用空间向量解立体几何问题方法归纳

1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线I的方向向量为a = (ai, bi, ci).平面 a B的法向量u = 3, b3, C3), v = (a4, b4.C4)(1)线面平行:I / a?a丄u?a u = 0? aia3+ bib3+ ciC3 = 0(2)线面垂直:I 丄 0? a /u?a = ku? ai = ka3, bi = kb 3, ci = kc3(3)面面平行:all B? u /V?u = kv? a3= ka4, b3= kb4, C3 = kc4(4)面面垂直:a丄 B? u 丄 v? u v = 0? a3a4 + b3b4 + C3C4=

2、0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA丄底面 ABCD , E,F分别是PC, PD的中点，PA=AB = 1 , BC = 2.(1) 求证：EF/平面PAB;(2) 求证：平面PAD丄平面PDC.证明以A为原点，AB, AD , AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如111图所示，则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0) , D(0,2,0),P(0,0,1)，所以 E, 1 ,2, F0，2,uuur EF =-1-2, 0, 0 ,uuuPB 二(1,0 ,uuu1), PD 二(0,2 ,uuuruuur1), AP 二(0,0

3、,1) , AD二(0,2,0),uuur DC =(1,0,0),uuuAB 二(1,0,0).uuur1uuuuuur uuu(1)因为 EF = ： AB，所以 EF /AB，即 EF/AB.又AB?平面PAB, EF?平面PAB,所以EF/平面PAB.uuu uuiruuu uuur(2)因为 AP -DC = (0,0,1) (1,0,0) = 0, AD -DC = (0,2,0) (1,0,0) = 0,uuu uuur uuur uur所以AP丄DC , AD丄DC，即AP丄DC , AD丄DC.又AP A AD = A ,AP?平面PAD ,AD?平面PAD，所以DC丄平面P

4、AD.因为DC?平面PDC ,所以平面PAD丄平面PDC.方法技巧使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直， 然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面 的法向量垂直.例 2、在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中, ZABC = 90 BC= 2，CCi = 4，点 E 在线段 BBi 上, 且 EBi = 1，D，F，G 分别为 CCi，CiBi，C1A1 的中点.求证：BiD丄平面ABD ;(2)平面EGF /平面ABD.证明：

5、(i)以B为坐标原点，BA、BC、BBi所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，贝U B(0,0,0)，D(0,2,2)，Bi(0,0,4)，设 BA = a，则 A(a,O,O)，uuuuuuuuur所以 BA = (a,0,0)，BD = (0,2,2)，BQ = (0,2，- 2)，uuuu uuuuuuu uuuBiD -BA = 0，B1D -BD = 0 + 4 4 = 0，即 BiD 丄BA，BiD 丄BD.又BA n BD = B，因此BiD丄平面ABD.uuur，EF 二(0,i,i)，auuu a由知，E(0,0,3)，G ，i，4，F(0,i,4)，

6、则 EG 二?，i，iuuuu uuuuum uuurBiD -EG = 0 + 2 2 = 0，BiD -EF = 0 + 2 2 = 0，即卩 BiD 丄EG，BiD 丄 EF.又EGn EF= E,因此BiD丄平面EGF. 结合(i)可知平面EGF /平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(i)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角|a b|为 0,贝U cos 0= |cos a，b| =.向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为0,则|n a|sin A |cos n , a|=.|n |a|向量法求二

7、面角：求出二面角aIB的两个半平面a与B的法向量ni, n2,|ni n2|若二面角a I B所成的角B为锐角，贝U cos |cosni, n2| =In i| n2|ni n2|若二面角a I B所成的角B为钝角，贝U cos 9= |cosni, n2匸一 In i| n2|例 1、如图，在直三棱柱 AiBiCi-ABC 中，AB 丄 AC, AB = AC = 2 , AiA = 4,点D是BC的中点.(1)求异面直线AiB与CiD所成角的余弦值;求平面ADCi与平面ABAi所成二面角的正弦值.解(i)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0) , B(

