2020届江苏省苏州市常熟市高三下学期3月“线上教育”学习情况调查数学试题(解析版)

1、2020届江苏省苏州市常熟市高三下学期3月“线上教育”学习情况调查数学试题一、填空题1,已知集合 A x| 2 x 1,x Z, B x| 1 x 0,则 AI B .【答案】1,0【解析】求出集合A, B ,根据集合的基本运算即可得到结论.【详解】解：A x| 2 x 1,x Z 2, 1,0,1 ,又 B x| 1 x 0,则 A B1,0 .故答案为：1,0 .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，确定集合元素是解决本题的关键2.某校高一、高二、高三学生数之比为2： 3： 4,现用分层抽样方法抽取 n位同学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则n .【答案】274.r 一【解析】

2、根据比例关系列方程 n 12,解出即可.2 3 4【详解】-4解：由已知得n 12,2 3 4解得：n 27.故答案为：27.【点睛】本题考查分层抽样的基本计算，是基础题.3.有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正 品的概率是.【答案】-2【解析】先列举选取两件的基本事件个数，再列举两件产品均为正品的基本事件数，最后用古典概型公式求解概率即可.【详解】解：设1件是次品为 A,正品为a,b,c从4件产品中选取两件，有 Aa, Ab, Ac,ab,ac,bc共6个基本事件，检测的两件产品土为正品，有ab,ac,bc共3种基本事件，,、一 一 一一 、一 3 1则两

3、件产品均为正品的概率是3 1.6 2 1故答案为：1.2【点睛】本题考查古典概型的概率计算，是基础题.4.若执行下面的程序框图，则输出的k值是./金出甯/【答案】4【解析】由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得n = 3, k = 0不满足条件n为偶数，n = 10, k = 1不满足条件n =8,执行循环体，满足条件 n为偶数，n =5, k=2不满足条件n =8,执行循环体，不满足条件 n为偶数，n =16, k =3第9页共21页不满足条件n =8,执

4、行循环体，满足条件 n为偶数，n =8, k = 4此时，满足条件n = 8,退出循环，输出k的值为4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n ,关键，属于基础题.k的值是解题的2019，1 i一、一5 .复数z ；一（其中i是虚数单位）的虚部是 【答案】-1【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：Qi4 1,.2019i504 4 331 i1 i .2 .i ii i1 i,虚部为 1.故答案为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题6.已知 0, ,且2sin 3cos ,贝U 21212【

5、答案】12【解析】利用诱导公式化为同一个角的计算问题即可.【详解】解：由已知2sin555一 3cos 一 3sin 一1212 212得sin 0,又 0,1225c50,一12125故答案为：.12本题考查利用诱导公式化简和求值，是基础题 7.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层灯数为 【答案】3【解析】分析：设塔的顶层共有 ai盏灯，则数列an公比为2的等比数列，利用等比数 列前n项和公式能求出结果.详解：设塔的顶层共有

6、ai盏灯，则数列an公比为2的等比数列，S7= a1(1 2 ) =381 ,解得 ai=3 .故答案为 3.1 2点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.2 2.x y28 .双曲线-2 y2 1(a 0,b 0)的渐近线与抛物线 y2 Px(p 0)的两个交点(原点a b除外)连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为 .先求出双曲线的渐近线与抛物线的一个交点,p ,再利用交点在渐近线上1b2可得结果.解：对于抛物线 y2 2px( p 0),当x则双曲线的渐近线与抛物线的一个交点为则双曲线2 y b21(a 0,b 0)的渐近线的斜率a则离心率a J故答

7、案为:.5.本题考查双曲线离心率的求解，关键是要通过条件找到a,b,c的关系式，是基础题.9 .四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA 2,则四棱锥的侧面积是 .【答案】4 4:2【解析】 首先证明CD 平面PAD,得到VPCD是直角三角形，进而四棱锥P ABCD每个侧面都是直角三角形，用三角形的面积公式求解即可【详解】解：如图：Rc由已知PA 平面ABCD,又CD 平面ABCD,则 CD PA ,又 CD AD ,且 PA AD A,所以CD 平面PAD,又PD 平面PAD ,所以CD PD ,即VPCD是直角三角形，同理VPBC也是直角三角形，且 V

