什么？示？其化简结果是什么？(2)(2)htht+-VV0(2)(2)l i m13. 1ththt+-= -VVV000000()( )l i ml i m( 9. 84. 96. 5)9. 86. 5tthtthttttt+-=-+= -+VVVVV探究

18、（二）：导数的概念探究（二）：导数的概念 思考思考1 1：一般地，函数一般地，函数f(xf(x) )在在x xx x0 0处的处的瞬时变化率的含义是什么？用极限符号瞬时变化率的含义是什么？用极限符号怎样表示？怎样表示？ 含义：含义：f(xf(x) )在在x xx x0 0附近的平均变化率当附近的平均变化率当增量增量x x趋近于趋近于0 0时的极限时的极限. . 表示：表示： 0000()( )l i ml i mxxyf xxf xxx+-=VVVVVV00000()( )( )l i ml i mxxyf xxf xf xxx+-=VVVVVV思考思考2 2：数学上，函数数学上，函数f(xf

19、(x) )在在x xx x0 0处的处的瞬时变化率叫做函数瞬时变化率叫做函数f(xf(x) )在在x xx x0 0处处导导数数，记作，记作 f f (x(x0 0) )或或y y |x|x=x=x0 0，即，即若给定函数若给定函数f(xf(x) )和和x x0 0的值，那么的值，那么f f (x(x0 0) )是变量还是定值？是变量还是定值？00000()( )( )l i ml i mxxyf xxf xf xxx+-=VVVVVV思考思考3 3：如何求函数如何求函数f(xf(x) )x x2 2在在x x1 1处的处的导数？一般地，求函数导数？一般地，求函数f(xf(x) )在在x xx

20、 x0 0处的处的导数有哪几个基本步骤？导数有哪几个基本步骤？第一步，求函数值增量：第一步，求函数值增量： y yf(xf(xx)x)f(xf(x0 0) )； 第二步，求平均变化率：第二步，求平均变化率： ； 00()( )yf xxf xxx+-=VVVV00( )l i mxyf xx=VVV第三步，取极限，求导数：第三步，取极限，求导数： . .00( )l i mxyf xx=VVV思考思考4 4： , , , , 分别与分别与f f ( (x x0 0) )有什有什么关系？么关系？000( )( )l i mxxf xf xxx-000()( )l i mxf xxf xx-VVV

21、000(2)( )l i mxf xxf xx+-VVV0000( )( )l i m( )xxf xf xf xxx-=-0000()( )l i m( )xf xxf xf xx-= -VVV0000(2)( )l i m2 ( )xf xxf xf xx+-=VVV0000(2)( )l i m2 ( )xf xxf xf xx+-=VVV理论迁移理论迁移 例例1 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热和加热. .如果在第如果在第xhxh时，原油的温度（单时，原油的温度（单位：位：C C）为）

22、为f(xf(x) )x x2 27x7x1515（0 x80 x8），计算第），计算第2h2h与第与第6h6h时，原油时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. .f f (2)(2)3 3，说明在第，说明在第2h2h附近，原油温度大附近，原油温度大约以约以3 3C/hC/h的速率下降；的速率下降； f f (6)(6)5. 5. 说明在第说明在第6h6h附近，原油温度大约附近，原油温度大约以以5 5C/hC/h的速率上升的速率上升. . 例例2 2 求函数求函数 在在x x1 1处的导数处的导数. . 1( )f xx=1(1)2f= -例例3 3 已知已

23、知f f ( (x x0 0) )2 2，求求 的值的值. . 000()( )l i m2tfxtfxt-原式原式1 1 小结作业小结作业 1. 1.导数可以描述任何事物的瞬时变化导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如生产效率、增长率，气球的瞬时率，如生产效率、增长率，气球的瞬时膨胀率，物体运动的瞬时速度等，在实膨胀率，物体运动的瞬时速度等，在实际问题中有着广泛的应用际问题中有着广泛的应用. . 2. 2.根据导数的定义求导数，就是求平根据导数的定义求导数，就是求平均变化率的极限，即求均变化率的极限，即求 ，其中对平均变化率的恒等变形，是运算其中对平均变化率的恒等变形，是运算的主要内容的主要内

24、容. . 000()( )l i mxf xxf xx+-VVV 作业：作业：P10P10习题习题1.1A1.1A组：组：2 2，3 3，4 4. . 1.1.3 1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义1.1 1.1 变化率与导数变化率与导数 问题提出问题提出 1. 1.函数函数f(xf(x) )在在x xx x0 0处的导数的含义是处的导数的含义是什么？什么？ 00000()( )( )l i ml i mxxyf xxf xf xxx+-=VVVVVV 2. 2.求函数求函数f(xf(x) )在在x xx x0 0处的导数有哪处的导数有哪几个基本步骤？几个基本步骤？第一步，求函数值增量：