8、2,0,0),uurnuuuuC(0,2,0) , D(1,1,0) , Ai(0, 0,4), Ci(0,2,4),所以 AB 二(2,0 , 4) , CQ(i , i , 4) uuuu uuuu因为 cos A1B , C1Duuun uuuuA1B C1D=uulu =i8uuuruuurr =,I AiB II CiD I 20 x i83/i0所以异面直线AiB与CiD所成角的余弦值为右iouuu=(0,2,4),所以 n i -AD =uuur设平面ADCi的法向量为ni = (x , y , z),因为AD = (i,i,0),uuuuACiuuuu0 , ni -ACi =

9、 0,即 x + y = 0 且 y + 2z= 0 ,取 z = i,得 x = 2 , y = 2 ,所以,ni = (2 , 2,i)是平面ADCi的一个法向量取平面ABAi的一个法向量为n2 = (0,i,0) 设平面 ADCi与平面ABAi所成二面角的大小为B由 Icosni n2In iII n2I得sin因此，平面ADCi与平面ABAi所成二面角的正弦值为3例 2、如图，三棱柱 ABC-AiBiCi 中，CA = CB, AB = AAi, ZBAAi = 60(1)证明：AB 丄AiC;若平面ABC丄平面AAiBiB, AB = CB ,求直线AiC与平面BBiCiC所成角的正

10、弦值.解证明：取AB的中点0,连接0C, OAi, AiB.因为CA = CB,所以0C丄AB.由于AB = AAi，/BAAi = 60 故厶AAiB为等边三角形，所以 OAi丄AB.因为OC n OAi = 0，所以AB丄平面OAiC.又AiC?平面OAiC，故AB丄AiC.由知OC丄AB , OAi丄AB.又平面ABC丄平面AAiBiB，交线为AB ,所以OC丄平面AAiBiB，故OA , OAi, OC两两相互垂直.uuuuuu以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角uuu 则BC二(i,0,uuur uuurBBi = AAi = ( i ,

11、0),uuurAC 二(0 ,-3,坐标系 O-xyz.由题设知 A(i,O,O), Ai(0 , - : 3, 0), C(0,0 ,3), B( i,0,0).设n = (x, y, z)是平面BBiCiC的法向量,uuun BC = 0 , 则uurnn BBi = 0.可取 n = C ! 3, i , i).uurn故 cos n , AiCuurn n AiC uuuu = |n|I AiC |5所以AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值为方法技巧为z轴，建立空间直角坐标系则E(0,0,0)，C(0Z ：3uuuCB 二(2，uirCS = (0，1)-设平面SBC的法向量为n =

12、 (x，y，z)，uuun CB = 0， 则 uurn CS = 0.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤:建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论 证、计算；转化为几何结论.(2)求空间角应注意： 两条异面直线所成的角 a不一定是直线的方向向量的夹角B,即COS a= |COS玄 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求.例 3、如图，在四棱锥 S-ABCD 中，AB 丄 AD , AB /CD, CD = 3AB = 3, 平面SAD丄平面ABCD , E是线段AD上一点，AE = ED= ；3, SE丄AD.(1)证明：

13、平面SBE丄平面SEC；若SE= 1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.解：(1)证明：平面SAD丄平面ABCD，平面SAD G平面ABCD = AD，SE?平面SAD，SEX AD，ASE 丄平面 ABCD. vBE?平面 ABCD ,：SE 丄 BE. vAB 丄 AD，AB /CD，CD = 3AB = 3，AE= ED，aJAEB = 30 ZCED = 60 /-ZBEC= 90 即 BEXCE. 又 SEA CE= E,：BE丄平面 SEC. vBE?平面 SBE，平面SBEX平面SEC.由知，直线ES，EB，EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ESuuu，0

14、)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以 CE = (0，则平面SBC的一个法向量为n = C ，12 ：3).uuun CE 1设直线CE与平面SBC所成角的大小为0,则sin A |,|n | CE |41 故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为-.4例4、如图是多面体ABC-AiBiCi和它的三视图.11T22 -(1)线段CCi上是否存在一点E,使BE丄平面AiCCi ?若不存在，请说明理由，若存在，请 找出并证明；(2)求平面CiAiC与平面AiCA夹角的余弦值.解：(I)由题意知AAi, AB , AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),uuuruuui