8、PBC和VPCD的面积相同，四棱锥的侧面积：S 2SVPAD 2SVPCD 2 1 2 2 2 1 2 22 22 4 4.2. 22故答案为：4 4.2 .【点睛】本题考查四棱锥侧面积的计算，关键是得到侧面都是直角三角形，是基础题*,10 .已知正项数列 an的前n项和为Sn,且a1 2 , anan 1 2 & 1 n N ,则a2019 a2020 .【答案】4041【解析】由anan 1 2 Sn 1 ,可得n 2时，an冏 2 Sn 1 1 ,相减可得：an+1 +an 1 2,利用等差数列的通项公式即可得出.【详解】解：: anan 1 2 Sn 1 , , n 2 时，a

9、n 1an 2 Si 1 1 ,相减可得： anan i an ian 2an,an 0.an 1 an 1 2 ,又 al 2_2019 1_ a2019 2 (2029 1 1) 2 2020.由 anan 1 2 Sn 1 ,当 n 1 时，a1a2 2 s 12 a1 1 ,得 a23 ,a20203 管 1) 22021,则 a2019a20204041 .故答案为：4041 .【点睛】 本题考查了 Sn法求数列通向公式，考查了等差数列的通项公式，考查了学生计算能力，属于中档题.2x, x, 1111 .已知函数 f (x) log xx 1，若 f(f(x) 一，则 X .,2 ,

10、23【答案】3 v 11 .一【解析】分类讨论，分别令2x - , log 1 x 一，求得x后，继续将x作为函数值求自 232变量.【详解】由题意，当 x, 1 时，f(x) 2x (0,2,当 x 1 时，f(x) logIx 0,3-1又 f(f(x)2则2x 1,可得x 1,再令log x 1 ,得x 3 ,符缶23故答案为：3.【点睛】本题考查已知分段函数的函数值求自变量，考查分类讨论的思想，是基础题一，.k12.若对于给定的正实数 k,函数f(x)的图象上总存在点 C,使得以C为圆心，1 x为半径的圆上有两个不同的点到原点。的距离为2,则k的取值范围是 .9【答案】0,9 2【解析

11、】 根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3,即f(x)的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3,设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到 k的范围.【详解】解：根据题意得：2 110c 1 2 3,Q|0C| Jx2 % 加,9则k的范围为0,-2一 9故答案为：0,2 .【点睛】此题考查圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以 C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，

12、即C到原点距离小于 3.uuur uur13 .已知平面四边形 ABCD中，AB 1,CD 2,DA 3,AC BD 10 ,则BC .【答案】4uur uuur uuir uuuunr【解析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，用 AB , BC,CD和DA表示AC和BD ,计算即可.【详解】解：平面四边形 ABCD中，AB 1,CDuur uuir2,DA 3, AC BD 101 caXix2x2 2,作差X2第11页共21页uur2uuur uuu uuur uurAB(AC CB) (AD DB)uuur uuurAC ADuuu uuurCB DBuuur uuur uuu uuu

13、rAC DB CB ADuuur2ACuuuBDuiur2 ADuuu 2CBuuir (DBuuuCB)uuirCDuuuruuruur2uur2uur 22ACBDADCBCD2 10 3222,即12uur2 CB解得uuu 2 CBuur16,即 CB4;uuu ACuuur BDuuu (ACuuurADuuuCBuuurAD)uuuCBuuur DBuuu ACuuur BDuuurABuuur uuu uuurAD CB DBuuu ACuuur BDuuu (ADuuurDB)uuuADuuuCBuuu (DCuuuCB)uurACuuurBDuur2ADuurDBuuur A

