2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第一编讲方法第6讲填空题的解题方法练习文

1、第6讲填空题的解题方法题型特点解读填空题不像解答题能分步得分，因此要保证填写的结果正确，否则前功尽弃.解题时，要合理地分析和判断，要求推理、运算的每个步骤都正确无误，还要求 将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本 要求.1巧妙计算法对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，即直接从 题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙的变形，简化计算过程，直接得到结果.要 善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法.例1 (1)(2019 高三第三次全国大联考)在ABC43,已知 AB= 3, BC= 2,若cos( C-1 A

2、)=-,贝U sin B=.答案5X3141解析 在线段AB上取点D,使得CD= AD设AD= x,则BD= 3-x,因为cos( C A)=-,一11 . 一 5.即cos/BCm-,所以在 BCD43,由余弦定理可得(3 -x)2=x2+4-4x -,解得x=不 在4CD BD57：3BCD中，由正弦定理可得 Br加/ BCD因为CD- 4, BA 3-x = -, sin / BC»看，所以5.3sin B=工. 14(2)(2019 大连市模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在0 , +) 上单调递增，则不等式 f(2x1)>f(x2)的解集为.答

3、案(8, 1) U(1 , +oo)解析 二.函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，.f(2x-1)>f(x- 2)可转化为 f(|2 x- 1|)> f(| x2|),又 f(x)在0 , +8)上单调递增， f(2x 1)>f (x2)? |2x1|>| x 2 ,两边平方解得 xC(oo, 1) u (1 ,+8),故 f(2 x 1)> f(x- 2)的解集为 xC(8, 1) U (1 , +8).方法指导直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处 理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活运用，将计算过程简化

4、从而得到 结果，这是快速、准确地解决数学填空题的关键.?对点精练1.设a为锐角，若兀COS a + R 63 w5,则 sin兀12答案二10解析a为锐角,7tsin兀+ y =1 cos2 a + k = 645.sin兀行=sin兀兀.a + = sin7t7ta +y cos7cos a+看 sin 4=2-64523x亚=巫 52102. (2019 湖北黄冈元月调研)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,.该数列的特点是：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列

5、”， 记该数列为an,则(a. a2) + (a2a4 a3) + (a3a5 a4)+ (a2018 a2020 a019) =.答案 0解析 根据题意，aa3 a2= 1 x212= 1, a2a4 a2= 1 x 32之=一 1, a3a5a2=2x 53? =1,，则(aa3a2) + (a2a4a3) + (a3a5a4) + + (a2018a2020 a2019)= 1 1 + 1 1+ + 1 1 = 0.方法2特殊值代入法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊

6、角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.例2 (1)已知函数f(x)的定义域为 R, f( 1) =2,且对任意的 xCR,f'(x)>2,则 f(x) >2x+ 4的解集为.答案( 1, +8)解析 解法一：特殊函数法：令f(x)=3x+5,则由3x+5>2x + 4,得x>1.解法二：令函数 g(x) =f (x) - 2x-4,则 g' (x) = f' ( x) 2>0,因此 g(x)在 R上为增 函数.又 g( 1) = f ( 1)+2 4=2+2 4=0,所以原不等式可化为 g(x)

7、 >g( 1),由 g(x)的单调性可得x>- 1.(2)如图所示，在 ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且Ab= 2取经过K 的直线分别交直线 AB, AC于不同白两点 M N若AB= miAMAC= nAN则 出n=.答案 4解析 当过点K的直线与BC平行时，MN是ABC勺一条中位线(.AO= 2AK, . K是AO 的中点)，这时由于有 AB= miAM AC= nAN因此 m= n= 2,故mi+ n = 4.方法指导求值或比较大小关系等问题均可利用取特殊值代入求解，但要注意此种方法仅限于求解 结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，不能使

8、用该种方法求 解.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.一对点精练】.(2019 *贵州南白中学第一次联考)设函数八)是定义 在R上的奇函数,且当t>0时，/(1) = In w,记"= /(y) ) =-/(log7ly)则 &小一的大小关系为.(用“”连接)答案 c>b>a解析 .当x>0时，f(x)=ln x, f(x)在(0, +8)上单调递增.= f(x)是定义在R上的奇函数, log/Ty）=/（ Tog"=/（1。名伍2）,门 VMg 伍 2V2Q（；）"1 ,二0V（；）"log 再 23