15、rAi(0,0,2) , B(-2,0,0) , C(0 , - 2,0), Ci(- i , - i,2)，则 CCi 二(-i,i,2) , AG 二(-i , - I,0),uuuuuuuAiC 二(0, - 2 , - 2).设 E(x, y , z),则 CE 二(x, y+ 2 , z),uuuuuuu uuuuECi = ( 1 x, - 1 y,2-z).设 CE = XECi (40),X X X ,X 2 X 2X则 y + 2,则E则 E 1 + X 1 + X，1 + X，z 2 XX ,uuu BE =2 +入2入1 + X， 1 + 入，uuuuuuirBEA1C1

16、二 0,uuuuuuuBEAC二 0,由2 +入2 +入 一 + = 0,1 +入1 +入 得2 入 2入+ = 0,1 +入1 +入所以线段CC1上存在一点E,uuu uuuuCE = 2 EC1，使 BE丄平面 A1CC1.uuuirm A1C1 = 0, 设平面C1A1C的法向量为m = (x, y, z),则由 uuuum A1C = 0,取 x = 1，贝U y= 1 , z = 1故 m = (1 , 1,1)，而平面 A1CA 的一个法向量为 n = (1,0,0),则cosm ,n故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为3利用空间向量解决探索性问题例1、如图1 ,正ABC的

17、边长为4 , CD是AB边上的高，E, F分别是AC和BC边的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2).(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值;BP(3) 在线段BC上是否存在一点P,使AP丄DE?如果存在，求出二;的值；如果不存在，请BC说明理由.解(1)在ABC中，由E, F分别是AC , BC中点，得EF/AB.又AB?平面DEF, EF?平面 DEF, AAB /平面 DEF.以点D为坐标原点，以直线DB , DC, DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2) , B(2,0,0) , C(

18、0 , 2 3, 0), E(03, 1),uur厂uuir:一uuurF(1 ,.3, 0) , DF 二(1,；3, 0), DE二(0, - .3,1), DA 二(0,0,2).uuuuuucos DA , nLUJLTDF n=0, 则 uuurDE n=0,取 n二(3 , .3 , 3),uuu DA n uuur| DA |n|所以二面角E-DF-C的余弦值为7uuuuuu存在设 P(s, t,0)，有 AP = (s, t, - 2)，则 APuultDE=：3t 2 = 0,uuu又 BP = (s 2 , t,0),uuu.uuu uuuPC = ( s,2 .3 1,0

19、) , BP /PC ,(s 2)(2 7 3 1)= st,把tuuu 1 uuur BP =一 BC3平面CDF的法向量为DA = (0,0,2) 设平面EDF的法向量为n = (x , y , z),BP 1在线段BC上存在点P，使AP丄DE.此时，bc = 3方法技巧1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B

20、 1C1 中, ZACB = 90 AA1BC = 2 AC(1)若D为AA1中点，求证：平面 B1CD丄平面B1C1D ；存在当AD面角B1-CD-C1的大小为60。.理由如下:在AAi上是否存在一点 D，使得二面角Bi-CD-Ci的大小为60 解：证明：如图所示，以点C为原点，CA, CB, CCi所在直线分别为x, y , z轴建立空间直角坐标系贝U C(0,0,0)，A(1,0,0)，Bi(0,2,2)，Ci(0,0,2)，D(1,0,1)，uuuiruuuuuuu即 C1 B1 = (0,2,0)，DC1 = (- 1,0,1)，CD = (1,0,1).uuuir uuiuuuir

21、uui由 C1B1 CD = (0,2,0)(1,0,1) = 0 + 0 + 0= 0，得 C1 B1 丄 CD，即 C1B1 丄 CD.uuuu uuruuuu uuu由 DC1 CD = (- 1,0,1) (1,0,1) =- 1 + 0 + 1 = 0，得 DG 丄 CD，即 DC1 丄CD.又 DC1 n C1B1 = C1 ,.CD 丄平面 B1C1D.又 CD?平面 B1CD，二平面 B1CD 丄平面 B1C1D.uuuuuir设 AD = a,则 D 点坐标为(1,0 , a), CD = (1,0 , a), CB“ = (0,2,2),设平面B1CD的法向量为m = (x

