小波分析方法及其电力应用

1、小波分析方法及其小波分析方法及其在电力系统中的应用在电力系统中的应用内容z1. 引言z2. 回顾傅立叶分析z3. 小波变换简介z4. 连续小波变换z5. 离散小波变换z6. 小波包变换简介z7. 电力系统应用1. 引言z传统的时频信号分析是建立在傅里叶变换的基础上。但是，傅里叶分析只有频率分辨率而没有时间分辨率。它无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。z为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析加以改进，提出短时傅立叶变换（加窗傅立叶变换）等方法，但仍有许多问题难以解决。z小波分析也是一种时频分析的方法，它克服了傅立叶分析的局限性，同时具有频率分辨率和

2、时间分辨率。2. 回顾傅立叶分析z傅立叶变换（ Fourier Transform ）zFast Fourier Transform (FFT)zDiscrete Fourier Transform (DFT)zShort Time Fourier Transform (STFT)z傅里叶变换可将信号从时域变换到频域进行分析。从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把时域信号波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可将对原信号的研究转化为对其权系数，即傅里叶变换系数的研究。z从傅里叶变换中可以看出，其标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。傅立叶变换的示例傅立叶变换的

3、缺点z缺乏时间分辨率短时傅立叶变换z由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力，因此Dennis Gabor于1946年提出短时傅立叶变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。z短时傅立叶变换(STFT)虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着问题：即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，t、w只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说STFT实质上是具有单一

4、分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。z因此，STFT用来分析平稳信号尚可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求比较高的频率分辨率，而STFT不能兼顾两者。3. 小波变换简介y小波概述y小波发展简史y什么是小波？y小波大家族y小波变换与傅立叶变换的异同3.1 小波概述z小波变换是一种信号的时间尺度(时间频率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-resolution Analysis)的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和

5、频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。z小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，具有自适应特性，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的“数学显微镜”。小波的应用z J.Morlet，地震信号分析。z S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构z Farge，连续小波用于涡流研究z Wickerhauser，小波包用于图像压缩。z Frisch，噪声的未知瞬态信号。z Dutilleux，语音信号处理z H.Kim，时频分析z Beykin，正交小波用于算子和微分算子的简化z信

6、号处理、图像处理z模式识别、语音识别z量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算3.2 小波发展简史y1807: Joseph Fourier x傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式y1909: Alfred HaarxAlfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)y1946: Gaborx开发了短时傅立叶变换( ,)( )where: ( )signal ( )= windo(wing )functionj

7、 tgSTFTs tedts tg ttwttwSTFT的时间-频率关系图 y1980：Morletx20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。x 20世纪80年代, 开发了连续小波变 换 ( c o n t i n u o u s w a v e l e t transform， CWT)zMorlet wavelet)cos()(02/2tettwy1986：Y.Meyerx法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数x用缩放(dilations)与平

8、移(translations)均为2 j(j0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展y1988：Mallat算法x法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat金字塔算法x该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。3.3 什么是小波(wavelet)？z在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数x具有有限的持续时间x在有限的时间范围内，它的平均值等于零小波的数学定义z设有一个函数 , 其傅立叶变换是().

9、z当 满足如下容许性条件： z 被称为一个 母小波。wwwdCR| )(|2)(t)(w)(t3.4 小波大家族zOrthogonal and compactly supported wavelet: （正交且紧支集的小波） Daubechies, coiflets, symlets,zOrthogonal but not compactly supported wavelet （正交但非紧支集的小波）: MeyerzCrude wavelet: Morlet, Mexican hat,1、Daubechies小波（db小波）一些著名的小波：2、Coiflets小波3、Symlets小波5、M

10、orlet小波 6、Mexican Hat小波4、Meyer小波3.5 小波变换与傅立叶变换的异同zFFT and Wavelet SimilarityzFFT and Wavelet DifferencezWFT and Wavelet DifferenceFFT and Wavelet - SimilarityzBoth have basic functions to represent signals. zFFT has only sines and cosines. Wavelet transform contains infinite number of basis function

11、s called wavelets.zThe basis functions are localized in frequency, making it possible to pick out frequency components from signal.FFT and Wavelet - DifferencezFourier Transforms sine and cosine functions couldnt provide time information. zWavelet functions are localized in time domain. zWindowed Fo

12、urier transform uses the same square window for all frequencies, the resolution is the same at all locations in the time-frequency plane.WFT and Wavelet - DifferenceWFT and Wavelet - DifferencezWavelet transforms window could vary. For example, it uses long time-window for low-frequency signal and s

13、hort time-window for high-frequency signal. 4. 连续小波变换（CWT）zContinuous Wavelet Function（连续小波函数）zDilation, contraction and translation of wavelets （小波的伸缩和平移）zContinuous Wavelet Transform（连续小波变换）zInverse CWT （连续小波逆变换）z参考：MATLAB的小波工具箱连续小波函数z The dilation, contraction （伸缩）and translation （平移）of mother wa

