2020年东营市中考数学压轴题型讲练——二次函数综合

1、2020年东营市中考数学压轴题型讲练一一二次函数综合【题型导引】 题型一：二次函数中的最值问题：本类型涉及到函数中动态线段的最值，组成的三角形的周长最值，特殊三角形面 积的最值，不规则多边形面积的最值探究。特殊三角形的存在性,A,与x轴交于点B, C,将题型二：二次函数中的存在性问题：本类型涉及到函数中动点过程中组成的特定角的存在性, 特殊四边形的存在性等。【典例解析】 类型一：最值问题研究例题1: （2019?山东省滨州市 ？14分）如图，抛物线 y= -x2±x+4与y轴交于点直线AB绕点A逆时针旋转90° ,所得直线与x轴交于点D.（1）求直线AD的函数解析式；（2）

2、如图，若点 P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点 P的坐标和最大距离;当点P到直线AD的距离为与2时，求sin / PAD的值.4【解答】解：（1）当x=0时，y=4,则点A的坐标为（0, 4）,当y=0时，0=- 4-x2+x+4,解得，x1=-4, x2=8,则点B的坐标为（-4, 0）,点C的坐标为（8, 0）, 82.OA= OB= 4,/ OBA= / OAB= 45° ,将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线 AQ/ BAD= 90° ,OAD= 45° ,/ ODA= 45° ,OA= OR点D的

3、坐标为（4, 0）,设直线AD的函数解析式为 y=kx+b,产，得产-、1,4k+b-0 hM即直线AD的函数解析式为 y=- x+4;（2）作PNLx轴交直线AD于点N,如右图所示，设点P的坐标为（t, - 3t2+'t+4）,则点N的坐标为（t, - t+4）,丹（一打卷什4） -t+4） =-Jt2+Jt.PN! x 轴，PN/ y 轴， ./ OAD= / PNhk 45° ,作 PHL AD于点 H,贝U/ PHN= 90° ,吩亨PM =券（"+|t） ="pRplt = 普（t-6） 2手,当t=6时，PH取得最大值 平,此时点P的

4、坐标为（6,二），即当点P到直线AD的距离最大时，点 P的坐标是（6,二），最大距离是 岩2;当点P到直线AD的距离为昱2时，如右图所示，4解得，ti = 2, t2=10,则Pi的坐标为（2, ,）, P2的坐标为（10,一9当 Pi 的坐标为（2,）,则 PiAn/gYoTjp"2底=警；2当 B 的坐标为（10,一卷）,贝 U P2A=110_0）2 + （'_4）25技法归纳：（1）解答二次函数中存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算、推理，若推出矛盾，则否定先前假设，若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题

5、的结论；（2）对于点的存在性问题，首先要根据条件，运用画图判断存在的可能性，作出合理的猜想.然后再通过方法的选择，在演绎的过程或结论中，作出存在与否的判断；（3）对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性来求出存在的条件（即要求的点的坐标）.当图形的形状无法确定唯一时，还要注意分类，如等腰三角形的腰与底，直角三角形中直角顶点的位置等.类型二：存在性问题研究例题2: （2018 齐齐哈尔中考）综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（ 4, 0）,与y轴交于点C,抛物线y = x2+bx+c经过点A, C.（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上

6、，求 CE+ OE的最小值；如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点 M作垂直于x轴的直线与直线 AC和抛物线分别交于点 P, N.若以C,巳N为顶点的三角形与 APM相似，则4CPN的面积为;若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,巳M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.(1)将 A(4, 0)代入 y=x+c 得 c=4,将 A(-4, 0)和 c = 4 代入 y= x2+bx + c 得 b=3, ，抛物线解析式为y=- x2-3x+4.(2)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C'