22、, y , z),uuurm CB1 = 0 2y + 2z= 0,则 uuu?令 z=-1，得 m = (a,1, 1).m CD = 0 x + az= 0,uuuuuu|m CB |11又VCB = (0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，则cos 60 uur =一|m| |CB | a a2 + 22解得a = 2(负值舍去)，故AD = 2 = ：AA1；.在AA1上存在一点D满足题意.空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的 方向向量和平面的法向量解决立体几何问题. 解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系

23、， 因 而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点.一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥 P-ABCD中，PA丄底面ABCD , BC = CD = 2 , AC = 4 ,nZACB = ZACD = ?F为PC的中点,AF 丄 PB.求PA的长；求二面角B-AF-D的正弦值.(1)学审题一一审条件之审视图形由条件知AC丄BD 建至DB , AC分别为x, y轴一写出A, B, C, D坐标 PA丄面ABCD PF= CFAF I PB UJU UJIH设P坐标可得F坐标A丄MB AF -PB = 0得p坐标并求PA长.(2)学审题由JJD，烬，嚣的坐标向量n分别为平面FAD、平面FA

24、B的法向量juurjujni -AD = 0且ni -AF = 0求得ni n2 求得夹角余弦.解(1)如图，连接BD交AC于0,因为BC = CD，即壬CD为等腰三角形，又jjj jju juurAC平分/BCD，故AC丄BD.以0为坐标原点，OB , OC , AP的方向分别为x轴，y1n轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz，则OC = CDcos 一= 1.而AC = 4，得AO = AC3OC = 3.又 OD = CDsinn=- ；3，故 A(0 , - 3,0), Bf -13, 0,0) , C(0,1,0) , D( ：3 , 0,0). 3因PA丄底面ABCD

25、,可设P(0 , 3 , z).由F为PC边中点,知F 0 ,-zUUUrT，2 .又 AF =z LUU厂UULTJJU 所以| PA匸JUIT(2)由(1)知 AD3,0),UUUAB3,0),UUUrAF 二(0,2 ,-.设平面FAD的法向0 , 2, 2 , PB 二 c .3,3, z) ,AF 丄 PB，故 AF量为 n 1 = (x1, y1 , Z1),平面 FAB 的法向量为 n2 = (x2 , y2 , Z2),UUUUUUrn 1 AF = 0 ,得因此可取 n1 = (3 , - ;3 , 2).由 n 1 -AD = 0 ,uuu由 n2 -AB = 0,uuir

26、n 2 Af = 0，得:3x2 + 3y2 = 0 ,2y2 + ； 3z2 = 0 ,故可取 n2= (3 , : 3, 2).ni n21从而法向量n1, n2的夹角的余弦值为cosn1, n2= 亦二8故二面角B-AF-D的正弦值为方法技巧建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用AC丄BD，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACD丄平面 A

27、BC，AB = BC = CA = DA = DC = BE= 2.BE 与平面ABC所成的角为60 且点E在平面ABC内的射影落在/ ABC的平 分线上.（1）求证：DE /平面ABC;求二面角E-BC-A的余弦值.解：证明：（1）易知ABC，AACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点0,连接BO，DO，贝U BO丄AC，DO丄AC. v平面ACD丄平面ABC，DO丄平面ABC.作EF丄平面ABC，则EF/DO.根据题意，点F落在B0 上,zEBF= 60 易求得EF= DO =寸3，四边形DEFO是平行四边形，DE/OF.DE?平面 ABC，OF?平面 ABC,：DE /平面 ABC.

28、建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，可求得平面ABC的一个法向量为n1 = （0,0,1）.可得 C( 1,0,0)，B(0，0)，E(0，3 1，厂 uuu厂 3），则 CB = （1，3，0），uuurBE 二(0，1,uuuuuu设平面BCE的法向量为n2 = (x, y, z)，则可得n2 CB = 0, n 2 -BE = 0 ,即(x, y , z)(1 , - 3 , 0)二0, (x, y , z) (0 , - 1 , - 3)二0，可取 n2二(-3,，；3, 1).故cosni ,n2ni ni|ni| tn2|13锐角,故二面角E-BC-A的余弦值为13又由图知，

29、所求二面角的平面角是专题训练1.如图所示，在多面体 ABCD A1B1C1D1中，上、下两个底面 A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1 丄底面 ABCD，AB /A1B1, AB = 2A1B1 = 2DD1 = 2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；已知F是AD的中点，求证：FB1丄平面BCC1B1.解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，G(0, a，a) uuuuuuuuruu