14、Duuu CBuur DCuur 2 CBuuu ACuuur BDuuur 2ADuuur DBuuu (ACuuur uuu uuu CD) CB DCuuu2CBuuu ACuuur BDUUU2ADuuur DBuuur ACuuur (DBuuinCDuuuCBuuuDC)uuu2CB所以BC 4.故答案为：4.本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是难题14.设函数f(x)aln x(a R)的两个极值点分别为 x, x2,若f x1f x22ex22恒成立，则实数a的取值范围是1【解析】由函数f (x) - x alnx(a R)有两个极值点分别为

15、x,x2,可知f x不 x单调，利用导数求得 a的范围，运用韦达定理可得X2,再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F(x)e2 1范围.lnx,(x 1),通过求导，判断单调性可得x e,即可得到a的解：:函数f(x)x aln x(aR)有两个极值点分别为x1 ?2 ,x的定义域为(0,),，、1，(x)21x2x ax 12xg(x) x2 axa2 4.a 2时,V 0, f (x) 0, f (x)在(0,)上单调递减,不合题意2时,0,g(x) 0的两根都小于零，在(0,)上,(0,)上单调递减，不合题意.2时,设g(x)。的两个根为42都大于零,a ；a2 4,x2

16、2x x1时，f (x)0 ,当 x x x2 时,(x)。，当x x2 时，f (x) 0,x分别在0,x1 ,x2 ,上单调递减,x1,x2上单调递增,a的取值范围是(2,).x2x2x2又2x1x2x1x2x1x1a In x11一x2x2a In x2Inx1x21n x2 ,f x1f x2In x1In x2a 2 a 1n x11n x2xx2xx2x x2xx2第19页共21页什 f xf x2若x1 x22e e-a 2恒成立，则 21In x1In x2XiX2In x1In x2x1x22e e不妨设xiX2,xie-J lnx1 lnx2 . 2ex2x2x2x22 e

17、2e2ln x2 ,x2jx2x21恒成立.记 F (x)e2 1In x记x1(x 1),F (x)1x2-2F(x)在1,x2上单调递增，在 x2,上单调递减,且易知0 x 1 x2 e.又F(1)0,F (e) 0当 x (1,e)时，F(x) 0；当 xe,)时,F(x)0.故由式可得,又2e,代入方程g x22x2ax2 10,1得 ax2 一X2x21一在x2 x2e,)上递增).又a 2,a的取值范围是故答案为：a本题考查利用导数求单调区间、极值,主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.二、解答

18、题15.已知直三棱柱 ABC ABC1中，VABC为等腰直角三角形，BAC 90 ,且AB AA ,点 D,E,F 分别为 ABi,CCi,BC 中点.山(1)求证：DF /平面 ACCiA ；(2)求证：EF 平面B1AF .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)连结A1B, AC ,推导出D是AB1中点，从而DF /AC ,由此能证明DF/平面ACC1A -(2)推导出AB AC , AF BC , BB AF ,从而AF 平面BCC B ,进而AF EF ,从而四边形BCC1B1是矩形，推导出VRBF VFCE ,从而EF BF ,由此能证明EF 平面B1AF .(1)

19、连AB, AC,三棱柱ABC A1BC1中，侧面ABB1A1是平行四边形,因平行四边形对角线互相平分，D是ABi中点，.D是AB中点，又F是BC中点，DF/AC,DF 平面 ACCiA,AC 平面 ACC1A1,DF /平面 ACCiA ;(2) VABC为等腰直角三角形，BAC 900,AB AC,又F是BC中点，AF BC,由直三棱柱ABC ABC知BBi平面ABC, AF 平面ABC ,BB1 AF ,又 BCI B4 B,BC,B4 平面 BCC1B1,AF 平面 BCCi Bi ,又 EF 平面 BCCBi ,AF EF ,又由VABC为等腰直角三角形，BAC 90 ,且AB AA

