数学思维训练教程(小升初)学生版

1、第1讲 计算(一) 速算与巧算1112 12321、知识地图整数计算速算与巧算二、基础知识(一)整数计算1、平方、立方公式I分数计算基本公式厂平方、立方公式Y数列及特殊公式L 特殊方法拆分与裂项工 几个常用拆分分数循环小数化分数(1)完全平方公式:222_(ab)ab2ab,.、22. 2_ .(ab)ab2ab2222(a b c) a b c2ab 2bc 2ac(2)平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)(3)完全立方公式:(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3(4)立方和公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2)(5)332

2、2立方差公式： a b (a b)(a ab b ) 2、数列及特殊公式(1) 等差数列:通项公式：an a1 (n 1)d求项数公式：n (an a1) 1 d和二(首项+末项)x项数+ 2求和公式：s 色一同L2n 1(2) 等比数列：an a1 qa1(1 qn 1)S q )(q 1)1 q1(3) 1 2 3 L n n (n 1)2、2_2_221_a) 123 L n n (n 1) (2n 1)622b) 13 23 33 L n3 n224(4)n L 3 2 1 n22(5) 112 121(6)(7)2 1|12L3112345L nL 54321 (n< 9)n个

3、abababc101 abab10101 ababab1001 abcabcabcd10001 abcdabcd这一类的数不妨称之为 们可以得到上述结果。“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我3、特殊方法（二）分数计算换元法:将一些数或一个式子记为某个字母，如a, b达到化繁为简。1、拆分与裂项(1)(2)(3)(4)n (n 1)n (n k)n (n 1)(k 1)(n 2)n (n1)(n1) (n2)(n k)az1*几个常用拆分分数6231120451114267113、循环小数化分数2、1(aEk1)201312130421211301416

4、八c a0.& -9-c a0.0&900.ab&ab0.at&ab a9990abc 0.&D&9990.旅啕0.ab(&&abcdab9900请聪明的你，来比较与0.99999999的大小?0.9999999=1也就是：0.&=1,可是这是为什么呢？铺垫:0.&0.&&191249933。.程&皎幺999 3330.&23芥 999912 1 110.12 =1 = 119090八 123 12370.123 =900300八1234 126110.1234=9900495012

5、34 1 1370.1234 =999011101234 1230.1234 =900011119000注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。 三：经典透析【例 1】11 192 1993 19994 199995 【例 2】38765432 3876542 3876544 【例 3】212 222 232 L5021【例4】1995 7326730 153.325,111【例5】1一1一 L112 12 311 2 3 L 10015 11【例6 一 L

6、2 6 12109110【例7】5449441344L49443447441144L4744例8 (621126739458)(739458378)(621358947358947207126739 458 378) (739 458)358 947 207358 947【例9】0.1&0.2& 0.34 0.4&0.5& L0.8&四、拓展训练1.2001 200320051, 1111111111(- + 一 , ,十一）x(1-十+ 一 +23499100234599111111)x1111一(1 十一十十-(+ 一一234599100234992

7、.)=3.24726342472635472633472635 472634 472636=4.5.8 9 107 1010 132005 20086.11221612205工306=427.52613 12194 2015 -30416 -4217 -56718 -7219 -9011-=8888888 88888888567 345 566567 345 222(0.多 0.1875 ) 65 40019(1) (19219192) (13) L929219(111) =92第2讲 计算（二）比较大小、估算、定义新运算一：知识地图：二：基础知识（一）：比较大小1、分数的大

8、小比较1）通分：a）通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小；b ）通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。2）比倒数：倒数大的分数小。3）与1相减比较法：a）真分数：与1相减，差大的分数小；b）假分数：与1相减，差大的分数大。4）经典结论：a）对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大;b）对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：（a b,且a,b,c为非零自然数时）b b c b b c（1） ，-a a c a a c,3 3 1 3 3 1即“真分数越加越大