14、velet results in a set of continuous wavelets:0;,),()(2/1,aRbaabtatbaz a is called scale factor（尺度因子，与频率有关）z b is called translation factor（平移因子，与时间有关）伸缩和平移连续小波变换zFor signal f (t) L2(R) , its continuous wavelet transform (CWT) is:dtabttfafbaWRbaf)()(|,),(2/1,zWherezWf(a,b) is continuous wavelet coef

15、ficient （连续小波系数）0;,aRbaCWT示例连续小波逆变换zSignal f (t) can be reconstructed（重构） by its continuous wavelet coefficients:zThis is called Inverse Continuous Wavelet Transform.dadbatbaWCtfbaRRf2,1)(),(1)( MATLAB的小波工具箱zwavemenu5. 离散小波变换（DWT）zDrawback of CWT （连续小波变换的缺点）zDiscrete Wavelet Transform （离散小波变换） .zExa

16、mple: EMI noise analysis （示例：EMI信号分析）5.1 连续小波变换的缺点zContinuous wavelet functions are correlated.zMathematically speaking, the wavelet functions are not an orthogonal base （不是正交基）.基，正交基zIn a 2-Dimension space, there are 3 vectors :zThe following is an orthogonal base:(1,0)1) (0,21ee)21- ,23()21- ,23(-

17、1) (0,321eee连续小波变换具有冗余性zContinuous wavelet transform coefficients are correlated. zCWT brings too much redundant information, and requires too much computation. z zHow to perform wavelet transform without redundancy?5.2 离散小波变换 (DWT)zDiscretization （离散化）zDiscrete wavelet function （离散小波函数）zDiscrete wa

18、velet transform （离散小波变换）zInverse DWT （离散小波逆变换）zScale function （尺度函数）zDWT and digital filters （DWT与数字滤波器）zMulti-resolution analysis （多分辨率分析） Decomposition and Reconstruction （分解与重构）理想的时频区域覆盖离散化zDiscrete the scale factor a and translation factor b. (Real number Integer number)zDiscrete the scale facto

19、r a: a = 2 j ; j ZzD i s c r e t e t h e translation factor b: b = k2 j ; k Z 离散小波函数zContinuous wavelet function:zSubstitute a=2j, b=k 2j :zDiscrete wavelet function:0,;)()(2/1,aRbaabtatbaZkjkttjjjkj,;)22()2()(2/1,Zkjkttjjkj,;)2(2)(2/,离散小波变换z Discrete wavelet transform (DWT):z Wf(j,k) is called disc

20、rete wavelet coefficient（离散小波系数）.dtkttffkjWjRjkjf)2()(2,),(2/,离散小波逆变换zFor orthogonal wavelet, signal f(t) can be reconstructed by its discrete wavelet coefficients:zThis is called Inverse DWT.ZkjtkjWtfkjjkf,);(),()(,尺度函数zFor orthogonal wavelet, there is a scale function)(tSignal f(t)FiltersApproxima

21、tion(a)Detail(d)LowpassHighpassDWT 与数字滤波器zMulti-level wavelet Decompositionzs=d1 + a1 =d1 +d2 + a2 =d1 +d2 +d 3+a3zMulti-level wavelet Reconstruction多分辨率分析(Multi-resolution Analysis)分解与重构kj,kj, ,cfkjkjfd,zScale coefficient:zWavelet coefficient:zApproximation:zDetail:zSignal:)(a,jtckjkjk)(d,jtdkjkjkJ

22、jkjkjkkJkJkjJjJtdtcdatf1,1)()()(离散小波分解图-1离散小波分解图-25.3 示例：EMI信号分析Simulated EMI noiseFFT analysisCWT analysisDWT analysis6. 小波包变换简介小波包空间划分U00 ( V0 )U10 ( V1 )U11 ( W1 )U20 ( V2 )U21 ( W2 )U22 U23 U30 (V3)U31 (W3)U32 U33 U34U35U36U377. 7. 电力系统应用电力系统应用 由于小波具有优良的分析奇异信号能力，小波理论已经在电力系统中被大量应用。具体包括：谐波检测、信噪分离、

23、负荷突变检测、变压器励磁涌流识别、局部放电信号检测、电机故障检测、汽轮发电机组转子动静碰摩擦故障检测、接地故障检测、变压器差动保护间断角测量、线路故障选相、线路故障测距等。z小波变换具有优良的数据压缩能力，可以用于电力数据的存储和通信，从而快速传送故障录波和视频监视等信息。z小波变换还被用于电力系统的负荷预测、网损预测、电磁场优化等方面。应用示例zDe-noising 消除噪声zFault detection 故障检测zForecasting 预测zData compression 数据压缩示例：消除噪声示例：故障检测示例：故障测距z根据行波故障测距理论,输电线路某处发生故障时,故障信号暂态行波沿输电线路传播到观测母线位置,因为阻抗不连续,这个故障行波被反射并向故障点传播,到达故障点后又被反射并再次到达观测母线位置。在观测点处两次测得暂态故障行波的时间为t= 2L/v,其中L为故障点与观测母线位置间的距离,v为行波的传播速度。z因为暂态故障的电流(或电压)行波到达观测母线时,实测电流(或电压)信号表现出明显的异动性,所以只要检测出两次故障波的间隔,就可以判断出故障点的位置。z某模拟实验中采用高阶B样条小波分解