25、第一步，求函数值增量： y yf(xf(xx)x)f(xf(x0 0) )； 第二步，求平均变化率：第二步，求平均变化率： ； 00()( )yf xxf xxx+-=VVVV第三步，取极限，求导数：第三步，取极限，求导数： . .00( )l i mxyf xx=VVV 3. 3.导数导数f f ( (x x0 0) )表示函数表示函数f(xf(x) )在在x xx x0 0处处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题要探究的问题. .探究（一）：导数的几何意义探究（一）：导数的几何意

26、义 思考思考1 1：设曲线设曲线C C是函数是函数y yf(xf(x) )的图象，的图象，过曲线过曲线C C上一点上一点P(xP(x0 0，y y0 0) )作直线作直线l，那么，那么与直线与直线l与曲线与曲线C C有哪几种位置关系？有哪几种位置关系？ 相交，相切相交，相切. .P Px xy yO OQ Q思考思考2 2：在曲线在曲线C C上取一点上取一点P(xP(x0 0，y y0 0) )及临近的一点及临近的一点Q(xQ(x0 0 x x，y y0 0y)y)作割线作割线PQPQ，那么割线，那么割线PQPQ的斜率是什么？的斜率是什么？ykx=VVykx=VV思考思考3 3：当点当点Q Q

27、沿曲线沿曲线C C无限接近于点无限接近于点P P时，时，割线割线PQPQ的极限位置是什么？的极限位置是什么？ 思考思考4 4：如何根据割线如何根据割线PQPQ的斜率求切线的斜率求切线PTPT的斜率？所得的结论是什么？的斜率？所得的结论是什么？ 过点过点P P的切线的切线. . 00000()( )l i ml i m( )xxyf xxf xkf xxx+-=VVVVVVP Px xy yO OQ QT T割线与切线.gsp思考思考5 5：过曲线过曲线C C上一点上一点P(xP(x0 0，y y0 0) )的切线的切线方程是什么？方程是什么？000( )()yyf xxx-=-思考思考6 6：

28、若若f f ( (x x0 0) )0 0或或f f ( (x x0 0) )0 0，则函，则函数数f(xf(x) )的图象在的图象在x xx x0 0近的升降情况分近的升降情况分别如何？别如何？f f ( (x x0 0) )0 0时，函数时，函数f(xf(x) )的图象在的图象在x xx x0 0附近上升；附近上升；f f ( (x x0 0) )0 0时，函数时，函数f(xf(x) )的图象在的图象在x xx x0 0附近下降附近下降. .思考思考7 7：根据函数根据函数h(th(t) )4.94.9t t2 26.56.5t t1010的图象，如何描述、比较曲线的图象，如何描述、比较曲

29、线h(th(t) )在在t t0 0，t t1 1，t t2 2附近的变化情况？附近的变化情况？t th hO Ot0t t1 1t t2 2l0l1l2在在t tt t0 0附近曲线比较附近曲线比较平坦，曲线在平坦，曲线在t tt t1 1附附近比在近比在t tt t2 2附近下降附近下降得缓慢得缓慢. .探究（二）：导函数的概念探究（二）：导函数的概念 思考思考1 1：对于函数对于函数f(xf(x) )x x2 2，若求，若求f f (0)(0)，f f (1)(1)，f f (2)(2)，f f ( (3)3)，f f ( (4)4)的值，是否要逐一求导，怎样计算最简的值，是否要逐一求导

30、，怎样计算最简单？单？ 思考思考2 2：对于函数对于函数f(xf(x) )x x2 2，f f (x)(x)等于等于什么？当什么？当x x在在R R内变化时，内变化时，f f (x)(x)是函数吗？是函数吗？ f f (x) (x) 2x2x00000()( )( )l i ml i mxxyf xxf xf xxx+-=VVVVVV思考思考3 3：一般地，当一般地，当x x变化时，变化时，f f (x x)也也是一个函数，称为是一个函数，称为f(xf(x) )的的导函数导函数（简称（简称导数导数），利用极限如何求），利用极限如何求f f (x)(x)？0()( )( )l i mxf xxf xf xx+-=VVV思考思考4 4：如何理解导函数如何理解导函数f f (x)(x)的值域？的值域？函数函数f(xf(x) )图象上各点的切线的斜率组成图象上各点的切线的斜率组成的集合的集合. .理论迁移理论迁移 例例1 1 已知曲线已知曲线 上一点上一点 ，求经过点求经过点P P的切线方程的切线方程. . 313yx=8(2, )3P12x12x3y3y16160.0. 例例2 2 求斜率为求斜率为4 4，且与抛物线，且与抛物线y yx x2 22x