9、，越减越小"（a c 0）如3 3-,3 3- ；5 5 1 5 5 1（2） a ac,a U即“假分数越加越小，越减越大”。 b b c b b c5）放缩法。6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！7）两个数相除进行比较。如：3和5,乡- 21 1,所以刍 5o4 74 7 204 72、小数的大小比较常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。（二）估算问题1、常用方法 1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。2）变换结构：将算式变形为

10、便于估算的形式。2、经典步骤估算和式整数部分:a)令和式结果等于A;b）最小的数x个数v Av最大的数x个数;c）求 A。对于较简单的题目，使用“最小的数X个数vAv最大的数X个数”就可以确定整数部分。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原式与（最小的数+ 最大的数）X个数+ 2的大小，以及与（中位数X个数）的大小（总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数）。（三）定义新运算这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读一理解一应用。三：经典透析20052006【例1】如果a , b ,那么a , b中较大的数是。20062007444

11、444443888888887A与B中哪个数较大?【例2】如果A111111110 - ,B22222222124 807【例3】一一在上式的方框内填入一个整数，使不等式成立，那么31_ 9口=。<提示 > 这类题目解题方法：a a c c1b b d da A c2b _ d3）a与c通过适当相加组合为 A【例4】已知除法算式12345678910111213+ 31211101987654321,它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是O【例5】老师在黑板上写了 7个自然数，让小明计算它们的平均数 （保留小数点后面两位），小明算出的答数是14.73, 老师说：“除最后一位数字外

12、其他都对了"，那么正确的得数应是。探究：事实上一个自然数被 7除如果除不尽，那么所得的商的小数部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的顺序不断循环，只是循环初始数字不一定相同。观察一下除式：191 7 0.142857?4 7 0.5714282 7 0.285714?5 7 0.7142853 7 0.428571?6 7 0.85714213 5 7【例 6 L2 4 6 899 . 1与一相比，哪个更大，为什么?10010【例7】数11 1 1 7 L10 11 12”整数部分是几？B A .【例 8】 如果 A#B ，那么 1#2 2#3 3#4 L 2002#2003 20

13、03#2004A B【例9】两个用同样材料做成的球A和B,一个实心，一个空心，A的直径为7,重量为22,B的直径为10.6 ,重量为33.3 。问哪一个球是实心球？四、拓展训练1 在 19981998 19991999 20002000 中最小的分数是 19991999,20002000,20012001 ,2. A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998,求 A的整数部分 .1，一，、，一3.已知：S-"-,则S的整数部分是11L 11980 198120064 .有8个数，0.&&2,5,0.51&丝，里是其中六个，如果按从小到大的顺序

14、排列时，第四个数是 3 947 250.5&那么按从大到小排列时，第四个数是哪一个 ？1995194622221444435 . 1）试比较1995和1946的大小。2）如果A=22221,B 丝43 .那么A与B中较大的数是19981949333326666526.9。那么精确到小数点后两位数是多少?6 .有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是7.1）比较以下小数，找最大的数:1.&2&1.121,1.陷1.12121,1.12352 ）比较以下5个数，排列大小：1。将? 1 667 - ''738 .如果用max a, b表示数

15、a, b中较大的一个，2004 2005max ,2005 20069 .假设有一种计算器，它由 A, B, C, D四种装置组成。将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数，各装置 的运算程序如下：装置A:将输入的数加上 6之后输出；装置B:将输入的数除以 2后输出；装置C:将输入的数减去 5之后输出；装置D:将输入的数乘以3后输出；这些装置可以互相连接，如在装置A后接装置B就记做：A-Bo例如输入1后，经过A-B输出3.51）若经过 Z B C- D,输出120。则输入的数是多少?2）若经过B- A A- C,输出13,则输入的数是多少？10 .有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了

16、四舍五入后的近似值：WWW 1.16求左边方框里的整数从左至右分别是什么?3 5 711 .用a表示a的小数部分，a表示不超过a的最大整数。例如0.3 =0.3； 0.3 0; 4.50.5, 4.54,x 211,土卫，请计算f 1, f 1, f 1 , f 1的值.2x 133第3讲数阵图、幻方一，知识地图二，基础知识三：幻方我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记：1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如1, 2, 3, 6,7, 8, 11, 12, 13 中 1+13=2+12=3+11=6+8=

