高数下复习考试

1、空间解析几何1 .向量a ( 3,1,0),b (2,3, 2), c (2,1, 3)，向量a在向量b上的投影Prj a ;与向量a,b都垂直的单位向量为； b(a b) c a (b c) .2 .以a;b为两条相邻边向量的三角形的面积的计算公式为S以a;b,c为三条相邻边向量的平行六面体体积的计算公式为V3 . ABC为三角形的三个顶点，如果已知AB a; AC b ,则底边AB上 高的计算公式为h .x 3 z 14 .直线li ?T与12? U =相交求常数k,并求由它们所确y k221定的平面方程.5 .求过点P(1, 2,3)且与直线x y z 0垂直相交的直线的对称式方2x y

2、 z 1程.6. xoy平面上曲线y VX绕直线x1所得旋转曲面的方程为二、多元微分学1(x 2y)arctan(x, y) (0,0) 、人 、,一1. z f (x, y)辰y2,讨论函数 f(x, y)在0(x, y) (0,0)(0,0)点的偏导数 ;. x y2. (1) fx(x0,y0) 0, fy(x0,y0) 0是 f(x, y)在(x°, y°)取得极值的条件,(2) f(x, y)在(x0,y°)有极限是f (x,y)在(x。)有偏导数的条件，(3) f (x,y,z)在(x0, y0,Z0)可微是 f (x, y,z)在(x°,

3、y°, z°)有偏导数的条件，(4) f(x,y,z)在(x0, y0, z0)所有方向导数都存在是f (x, y,z)在(xO, y°, z°)偏导数存在的条件3.函数z (x2A：充分，B必要，C充分必要，D 无关y2)arctan , (1)试求函数在(1,1)点的全微分dz ；x224.(2)在任意x方程组 x 3x20的点，试求函数的二阶偏导数一z以及 zx yy232y 3 U V 3 ,在 P0(x,y,u,v)(1,1,1,1)点确定了函数组:2y 2u vP)u(x, v), y y(x,v),计算该点的偏导数 x25.6.- 2zf

4、(x, y) C , z f (3x 2y,4x 3y).求 x y1x2求曲面ln()2yz24在(1,2,1)点的切平面以及法线方程，并分别 计算点2(1, 1,1)到所求得的切平面与法线的距离2222x y 2x y 27. f(x, y,z) z，在椭球面 匚 z 1上各点(x,y,z)处，求f (x, y,z) 9494沿向径r (x, y, z)方向的方向导数并求出它们的最大与最小值以及对应的点二、重积分1 . D是由直线y x;2x 3y 2 0以及x轴所围成的有界闭区域，则积分I f（x,y）d化成先对x再对y的二次积分时I ；D化成先对y再对x的二次积分时I 。2 D是由x

5、历"7 以及y x所围成的有界闭区域，则积分I f（x,y）d化成先对x再对y的二次积分时I ；化成极坐标下的二D次积分时I 。3 .计算三重积分v'x2 y2 z2 Idxdydz,其中闭区域：x2 y2 z2 4Q4 .质量为k的质点位于点坐标（1,0,0）,是密度为（x, y, z）的立体，对于该质点的引力F（Fx,Fy,Fz）,则Fx,Fy,Fz的计算公式分别为Fx ；Fy；Fz。5 .求由zm=亍；x2 y2 2x；以及z 0所围立体的体积。2226 .求密度为z的半椭球体：441；z 0的质心坐标。a a c7 .是体密度为（x,y,z）的空间立体，其质量为 M

6、l与I。是相距d的两 条平行直线。其中10经过的质心。1.证明转动惯量Ii Ii0 d2M ； 2. 是由x2 y2z2以及z 1所围的立体，体密度为1, l是过点（1,1,0）平行于z轴的直线。求转动惯量I四、线面积分1 .线密度为(x,y,z)的空间曲线L关于x轴的转动惯量I、；2 .密度为(x,y,z)的空间曲面的质心坐标为(x,y,z)。则它们的计算公式x ; z3. L是起点为A(1,2,3)终点为B( 1, 2,0)的光滑曲线。若不考虑它的方 向，该曲线的弧长为s,则积分 2ds ; 2dx ; dx 2dy 3dz。LLL4. L是顺时针方向的椭圆曲线x2 9y2 1,则积分 2

7、ydx x2dy 。 L5. L是有向光滑闭曲线， 是以L为边界且与L正向联系的光滑曲面， 则利用斯托克斯公式积分：ex ydx sin y2dy xy2z3dz。L6. 是长方体|x 1; y 2; z 3的表面外侧，则积分口 xdydz (x 2y)dzdx (x 3z) dxdy 。7. 求积分(x2 y2 z2)dS,是圆柱面 x2 y2 4; 0 z 4.8. 求(2xy z)dydz (2xy 3z)dzdx(x 2y 2z)dxdy。其中 是曲面zx22y2 1;位于z1的下侧。9. 求才ydx衅,其中L是逆时针方向运行的椭圆4x2 3y2 1。 l x 4y10. f x具有一

8、阶连续导数，f 0 0,已知积分f x ex ydx f x dyL与路径无关，求函数f(x),若L是y x3从0,0到1,1的有向曲线段， 试求上述曲线积分.五、无穷及数1、将A,B,C,D之一填入空格，其中A:充分；B: “必要；C:充要；D: 无关。lim (un 1 un) 0是 un收敛的 条件. ndn 1 对正项级数Un，部分和数列Sn n 1有界是 Un收敛的条件.n 1n 1 级数Un收敛是级数 uni收敛的条件. n 1n 1 数列Un n 1单调且lim Un。是交错级数 1 n 1Un收敛的条件. n 1n.n 1级数 Un按某一方式经加括弧后所得的级数收敛是级数收敛的条 n 1件.|而%!1是级数 Un发散的条件.n Unn 1x2、函数f x e， x 0的傅里叶级数的和函数s(x)在点x 4处收1,0 x 1敛于,在点x 5处收敛于.3、要使级数3ln(12)收敛，则P的范围是 。n 1 n n4、求哥级数1 ln(x 1)n的收敛域.n 1 n