7、,连接 OC ,交直线l于点E,连接CE,此时CE+ OE的值最小.抛物线对称轴直线 x = 3，CC = 3.由勾股定理可得 OC =5,C曰OE的最小值为5.当 CNb AMP时，/CNP= 90° ,则NC关于抛物线对称轴对称，.NG= NP= 3,9.CPN的面积为2当CNP MAP 时，由已知 NCP为等腰直角三角形，/ NCP= 90° .如图，过点 C作CELMN于点E,设点M坐标为（a, 0）,.EP= EC= -a,则 N 为(a, a23a+4), MP= a23a+ 4 ( -2a) =- a2-a+4,P(a, a2 - a+ 4),代入y = x+

8、 4,解得a= 2或a=0(舍)，则 N(-2, 6) , P(-2, 2),故 PN= 4.又 EC= a=2,.CPN的面积为4.9 ,故答案为9或4.2存在.设点 M坐标为(a , 0),则点N坐标为(a , a23a+ 4),则P点坐标为(a , a 23a”)，把点P坐标代入y = x+4,解得 ai = - 4(舍去)，a2= - 1.1 3当PF= FM时，点D在MN直平分线上，则 Dq,引；当PM= PF时，由菱形性质得点 D坐标为(-1 H-2, '2)或(一 1 一2， 2)；当MP= MF时，M D关于直线y=x + 4对称，点 D坐标为(4, 3).技法归纳：以

9、二次函数图象为背景探究动点形式的最值问题，要注意以下几点：1.要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t或动点的坐标；2.(1)求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高的代数式或函数表达式；(2)求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含 t的代数式表示的线段，然后用含t的代数式表示出图形面积；3.用二次函数的性质来求最大值或最小值.【变式训练】1. (20197#肃武威？12分)如图，抛物线y = ax2+bx+4交x轴于A (-3,0),B (4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC, BC点P是第一象限内抛物线

10、上的一个动点，点P的横坐标为 m(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PMLx轴，垂足为点M PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 Q使得以A,C, Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PN! BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段 PN的长，并求出当 m为何值时PN有最大值，最 大值是多少？【解答】解：(1)由二次函数交点式表达式得:y= a (x+3) (x 4) = a (x x12),即：-12a=4,解得:则抛物线的表达式为(2)存在，理由：点 A.B.C 的坐标分别为(-3, 0)、(4, 0)

11、、(0, 4),贝U AC= 5, AB= 7, BC= 4-2, / OAB= Z OBA= 45° ,将点B.C的坐标代入一次函数表达式：y= kx+b并解得：y= - x+4,同理可得直线 AC的表达式为：y = vx+4,设直线AC的中点为M4),过点M与CA垂直直线的表达式中的 k值为-£同理可得过点 m与直线ac垂直直线的表达式为：y=-，当AC= AQ时，如图1,则 AC= AQ= 5,设：QMk MB= n,则 AM= 7-n,由勾股定理得：(7-n) 2+n2=25,解得：n=3或4 (舍去4), 故点 Q (1, 3);当AC= CQ时，如图1,CQ=

12、5,贝U BQ= BC- CQ= 4弧-5,则 QM= MB= 'X n,2故我Q (等，竺普)；当CQ= AQ时，联立并解得：x= (舍去)；故点Q的坐标为：Q (1, 3)或(旦2, _!二!返)；22(3)设点 P ( n -三品+4，则点 Q (n - m+4 , OB= OC，/ABG= / OCB= 45° =Z PQNPN= PQsinZ PQN=4)-'m+'/m-巴=<0,，PN有最大值，6当m=2时，PN的最大值为：4 .2. (2018 荷泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 点C(1 , 0),过点A作AD/ x轴交抛物线于点

13、 D.y= ax2+bx5交y轴于点A,交x轴于点B( - 5, 0)和(1)求此抛物线的解析式；(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求4EAD的面积;(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时， ABP的面积最大，求出此时点 P的坐标和4ABP的最大面积.【解析】(1)二抛物线y=ax+bx 5经过点B(-5, 0)和点C(1 , 0),25a-5b-5=0, a+b5=0, 抛物线的解析式为解得a= 1,b= 4,y = x2 + 4x 5.(2)二,抛物线y = x2+4x5交y轴于点A,二.A点坐标为(0 , -5).又点E关于x轴的对