17、7X2, 一般为等差数列（不完全是）。2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的7必须位于幻方中心。3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。 如上列数中的1 , 13与4,10的平均数均为7。4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。如幻和为21,等于中心数7的三倍。5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如2等于1, 3的平均，6等

18、于1, 11的平均，12等于11, 13的平均，8等于3, 13的平均。7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等（同学们能不能知道为什么？）如第一行和第一列中有一个共同数8,则其他两个数 1+12=11+2。综合利用上面7个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。 趣题导引：数学兴趣小组每周都要进行小组讨论。有一次小组讨论时，李同学在黑板上画了一个“九宫格”，问其他同学说：“你们能看出这个表格的的数字规律吗？”这时很多同学都说：“这还不简单啊，这是 幻方，每行每列和两条对角线的数字和都相等，我自己也会填。”李同学又画了一个幻方，但是里面数字不全，只有三个数字，说：“那你们能把这个表格

19、补充完整，使它成为一个幻方吗？”这时刚才非常活跃的同学都沉默了，同学们，你们可以补充完整 吗？三、经典透析【例1】2008年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把 割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？1 9分别填入五个圆相互分【例2】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段上 3个圆内所填数的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【例3】右图中有三个正三角形，将19填入它们顶点处的九个。中，要求每个正三角形顶点的三数之和都

20、相等,并且通过四个。的每条直线上的四数之和也相等。【例4】请你将210这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。【例5】在左图的九个方格中填入不大于及两条对角线上的三数之和都等于21。12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列【例6】如图所示，在3X3方格表内已填好了两个数19和95,在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（1）求x; （2）如果中间的空格内填入100,试在上一小题的基础上,完成填图。四、拓展训练1 .将16填入右图的六个。中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k,请指出k的取值范围。

21、2 . 19分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？3.海豚是很聪明的动物，它能将19填入下图的九个。内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等,并且7, 8, 9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？4.如图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?5.把1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36这9个数分别填入3X3方格表的各方格内，使每 线上的3个数的乘积都是216。求位于正中间的方格中所填的数。6.7.7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和

22、都等于连线上的已知数，那么标有的圆内填 的数是多少？把1.2 , 3.7 , 6.5 , 2.9 , 4.6分别填在右下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把 3个方框中的数平均值填在三角形中。请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小。问这个 最小的数是多少？第 4 讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题1、 知识地图：2、 基础知识：1. 整除的性质（1）性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即如果c I a,c I b,那么c I （a± b）。（2）性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。即

23、如果b I a, cl b,那么c I a。（3）性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc I a,那么b I a, c I a。（ 4 ）性质4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除。即如果 b I a, c I a,且（b, c） =1,那么 bc I a。如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3, 4） =1,那么（3X4）I 12。（5）性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。如果b | a,那么bm| am （m为非0整数）；（6）性质6如果数a能被数b整

24、除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除。如果b | a ,且d | c ,那么bd | ac;2. 数的整除特征能被 2 整除的数的特征：个位数字是0、 2、 4 、 6 、 8 的整数。能被 5 整除的数的特征：个位是0 或 5。能被3（或9 ）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。注意：从这种证明过程中，我们可以进一步得到两个小技巧：（ 1 ） “弃九法” 。即看各位数字和能否被 9 整除，只要先把9 划去，或者其它的和是9 的几个数划去，剩下的数字之和是否是9 的倍数，则可以判定这个数能否被9 整除。（2）得余数。通过上面的过程，我们可以看出这个数被9除的余数就是在

25、弃9 法以后的余数。类似地，判断能否被3 整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种简便方法。能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25 ）整除。能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8 （或125）整除。能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11 的倍数。例如 ：判断 123456789 这九位数能否被 11 整除？ 例如 ：判断 13574 是否是 11 的倍数？能被 7（ 11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7 （ 11 或 13）整除。例如 ：判断 1