30、un(1) TAB1 = ( a, a, a), DD1 = (0,0 , a),.，.cos AB1 ,uuuuDD1uuuu uuuuAB1 DD1uocu uacu| AB1 | | DD1 |3所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为3uuuuuuuuuur证明： BB1 = ( a, a, a), BC = ( 2a,0,0) , FB1 = (0, a, a),uuur uuurFB1 -BB1 = 0 ,uuur uuur FB1 BB1, FB1 丄 BC.FB1 BC = 0.VBB1 n BC= B,：FB 丄平面 BCC1B1.2 .如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中

31、，AAiCiC是边长为4的正方形，平面ABC丄平面AAiCiC,AB = 3, BC = 5.求证：AAi丄平面ABC ;求二面角Ai-BC1-B1的余弦值；BD证明：在线段BCi上存在点D，使得AD丄AiB，并求的值.BCi解：证明：因为四边形AAiCiC为正方形，所以AAi丄AC.因为平面ABC丄平面AAiCiC，且AAi垂直于这两个平面的交线 AC，所以AAi丄平面ABC.由知AAi丄AC，AAi丄AB.由题知AB = 3，BC = 5，AC = 4，所以AB丄AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则B(0,3,0)，Ai(0,0,4)，Bi(0,3,4)，Ci(4,0,

32、4)，uuuruuuirAiB = (0,3，- 4)，AiCi = (4,0,0).设平面 AiBCi 的法向量为 n = (x，y，z)，uurnn AiB = 0，3y 4z= 0，则uw即令 z= 3,则 x = 0，y = 4，所以 n = （0,4,3）.n AiCi = 0.4x = 0.n m i6同理可得，平面BiBCi的一个法向量为 m = (3,4,0).所以cos n，m由题知二面角Ai-BCi-Bi为锐角，所以二面角Ai-BCi-Bi的余弦值为证明：设D(x，y，z)是直线BCi上一点，且UUUUULUBD = XBCi .所以（x，y 3，z） = 2（4， 3,4

33、）.解得 x = 4 入|n| |m| = 25UUIT所以AD = （4入UUUT UUUU3 3 入 4 从由 AD AiB = 0,即9 25 2= 0，解得9因为2； 0,i，所以在线段BCi上存在点D，使得AD丄AiB.此时,BD9=BCi253 .如图，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB = 2, DC = 1, BC5, AB = AD = - 2 将图沿直线BD折起，使得二面角A-BD-C为60 如图求证：AE丄平面BDC ;求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.1解:(1)证明：取 BD 的中点 F,连接 EF, AF,贝U AF= 1，EF= ?，/AFE= 60 由余

34、弦定理知AE =1 1：12+ 2 2 2 X 1 xycos 60VAE2+ EF2 = AF2,/AE 丄 EF.AB = AD ,F 为 BD 中点./-BD 丄AF.又 BD = 2 , DC = 1 , BC =，；5, .-BD2+ DC2= BC2,即 BD 丄CD.又 E 为 BC 中点，EF/CD , ABD 丄EF.又 EFA AF = F,BD 丄平面 AEF.又 BD丄 AE,vBD A EF= F,：AE丄平面 BDC.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1D 1，- 2， 0 ，uuuDB 二(2,0,0),uuu DA =uuirAC 1 ,12,2设平面A

35、BD的法向量为n (x, y, z),2x = 0,得cos n ,uuur ACuuur n -ACuuir =4|n|AC |故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为4uuun DB = 0 由 uuun DA = 0则 y = 3，又 tn = (0, - 3,；3).4 .如图所示，在矩形 ABCD中，AB= 375 , AD = 6 , BD是对角线，过点A作AE丄BD ,垂足为O ,交CD于E,以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB = 41.Asiti(1)求证：PO丄平面ABCE；求二面角E-AP-B的余弦值.解：(1)证明：由已知得 AB = 3 5，AD = 6 ,：BD = 9.在矩形ABCD中，：AE丄BD，DO ADRt SOD -Rt BAD，访二 bD，5 二 4，ABO 二 5.在POB 中，PB=41，PO = 4，BO = 5,.PO2+ BO2 =