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1、第四章不定积分教学目的与要求1 理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。2 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。3 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一。不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念 定义 1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为(或)在区间上的原函数。例如，xA2是2x的原函数，lnx是1/x的原函数因，故

2、是的原函数。注： 1 由此定义上问题是：已知f(x), 如何去求原函数2那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理 1 ：若 f(x) 在 I 上连续，则f(x) 在 I 上一定有原函数。注意：并不是任意在I 上有定义的函数都有原函数，反例f (x)1,x 00,x 0定理2：设f(x) 在区间 I 上有原函数，且F(x) 是其中一个原函数，则1 f(x) 的任意两个原函数相差一个常数2 F(x)+C 也是 f(x) 的原函数定义 2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间上的不定积分，记作。其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积

3、分变量。由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。因而不定积分可以表示的任意一个原函数。第一，如果有，那么，对任意常数C,显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。第二，当为任意常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。例1求.解由于=，所以是的一个原函数。因此.例2求.解当时,由于 =, 所以是在内的一个原函数。因此，在内，当时，由于=，由上同理，在内，将结果合并起来，可写作例3、已知f x是ln x的一个原函数, x求：dF sin x/1nxInsinx , cosxdx sinxF (x) xdF(s

4、inx).dF(sin x) dsinxdsinx例4、f x的导函数是sinx，则f x的原函数sinxCixC2, （G、C2为任意常数）例5、在下列等式中，正确的结果是CA、 f/(x)dx f xB、 df(x) f(x)C、 f (x)dx f(x) D、d f (x)dx f(x) dx二基本积分表由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。见课本积分表。三不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质： 性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即注意：差的积分等于积分的差性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即 （

5、是常数,）.例1求.11例 2xx . x (12)dxx2 x4(12)dxxx3 5(x 4 - x 4)dx4 _4x4 4x 4 Cx，一 x e例 3 e (1 )dx x(ex 1)dxx7v1 .e dx dx e ln x Cx(x2 1)2dx (x4 2x2 1)dx42x 2xx dx 2x dx 1dx x53类换元法及举例利用基本积分表与积分的性质, 所能计算的不定积分是非常有限的. 因此 , 有必要进一步来研究不定积分的求法. 把复合函数的微分法反过来求不定积分, 利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法, 称为换元积分法, 简称换元法.换元法通常分成两类.一 第一

6、类换元法设 f(u)具有原函数 F(u),即 F(u) f(u)和 f(u)du F(u) C 令 u =(j)(x)淇中(f)(x)是可导的，则 F(u)=F()(x)显然是复合函数，又由于：(F (x) F (u) (x) f(u) (x) f( (x) (x)这说明(F (乂)是£( (x) (x)的一个原函数，则f( (x) (x)dx F (x) C F(u) |u (x) C f (u)du |u (x)定理1设f(u)具有原函数F(u), u =()(x)可导，则有换元公式：f (x) (x)dx F (x) f (u)du |u (x)注意：1 F (x) 不是 f

7、(x) 的原函数！2 F(u) 是 f(u) 的原函数是针对积分变量u 而言的，F (x) 是 f (x) (x) 的原函数是针对积分变量x 而言的。3 运用第一类积分换元法关键在于设法将被积函数凑成f (x) (x) 的形式，在令u(x)变成不定积分f (u)du进行计算，最后用u (x)进行回代。4 在 u (x) 下， f (x) f (u) ， (x)dx du例 1 求 / 2cos2xdx.解 作变换u=2x, 便有f 2cos2xdx = f cos2x - 2dx = f cos2x - (2x)' dx = f cos u du = sin u+C ,再以u=2x代入

8、,即得f 2cos2xdx =sin 2x+C .例 2 求 / tan x dx .解 f tan x dx = / sin x /cos x dx .因为 -sin x dx = d cos x, 所以如果设u=cos x, 那么du=-sin xdx, 即-du=sin xdx,因此.类似地可得 f cot x dx =ln|sin x|+C .在对变量代换比较熟练以后, 就不一定写出中间变量u.例 3 求 / ch(x/a) dx .解 .例 4 求 (a>0) .解 .下面的一些求积分的例子, 它们的被积函数中含有三角函数, 在计算这种积分的过程中 , 往往要用到一些三角恒等式

9、.例 5 求 / sin 3 x dx .解 f sin 3x dx = f sin 2x sinx dx=- f (1 -cos 2x)d(cosx)=-f d(cosx)+ f cos2xd(cosx)，一3 一=-cosx+(1/3)cos x+C例 6 求 / cos2 x dx .解附力口:2、3、4、5、6、,dx 3 2x.ln xdxxcos x sin112 3云d(3 2x)寸lnxd ln x3xdx1xx2d x2 -x3x e dx-dx x2ln32x c2-(lnx)33sin x d sin xd 1 - x2-x3e d(-x)1 . sin 41-x3- e

10、3一 arctan c利用定理1来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难，因为其中需要一定的技巧，而且如何适当的选择变量代换 u=6 (x)没有一般途径可循，因 此要掌握换元法，除了熟悉一些典型的例子外，还要做较多的练习才行.二第二类换元法第二类换元法从 形式上看与第一类换元法恰好相反，它是将不定积分f(x)dx通过(t)转换成 f( (t) (t)dt来计算，但有几点需要说明。1 f ( (t) (t)dt要存在，2尽量寻找这样的x 使f()dt容易求出，3。求出后要用t 1(x)将积分变量换回到 X,因此这里还要求x(t)的反函数存在。定理2设x(t)是单调的、可