26、059282 是否是 7 的倍数？ 例如 ：判断 3546725 能否被 13 整除？希望大家能熟练掌握以上判别方法，并理解我们是如何证明的，考试不会考这些证明，但是这种证明的方法在做一些其他数论题目的时候是非常有效的。上面介绍了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13整除数的特征。那么，怎样判断一个数能否被6、12、15等整数整除呢？显然6=2X3, 12=3X4, 15=3X5 这里，等号右边的两个因数之间没有相同的约数，于是我们可以把6,12, 15 这类数的整除问题转化为同时能被2和3整除或3和4整除等简单的问题来做。4 . 奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2 整除的数叫

27、做偶数，不能被2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k （k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。奇数与偶数有许多的性质奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数加减法中偶数不改变结果的奇偶性（偶数都可以看作0或没有操作）加减法中奇数改变结果的奇偶性（奇数都可以看作1）奇数X奇数=奇数偶数X偶数=偶数奇数X偶数=偶数奇数X奇数X奇数X奇数XX奇数X偶数=偶数a+b与a-b同奇或同偶5 .最值分析（离散）重要结论：两数

28、和一定时，这两数差越小（越接近）乘积越大例如：把14分拆为两个自然数之和，使它们乘积最大。例如：把14分拆为3个自然数之和，使它们乘积最大。【例1】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。【例2】各位数码是0、1或2,且能被225整除的最小自然数是多少?【例3】一个六位数，它能够被 9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997,那么这个六位数是多少？【例4】下面这个199位整数：10014012）（41_41401被13除，余数是多少?199位【例5】用1, 9, 8, 8这四个数字能排成几个被 11除余8的四位数

29、?【例6】如右图，用一块边长 18厘米的正方形硬纸片，在四个角上截去4个相同的小正方形（图中阴影部分） ，然后把四边形折合起来，做成一个没有盖的长方体纸盒。截去的4个相同的小正方形的边长是多少厘米时，长方体纸盒的容积最大？ 一一【例7】在黑板上写12007这2007个自然数，每次任意擦去两个数， 然后写上它们的和或差，一直这样重复操作,经过若干次后黑板上只剩下一个数，请问结果是奇数还是偶数？为什么？【例8】用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成一个四位数和一个五位数，使乘积 最大：则又应该怎样填？若将19这九个数字，分别填入下面九个口中，使乘积最大：又*四、拓展

30、训练1 .要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么 A日C分别是多少?（应分解为互质的几个数的乘积，被4、9整除的特征是必要前提。）2、20082008L ?项808能被11整除，那么，n的最小值为多少?n 个 20083、求最小的自然数，它的各位数字之和等于56,它的末两位数是 56,它本身还能被56所整除。4、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。现已知一个十全数能被 1, 2, 3,，18整除，并且它的前四位数是4876,那么这个十全数是 5、已知四H一位数 5555口9999 （其中5和9各20个）能被7

31、整除，那么中间方格内的数字是多少?6、把三位数3ab接连重复写下去，共写 1993个3ab ,所得的数1a44a3§b恰是91的倍数，试求ab=?1999个3ab7、已知等式1993X D+4X 口 =6063,其中口都是自然数，试求这两个“口”的和。8、能否找到这么一个数，它加上 24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?6个，能否经过若干次翻动使得所有杯子杯口9、桌子上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中全部向下，若可以，请指出最少需要多少次？并给出具体的翻法。若不可以，请说明理由;10、某农场打算用 60米长的篱笆靠墙围成 5个面积大小相等的羊圈（如图所示） 问