14、称点在直线 AD上, .点E的纵坐标为5.如图，过点E作EFLDA交DA的延长线于点F,.EF= 5+ | 5| = 10.设点D的坐标为(a , 5),.a2+ 4a-5= - 5,a 1= 0, a2= - 4,.点D的坐标为(4, 5),.AD= | 4| =4,1 1S ZADE= -AD- EF= -X 4X 10= 20.2 2(3)设直线AB的解析式为y = kx+b,且该直线经过点B(-5, 0)和点A(0 , 5),-5k+b=0,b = 5,解得k=T,b= - 5,直线AB的解析式为y=-x-5.如图，过点P作PNLx轴，垂足为点 N,交直线AB于点M.设 P(x , x

15、2 + 4x5),则 M(x, - x-5), S ZABP= Sapmb+ Sapma= 2( -x-5)-(x2+4x-5) X51258，5 255 22(x + 5x) = 2(x + 2) +5- 2Sabp最大，最大值为1258 .将 x=一万代入 y= x2+4x5 得 y = 一 1，535，p点的坐标为(一2， I).3. (2018 宜宾中考改编)在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线的顶点坐标为 (2, 0),且经过点(4,1),如图,直线y = I与抛物线交于 a, B两点，直线l为y = 1.(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在一点 M使点M到点A, B的距

16、离相等？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在l上是否存在一点 巳 使PA+ PB取得最小值？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设点S是直线l的一点，是否存在点 S,使的SB- SA最大，若存在，求出点S的坐标.【解析】（1）二抛物线的顶点坐标为（2, 0）,设抛物线的解析式为y=a（x- 2）.,该抛物线经过点（4, 1）, - 1 = 4a,解得 a = 7, 4，抛物线的解析式为y = 4（x 2） 2= 1x2 x+1.(2)存在.1x2= 4或y2= 1y=x,x1=1,联立解得 11 2y1 = 7y=4xx+1,4 1 点A的坐标为(1 ,

17、4),点B的坐标为(4, 1).设点M的坐标为(0 , m),.,.mA= (0 -1)2+(m-4)2,mB= (0 -4)2+(m-1)2. 点M到A, B的距离相等， .mA=mB,21222即(0 1) +(m 4) =(0 4) +(m 1),1. m=詈，.二点M的坐标为（0,祟）.存在.如图，作点B关于直线l的对称点B连接AB交直线l于点巳此时PA+ PB取得最小值.点 B(4, 1),直线 l 为 y = 1,点B'的坐标为(4, 3).设直线AB'的解析式为y=kx + b(kw0),1将 A(1 , 4) , B' (4, 一 3)代入 y=kx +

18、 b 得k+b=；"一行4 解得44k+b=-3, b=-,3，直线ab'的解析式为y= *+3.当 y= 1 时，有1|x + 4=- 1,解得x = 28, 13.点P的坐标为(28 1) .13(4)存在.点S和点A, B在同一条直线上时， SB- SA最大.点S在直线l上， ，、1 ，设点S的坐标为(n , 1),代入y=4*得n= 4,.点S的坐标为(4, 1).4. (2018 临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，/ ACB= 90° ,OC= 2OB, tan/ABC= 2,点B的坐标为(1 , 0),抛物线y= x2+bx + c经过A, B两点.(

19、1)求抛物线的解析式；, ,.1(2)点P是直线AB上万抛物线上的一点.过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE= DE.求点P的坐标；在直线PD上是否存在点 M使4ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】：(1)在RtABC中，由点B的坐标可知OB= 1. . OC= 2OB . -OC= 2,贝U BC= 3.又. tan/ABC= 2, .AC= 2BC= 6,则点 A 的坐标为(一2, 6).把点A, B的坐标代入抛物线 y = x2 + bx+ c中得 4-2b+c=6, 1 + b+c= 0,解得b = - 3,c = 4