11、导的函数，并且 (t)0 .又设f (t) (t)具有原函1数(t),则f(x)具有原函数(x)则有换元公式：f(x)dx 1(x) C f (t)(t)dt|t心其中t 1(x)是x (t)的反函数.证明：(1 (x)(t)(1(t) f (t)(t)(Tyf (t) f (x)所以1(x)是f(x)的原函数，从而 1f(x)dx 1(x) C |t C f (t)(t)dt|t13例1求(a>0)解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来化去根式.设*=25诩，-兀/2<t<Tt/2，那么，于是根式化为了三角式，所求积分化为.利用例

12、6的结果得.由于x=asint ,-兀/2<1<兀/2,所以于是所求积分为具体解题时要分析被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换.注意 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结 果是正确的，否则结果是错误的。常用变量代换(1)被积函数中含有二次根式aa2 x2 ,令 x asintpia2 x2 ,令 x atant22vxa ,令 x a sect如是0x2bxC配方222222.ua1 ,ua1, , a1udx cos tdt例 2、21x_dx令 x sin t,x2解：原式 cost costdt sin t 22cot tdt (cs

13、c t 1)dtcott t Carcsinx C例3、二种解法x 2sectx 4cosx(2)被积函数中含一般根式4、dx1 Cx解：令3. x 2原式5、原式6、t3 2 dx 3t2dt3 (t2 3ln 1Vx. 1 ,rdx 令、x Vx26t5 , -4 dt t t6； t.ex1dx解：令.ex 1ln(t2原式ln1dx(t6t5dt白出6 6jx6ln16x1)2t t2-dt 1exdxt2 11*dt 2t2 ex 1ln( ex 11)ln( ex1 1) C4. 3分部积分法这是一个新的积分方法，设u(x),v(x) 具有连续导数，则有(uv) u v uv ,即

14、uv (uv) u v ,两边同时积分则有,uv dx uvuvdx 即 udv uv式就是分布积分公式。注意：使用分部积分的关键是如何选取u和v例 1、 xcos x dx xdsin xx sin x- sin x dxx sin x cos x c例 2、 xe xdxxdexxxe e dxxe x e x C例3、/.、2 ,(arcsinx) dx.-2x arc sinxx 2arc sin xdx2x arcsinx22 arcsinxd 1 - xx arcsinx2 1 x2arcsinx -1-x211 x2dx2x arcsinx22 1 x arcsinx - 2x

15、CIn Inx4、dx In In x d In xxln xln In x - In x，1dx ln x xlnIn In x - In例5、例6、ln x ,dx xln xlnxxlnx例7、例8、ln(xxtan 2xdxx(sec2 xxdtanxxtanxx tan x1)dxtan x dx22xln cos xc22x arctan x1 x2dx(arctanx1 x2)dx11.arctan xdxarctanx-)dx1 xarctanxdxx arctanxx arctanxarctanxd arctanx1 x5n(12、xln(x 1 x ),1 2dx 2 (a

16、rctanx)2、12x ) (arctanx) c2dx2 c1 xxln(x 1 x2)A21 x c2xxxx9、e cose dx e dsinex . x. x xe sine sine de_x x x _e sine cose c222 1例 10 x sin xdx x (1 cos 2x)dx 23x 12 .- -x dsin2x64x1 2 一 1.一.-x sin2x xsin 2x dx64232x x1一 一sin2x - xd cos2x644x 1 2 .一 1 一 1 .一- -x sin2x xcos2x sin 2x c644811、xarcsinx ,1

17、 x2arcsinxd 1 x22.1 x arcsinx x c1一般而言分部积分法和换元法同时使用会有更好的效果。2分部积分常适用于下列积分m nm axmmaxx ln xdx, x e dx, x sin axdx, x cosaxdx, e sinbxdx,eax cosbxdx, xm arcsinxdx, xmarctgxdx 等等。4. 4几种特殊类型的函数积分举例一有理函数的积分举例有理函数是指形如 R(x)Pn(X)Qm(X)nn 1总x一alx-一T-,其中，m,n为正整数或 mm 1b0 X1blX.bm者0, a0,.an； bo,.bm都是常数,且a。0,bo 0,

18、当n<m是真分式，当n m时是假分式，但总可以通过多项式除法写成一个多项式与一个真分式的和，因此问题就集中在解决真分式的积分问题。定理1：任何实多项式都可以分解成为一次因式与二次因式的乘积。定理2:有理函数的分解p(x) Aa2aQ(x) (x a) (x a) 1 (x a)B1B2B(x b) (x b) 1 (x b)M1X N1M2X N2M3X N3/ 22、1/ 2、(X px q) (x px q)(x px q)R1xS1R2xS2(x2 rx s)(x2 rx s)R x S(x2 rx s)部分分式:Mx N11 Mx N2nx px q.,. n ,2ax b ax

19、 b x px q其中：p2 4q 0上述常数用待定系数法可以确定。方法：分式一真分式一部分分式-dx 6例：1)x 3-2x 5x解:则:2)2x 5x 6用待定系数法:x 3x 356dx = ( ) dxx 5x 6 x 2 x 312dxA=-5,B=65ln|x 2 |6ln |x 3| C解： x 1x2 x 12A x 3 B x 4x 4 x 3A x 3 B x 4 x 1令 x 4 A -,7令 x 3 B - 7x 1-2-x 3x-dx 5dx-ln x 4 72-lnx 3 C°、11 x 23)-dx arctan cx2 4x 8221,1 2x 4 2dx -4x 82 x 4x 82=d x 21 dx2 4 8122 x 4x 8 x 21lnx2 4x 8 1arctan» c 222备用习题:4)2 x 2一dx x2 2x 32、5)1 dx x(x 1)6)(1 2x)(1 x2)dx三角有理式积分 R sinx,cosx dx三角函数的有理式是指三角函数经过有限次四则运算所构成的函数求这类函数的积分是可以通过如下变换计算:人 x 令 tan-