9、. 二 f（O海）V/（bgp2）/，口即方.2.在 ABC中，角A, B C所对的边分别为a, b, c,若a, b, c成等差数列,cosA+ cosC1cosAcosC4答案5解析 解法一：（取特殊值）a=3, b= 4, c=5,则cosA= 4 5cosC= 0,cosA+ cosC_1 cosAcosC-、，一 ,入兀1解法二：（取特殊角）A= B= C= , cosA= cosC=-,cosA cos C 41cosAcos C 5方法3推理法对于概念与性质的判断等类型的题目，应按照相关的定义、性质、定理等进行合乎逻辑 的推演和判断，有时涉及多选型的问题，尤其是新定义问题，必须进

10、行严密的逻辑推理才能 得到正确的结果.例3 （1）（2019 洛阳市高三第三次统考 ）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位 是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书 比乙的年龄小，据此推断班长是 .答案乙解析 根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书.丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学习委员，由此得到乙不是学习委员，故乙是班长.（2）（2019 衡水市全国普通高中高三大联考）现有一场专家报告会， 张老师带甲、乙、丙、丁四位同学参加，其中有一个特殊位置可与专家近距离交流，张老师看出每

11、个同学都想去坐 这个位置，因此给出一个问题，谁能猜对，谁去坐这个位置.问题如下：某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛，最后一道题只有6名同学A B, C, D, E, F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了.听完后，四个同学给出猜测如下：甲猜：D或E答对了；乙猜：C不 可能答对；丙猜：A, B, F当中必有1人答对了； 丁猜：D, E, F都不可能答对，在他们回答 完后，张老师说四人中只有 1人猜对，则张老师把特殊位置给了 .答案 丁解析 若同学A做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同 学B做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同学C做对了，则丁猜对

12、了，与题设相符，故满足题意；若同学D做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同学 E做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同学 F 做对了，则乙、丙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意.综上可知，同学C做对了，丁猜对了.故张老师把特殊位置给了丁.方法指导推理法讲究“推之有理，推之有据”，在推理的过程中要严格按照定义的法则和相关的 定理进行，归纳推理和类比推理也要依据自身的推理法则，不能妄加推测.r对点精练1 . (2019 延安市模拟)甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不 同的学科A, B, C,已知：甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；在延安工作的教师不

13、教C学科；在咸阳工作的教师教A学科；乙不教 B学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是 、.答案宝鸡 C解析 由得在咸阳工作的教师教 A学科；又由得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由得乙不教 B学科，结合乙不教 A学科，可得乙必教 C学科，由得乙不在延安工 作，由得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作的地方和教的学科分别是宝 鸡和C学科.2 .求“方程12 x+ 5： x=1的解”有如下解题思路：设函数f(x)=叫x+2x,则函13131313数f (x)在R上单调递减，且 f(2) = 1,所以原方程有唯一解 x= 2.类比上述解题思路，方程 x6+x2= (2 -x)3+ 2

14、-x 的解集为 .答案 1 , 2解析 类比上述解题思路，设 f(x)=x3+x,由于f' (x) =3x2+1 >0,所以函数f(x) = x3+x 在 R上单调递增，又 x6+ x2= (2 -x) 3+ 2-x,即(x2)3+x2= (2 x) 3+2 x,所以 x2= 2 x,解得 x=1 或 x=2,所以方程 x6+x2=(2x)3+2 x 的解集为1 , 2.方法4 图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅 速作出判断，简捷地解决问题.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.例4 (1)若函数f(x)

15、=xln xa有两个零点，则实数 a的取值范围为 .答案?，0 e解析 令g(x)=xln x, h(x) = a,则问题可转化成函数 g(x)与h(x)的图象有两个交点.由g' (x) = ln x+1,令 g' (x)<0,即 In xv1,可解得 0vx；令 g' (x)>0,即 In x> e1,可解得x>",所以当0vxl时，函数g(x)单调递减；当x>1时，函数g(x)单调递增.由 eee此可知当x=l时，g(x) min= 1.作出函数g(x)和h(x)的简图，如图，据图可得一 -<a<0. eee(2)

16、(2019 蚌埠市高三教学质量检查)已知函数f (x) =ex- ax- 1, g(x)=ln xax+ a,若对任意xC 1 , e,均有f(x)g(x)wo,则实数a的最小值为 .答案 1解析 由 f (x) =ex ax1 = 0,得 ex=ax+1,设 m(x) =ex, y=ax+1,则直线 y=ax+ 1过定点(0,1),当 x= 1 时，n(1) =e,即 B(1 , e)；当 x= e 时，n(e) = ee,即 C(e , ee).当直线 y=ax+1 经过点 B时，e= a+ 1, IP a= e- 1;当直线y=ax+1经过点 C时，ee=ae+1,即a=-. e由 g(