20、,该抛物线的解析式为2y = - x 3x+ 4.AB的解析式为y = 2x+2.(2)由点A(-2, 6)和点B(1, 0)的坐标易得直线如图，设点 P的坐标为(m, - n2- 3m+ 4),则点E的坐标为(m, 2m+ 2),点D的坐标为(m, 0), 则 PE= - ni-m+ 2, DE= - 2m+ 2,2(-2m+ 2),解得m= ±1.又一 2vm< 1, m= 1, 点 P 的坐标为(一1, 6).口在直线PD上，且P(-1, 6),设 M(- 1, y), .-.AMi=( -1 + 2)2+(y -6)2=1 + (y-6)2由 PE= 2DE得一m-m+

21、 2 =BlM= (1 +1)2 + y2=4+y2, AB2=(1 + 2)2+ 62=45.分三种情况：(1)当/人“6= 90° 时，有 AlM+ BM2= AB, -1+ (y -6)2+4+y2= 45,解得 y=3±/,.M(- 1, 3+ 师或(-1, 3-0i);(ii)当/AB降 90° 时，有 aB"+ BM= AM,.-45+ 4+y2=1 + (y -6)2,解得 y= - 1,.M(- 1, - 1).(iii)当/BAM= 90° 时，有 aM+ AB2= bM,1 + (y - 6)2+ 45 = 4 + y2,解

22、得 y= ,M( 1,).综上所述，点 M的坐标为(-1, 3 +，H)或(一1, 3 ，11)或(-1, 1)或(-1,).5. (2019?湖南衡阳？ 10分)如图，二次函数 y = x2+bx+c的图象与x轴交于点A(- 1, 0)和点B (3, 0),与y轴 交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形 ABCD点P是x轴上一动点，连接 CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB (点P不与Q B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M连接MN MB请问： MBNB勺面积是否存在最

23、大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)二.抛物线 y = x2+bx+c 经过 A (- 1, 0), B (3, 0),把A.B两点坐标代入上式,1 5+e = 09 + 3+c=0 '(b-2解得： Q , c 二一3故抛物线函数关系表达式为 y = x2-2x-3;(2) .A ( 1, 0),点 B (3, 0),AB= OA+OB 1+3 = 4,正方形 ABCD43, / ABC= 90° , PCX BE, ./OPE吆 CPB= 90° ,/CPB+Z PCB= 90° , ./ OPE= / PCB又.

24、 / EOP= / PBC= 90° , . PO曰 CBPBC_OP.J _ 上 一 I'.PB OE设 OP= x,贝U PB= 3- x,一 ,3-x OE：*/+3制出+产+-，OE=0<x< 3,39，工=时，线段0曰£有最大值，最大值为216即。之旦时，线段OE有最大值.最大值是 .216(3)存在.如图，过点 M作MH/ y轴交BN于点H, .抛物线的解析式为 y = x2- 2x- 3, x= 0, y = 3, .N点坐标为(0, - 3),设直线BN的解析式为y=kx+b,二。b=-3，直线BN的解析式为y= x - 3,设 M (a

25、, a2-2a- 3),则 H (a, a- 3),MH= a - 3- (a? - 2a - 3) = - a2+3a,S»a mnB= S»a bm+S»a mnH=卜加物?(-/+3 口 )x3=-轴-卷+名< 0,27一 315,此时M点的坐标为(二,-).243 ' a=彳时， MBN1勺面积有最大值，最大值是6. (2018 怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2+2x + c与x轴交于A( 1, 0), B(3 , 0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线 AC的解析式；(2)请

26、在y轴上找一点 M使4BDM的周长最小，求出点 M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点巳使以点A, P, C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在,请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；M的坐标；若不存在数轴上是否存在点 M,使彳#ACM是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 在，请说明理由.【解析】(i)设抛物线解析式为 即 y = ax2 2ax 3a, . 2a=2,解得 a= 1, ，抛物线解析式为 y=- x2+2x+3. 当 x=0 时，y=- x2+2x+3= 3,则 C(0, 3). 设直线AC的解析式为y=px+q,p = 3 解得