32、：若要求每个羊圈的面积尽可能大，应为多少平方米？bbbbbaaaaa第5讲 数论(二)约数倍数、质数合数、分解质因数、知识地图性质约数最大公约数本最大公约数方怯，'介解师因赳短除法根转相除法.求分数的最大公约数数论二性质分解质因数倍数最小公物求最小去倍数方法，翅除注森将相除法时分数的最，卜金借效约薮十数 h最大公约数与最小公信数的关军判断质数的方法且常用的以内的质数分解质因数。,部殊数的公解I。-2x5 项因薮个数'平力裁性质94 平方刿及个性津，判定指法个栉耦律二、基础知识(一)1.质数与合数2 .质因数与分解质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，

33、12=2X2X3。常用的是 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97,共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为 5的质数，这也是多年考试的一个 重点。分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。同学们必须熟练掌握100以内以及其他常用合数的分解质因数。部分特殊数的分解：111=3X37; 1001=7X11X13; 11111=41X271; 10001=73X 137; 1995=3X 5X7X 19; 1998=2 X 3X 3X 3

34、X 37; 2007=3X 3X223; 2008=2X 2X 2X 251; 2007+2008=4015=5* 11 X 73; 10101=3X 7X 13X 37。注意：从小学奥数要求看，我们对一个数分解质因数，一般根据唯一分解定理，把相同质因子写成指数形式， 这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。例如：120=2 3X3X 5,而不写成：120=2X2X 2X3X5。判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于P的质数p (均为整数)，使得p能够整除P,那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P,我们

35、可以先找一个大于且接近P的平方数K2,再列出所有小于K的质数，用这些质数去除 P,如没有能够除尽的那么P就为质数。例如，149很接近169=13X13,根据整除的性质 149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是 质数。(二)公约数和最大公约数3 .最大公约数的性质：(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若 a= a1X (a, b), b= b1X (a, b),贝 U ( a1, b1) = 1(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 a , b x (a, b) = ab 还有如下推广：几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。几个数都乘

36、以一个自然数n,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以no4 .求最大公约数的方法：(1)分解质因数法：(2)短除法：(3)辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。注意：什么时候下，适宜用辗转相除法呢？要去求最大公约数的两个数比较大，或者两个数中含有大质数，我 们很难通过分解质因数或者短除法解决的时候，辗转相除法就可以大展身手！例如：求600和1515的最大公约数。4 .求一组分数的最大公约数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b; a即为所求。b例如：(3,3"L工 4 124,

37、12125 .求一个数所有的约数的个数和约数和：用分解质因数形式表示：N=ap1x a2p2xa3p3xa4p4xx anpn g、a2、an为合数N的质因数)所求的约数的个数A=(P1+1)X ( P2+1)X (P3+1)x X (Pn+1)；例如：504=23X 32X 7例如：231=3X 7X 11,252=22X 32X76.求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a;求出各个分数分母的最大公约数 b; a即为所求。b3 53,515例如：一，一一4 12(4,12)4三、经典透析【例1】把26、33、34、35、63、85、91、143

38、分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1,那么至少要分几组？【例2】已知自然数 A、B满足以下两个性质: 那么A+B的最小值是多少？ A、B不互素；A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。【例3】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”,问所有的“美妙数”的最大公约数是多少?【例4】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份,第三种刻度线把木棍分成 15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【例5】从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，

39、如果剩下的部分不是 正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨?1524【例71 一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少？(祖冲之杯小学数学邀请赛)例8 一个数加上10,减去10都是一个平方数，求这个数。例9 3个质数的平方和是 39630,那它们的和是多少?四、拓展训练1、975 935 932 ()，要使这个乘积的最后四位数字都是0,括号里最小应填什么数?2、4200有多少个约数？这些约数的和是多少?3、23个不同的整数的和是 4845,问：这23个数的最大

40、公约数可能值达到的最大的值是多少?4、10个非零自然数的和是 1001,则它们的最大公约数的最大值是多少?5、有甲、乙、丙 3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走 100米，丙每分钟行走 70米。如果3个人同时同向,从同地出发，沿周长是 300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？6、现在有4个自然数，他们的和是 1111。如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这4个数的公约数最大可能是7、20072007 +2008 2008 X 444444 98 的个位数为多少?8、一个正整数，加上 100后的结果是一个完全平方数，加上 168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数 是