17、x) = ln x ax+a=0,彳导 In x= ax- a,设 h(x) = ln x, y=ax a= a(x1)过定点(1,0),则h1 (x) = -, h' (1) = 1,即过点(1,0)的切线斜率k=1,x当 x=e时，h(e) = In e =1,即 D(e,1).当直线 y=a(x 1)经过点 D时，1 = a(e 1),即 a= e 1当a<e- 1时，ax+ 1<e x,即此时f (x)封0,要使对任意xC 1 , e,均有f (x) g(x) <0,则 g(x) <0,即 In x- ax+a<0,则 In x< ax- a

18、,则此时 a>1,此时 1< a<e- 1 ；.ee 1 ,x 一 ,，,一当"丁时，ax+，即此时f(x)”要使对任意xme,均有f(x)g(x)”r 1,ee 1则 g(x) >0,即 ln xax+ a>0,则 In x>ax-a,则此时 a< 此时要求 a>e 1e-1且aw此时a无解；e 1_，ee 1 ,一，. 一 ,，一当e- 1<a<时，a>e1>1,则对x 1 , e,均有g(x)<0,但f(x)可取正值也可e取负值，不满足对任意xC1 , e,均有f(x)g(x)w0.综上，满足条件的

19、a的取值范围是1wawe1,则实数a的最小值为1.方法指导图象分析法的实质就是数形结合思想方法在解决填空题中的应用，利用形的直观性结合 所学知识便可得到相应的结论，这也是高考命题的热点.运用这种方法的关键是正确把握各 种式子与几何图形中变量之间的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.对点精练11 .若不等式|x 2a| >2x + a1对xCR恒成立，则a的取值范围是 .1答案 OO , 2一一 ，.一 1、，,1解析 作出y= | x2a|和y= X+a 1的间图，依题息知应有2aw22a,故aw -.2 . (2019 德州市高三下学期第一次练习)设£(*)是定义在R

20、上，周期为2的函数，且cos 2 % x , 0< x< 1,1f(x) = 2记 g(x) =f (x) a,若 2<a<1,则函数 g(x)在区间2,3上零点的个数是.答案 8解析 :“*)是定义在R上，周期为2的函数，cos 2 7tx , 0< x< 1,且f(x)= 1-啕双，1<x<2,.作出f(x)在区间"2, 3上的图象如图所示,人1，一 1一 ,由 g(x) = f(x) a,令 g(x) =0,得 f(x) =a, ,2<a<1，作出 y=2和 y=1 的图象，由 一， ，1 ，一 “ 一，一一， 一，一

21、 ，一，图象知，当2<a<1时，两个函数的图象共有 8个交点，即g(x)的零点个数为8.方法5 构造法构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推 理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问 题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.例5 (1)(2019 湖北省八校高三第二次联合考试)下列命题为真命题的个数是 ln 3< 32 2 ;ln 兀<； 2/<15; 3eln 2<

22、4 小.答案 3ln x1 ln x解析构造函数 f(x),导数为 f'(x)= -2一,当0<x<e时，f '(x)>0 ,f(x)xx当x>e时，f ' (x)<0, f(x)单调递减，可得当一 ，一 1x= e时，f (x)取得取大值.ln e<e,可得f(Ve)<f(正)，故错误；构造函数Rx)=1n x，xln 2? 2ln 水气31n 2?y3-<2,由 J3<2<e 可得 f h/3)<f (2),故正确；In贝U F' (x) =1T W 当 0<x<e2时，F'

23、; (x)>0, F(x)单调递增；当 x>e2时，F' (x)>0 , F(x)32x单调递减.2 JT5<15? J151n 2<1n 15 ? 4Jn_2_<1n_15_? lnJn, . . 16>15>e2 415 ,16.,15故正确.综. F(16)< F(15),故正确；3e1n 2<4 ；2?<(由f (x)的最大值为e上所述，真命题的个数是 3.(2)已知三棱锥 P ABC的四个顶点在球 O的球面上，PA= PB= PC ABC是边长为2的 正三角形，E, F分别是PA AB的中点，/ CEF= 90。，则球 O的体积为 .答案 ：6兀解析 /P/ PB= PC ABC边长为2的等边三角形，三棱锥 P- ABC正三棱锥，. PBLAC 又 E, F分别为 PA AB的中点，EF/ PR z. EFL AC 又 EFL CE Cm AC= C, EFL平面 PAC PBL平面 PAC . - Z APB= 90 ,，PA= PB= PC=取,.以 P 为一个顶点，PA PB, PC为三条棱可构造出一个正方体，且正三棱锥P- ABC正方体的一部分，球 O的直径长即为正方体体对角线的长， 故2R= ,2+2 +