27、q = 3一 p + q = 0把 A(-1, 0), C(0, 3)代入得q = 3,直线AC的解析式为y=3x+ 3.(2) -. y=- x2+2x+3=- (x 1)2+4,顶点D的坐标为(1 , 4).B' ( 3, 0),连接DB交y轴于M.如图，作B点关于y轴的对称点B',则 . MB= MB , . M即 MD= MB + MD= DB ,此时 MB MD勺值最小. ,BD的值不变，此时 BDM的周长最小.易得直线DB的解析式为y = x+3.当 x=0 时，y=x+3=3, .点 M的坐标为(0, 3).存在.如图，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P. 直线

28、AC的解析式为y=3x+3, .直线PC的解析式可设为1y=- 3x+ b,把C(0 , 3)代入得b= 3,直线PC的解析式为y=- 3x+3.y=-x2+2x+3,x=7,x = 0,3解方程组1得 或y=- -x + 3y = 3203y=则此时P点坐标为(3,当).如图，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点 P', 直线P' A的解析式可设为1y= 3X+ bi,把 A（ 1, 0）代入得+ bi = 0,解得 bi =, 33直线PC的解析式为y = - zx-7.10x="3,13尸F33y= x2+ 2x+ 3,x = 1, 解方程组11 得或y=3x 3

29、y = 0则此时p点坐标为（5，-193）.综上所述，符合条件的点p的坐标为（.，）或（,）.3939存在.当点M在x轴上时，设点 M的坐标为（n, 0）, mA= mB ,即n （ 1） =n+（0 3）,，n=4, .此时点M的坐标为（4, 0）.当点M在y轴上时，设点 M的坐标为(0 , a),. MA=mB,即0 ( 1) 2+(a 0)2= (3 -a)2,a= 此时点 M的坐标为（0 ,：）. 33综上所述，符合条件的点 M的坐标为（4, 0）或（0, 4）.37. （2019?湖北省咸宁市？ 12分）如图，在平面直角坐标系中， 直线y=-1x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛

30、物线y= - =x2+bx+c经过A, B两点且与x轴的负半轴交于点 C.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当/ABD= 2/BAC时，求点D的坐标；（3）已知E, F分别是直线AB和抛物线上的动点，当 B, O, E, F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有 符合条件的E点的坐标. .A (4, 0), B (0, 2)1;把A (4, 0), B (0, 2),代入厂方/仕瓦丘，得c=2弓><16+4b+c= 0 ri,解得，bq Im.抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E,过点D作BE得垂线，垂足为 BE/

31、 x 轴，.BAO / ABE. /ABD= 2/BAGABD= 2/ABE即/ DBE吆ABE= 2/ABE ./ DBE= / ABE/ DBE= / BAC设D点的坐标为（x,一"/Kx+Z),则 BF= x,. tan Z DBE= , tan Z BAG= - BFAO黑丹'即至三解得xi= 0 (舍去)，x2 = 2当 x=2 时，一J+x+2=3点D的坐标为(2, 3)(3)当 BO为边时，OB/ EF, OB= EF设 E （3 二一 ？），F （日 二丁 一；：）EF= | (总/2)LTTI =2解得 m=2,叱二2-2a，m3=2+2V2当BO为对角线时

32、，OB与EF互相平分过点。作OF AB,直线OFy=交抛物线于点F （2+2J1，T-a）和（2-2、值,-1 + 72）求得直线EF解析式为 产等或尸亨X+1直线EF与AB的交点为E,点E的横坐标为-2近-2或&/I-2，E点的坐标为（2, 1）或（2-26，1+废）或（2+2V，7i）或3+血）或（-2+2/，3-a）8. （2017 天水中考）如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A, B两点（点 A在点B的左侧），经过点A的直线l : y= kx + b与y轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且CD= 4AC. （1）求A, B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数解析式（其中k, b用含a的式子表示）； 5（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若 ACE的面积的最大值为求a的值；（4）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点 A, D,巳