41、多少？第7讲几何（一）平面图形预备正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位），这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点.在方格网中，以格点为顶点画出的多边 形叫做格点多边形.毕克定理 若一个格点多边形内部有 N个格点，它的边界上有 L个格点, 则它的面积为S N L 1 .2如图，计算各个格点多边形的面积.(4)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积.分别计算图中两个格点多边形的面积.【巩固】求下列各个格点多边形的面积.【巩固】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?【巩固】如图，每一个小方格的面积都是

42、右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?AQCP F模型一在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；三角形等高模型夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SA ACDSA BCD ）图中正六边形 ABCDEF勺面积是54, AP=2PF CQ=2BQ求阴影四边形 CEPQ勺面积.反之，如果SAACDSABCD ,则可知直线 AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形正方形可以看

43、作特殊平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.例：如图，BD长12厘米，DC长4厘米，日C和D在同一条直线上.求三角形ABC的面积是三角形 ABD面积的多少倍？求三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍?平方厘米.【巩固】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米.如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB长4厘米，BC长3厘米，那么图中阴影部分的面积是【巩固】如下图，长方形 AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD ,长方形ABCD的长是20,

44、宽是12,则它内 部阴影部分的面积是 .如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意 一点，求阴影部分的面积.【巩固】图中的2_长方形ABCD的面积为36 cm , E、FE、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少?如右图，E在AD上，AD垂直BC, AD 12厘米，DE 3厘米.求三角形 ABC的面积是三角形 EBC面积的几倍?【巩固】如图，在 VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE那么与VABE等积的三角形一共有哪

45、几个三 角形？B； BDC【巩固】如图，在梯形 ABCD,共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?AkDB C如图，三角形ABC的面积为1,其中AE 3AEA -7 EAC /3, BD 2BC,三角形BDE的面积是多少?BEC如右图，AD DB, AE EFFC ,已知阴影部分面积为 5平方厘米，ABC的面积是平方厘米.【巩固】如图，在长方形 ABCD中,Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 AB 24厘米,BC 8厘米，求三角形ZCY的面积.【巩固】如图，三角形 ABC的面积是24, D> E和F分别是BG AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.【巩固】如图，在三角形 AB

46、C中，BC 8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点,那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米?F【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是1, M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN.那么，阴影部分的面积是多少？一个长方形分成 4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的的面积是多少平方厘米？215%,黄色三角形面积是21cm .问：长方形如右图，过平行四边形 ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH ,若 PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形 PGAE的面积大多少平方分米?如右图，正方形ABCD的面积是20 ,正三角形BPC的面积是15 ,求阴影BP

47、D的面积.【巩固】如右图，正方形 ABCD的面积是12,正三角形 BPC的面积是5 ,求阴影 BPD的面积.在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰 AOB的面积为16,等腰 DOC的面积占长方形面积的18% ,那么阴影AOC的面积是多少?图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积.【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形 ABC的面积.【巩固】正方形 ABC于口正方形CEFG且正方形ABCDfe长为10厘米，则图中阴

48、影面积为多少平方厘米?如图，长方形 ABCD的面积是2平方厘米,EC 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?如图，如果长方形 ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形 MNPQ的面积是多少平方厘米?如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是【巩固】已知正方形的边长为10, EC3 BF 2 则S四边形abcd模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角 （相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC上），则S

49、a ABC：Sh ADE (AB AC)：(AD AE)图图如图在 4ABC 中，D,E 分别是 AB,AC上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC 4:7,SL ADE16平方厘米，求ABC的面积.【巩固】如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,BD DC 4 BEAE 6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?在4ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD5:2 AE: EC 3: 2SA ADE 12平方厘米，求 ABC的面积.已知4DEF面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ,求 ABC的面积.D如图，已知三角形 ABC面积为1 ,延长AB至D ,使BD AB ；延长BC至E ,使CE 2BC ；延长CA至F ,使AF 3AC ,求三角形DEF的面积.如图，平行四边形ABCD ,