20、,可知 BC 72bb ,又F是BC中点，E是CCi中点，易证VBiBF VFCE ,得 BFBiCEF,BBiFCFE,又BB1FBFB1CEF CFE 90 ,BFB1CFE 90 , EF B1F ,又 AFIB1F F, B1F,AF 平面 B1AF,EF 平面 B1AF .【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题16.在VABC中，角A、B、C的对边分别为a,b, c,已知c 1, C -.3(1)若VABC的面积为近，求a , b ；4(2)若 sin2B 6sin AcosB ,求 VABC 的

21、面积.【答案】(1) a b 1; (2)也或31 628【解析】(1)由已知利用三角形的面积公式可求ab 1,利用余弦定理可得 a b 2,联立方程即可得解 a , b的值.(2)由已知可求得 cosB 0,或sin B 3sinA,分类讨论，当cosB 0时，可得B ,求得a ,利用三角形的面积公式即可求解；当 sinB 3sin A时，由正弦定理 2可得b 3a,进而根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解【详解】1 一 1. 3,3斛(1) Q Svabc absinC ab ，2224ab 1,由 c2a2 b22abcosC(ab)2 3ab1,a b 2 ,解得 a b 1 ；(2

22、)Qsin2B6sin AcosB ,即 2sin BcosB6sin AcosB ,2cos B(sin B 3sin A)0,可得 cosB 0,或 sin B 3sin A,当cosB 0时，由于B(0,)，可得 B2又c 1, C .可得a3J'SVABC31一 acsinB 2当sinB 3sinA时，由正弦定理可得 b 3a,又 c2 a2 b22abeosC 7a2 1，可得 a 外 亭,SVABC1 “1-7 37 、3 3 - 3- absinC - 2277228三角形的面积为或3® . 628本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理,正弦定理在解三角形中

23、的综合应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题17.江南某湿地公园内有一个以 。为圆心，半径为20米的圆形湖心洲.该湖心洲的所对两岸近似两条平行线 l12,且两平行线之间的距离为70米.公园管理方拟修建一条木栈道淇路线为A B C （如图，A在B右侧）.其中，BC与圆。相切于点Q,OA li,OA 30米.设 CBP ,满足0（1）试将木栈道 A B C的总长表示成关于的函数L（）,并指出其定义域；（2）求木栈道 A B C总长的最短长度.90 30cos »2【答案】（）L ,定义域为0,彳，其中cos 0 ；（2） 60sin23【解析】（1）试将木栈道A B C的总长表示

24、成关于的函数L ，由AB 0且BC 0求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道 A B C总长的最短长度【详解】解：（1）过Q分别向AO和li作垂线，垂足为 H,M ,PMBAC由题意可得，QOH , QH 20sin , OH 20cos则 AH MQ30 20cosQM 30 20cos 在直角二角形 BMQ中，BM tan tanAB AM BM QH BM 20sin30 20cos20 30costansinBC 至，LsinBCAB70 sin20 30cossin90 30cossinQ AB 0 且 BC0,cossin令 cos 00, 一2定义域为0, 2cos 0

25、(2)由 L()9030cos sin，得L（301 3cos_2-sin0, 20,得cosQ3当 cos1 工L( )min时，3901 110 60.2故木栈道C总长的最短长度为60亚米.本题主要考查直线和圆的位置关系的判断,根据直线和圆相切的等价条件,利用导数求函数的最值是解决本题的关键，是中档题2 X18.已知椭圆C :不 a2y-r 1(a b b23。）上一点1,-与椭圆右焦点的连线垂直于x轴,过椭圆C上一点P的直线l ： y kxm与椭圆22E : 1交于A, B两点(A, B均 16 12不在坐标轴上）,设O为坐标原点，过O的射线OP与椭圆E交于点Q .(1)若 |OQ|OP

26、|,求实数的值;（2）当P为1,2时，若四边形OAQB的面积为12,试求直线l的方程.【答案】（1）2； (2) y【解析】（1）卜2由题意可知c 1且b- a3-,从而求出椭圆C的方程，再把点P,Q再把 2第25页共21页代入椭圆方程，即可求出的值;（2）设A Xi，y1，B X2，y2 ,由直线过点3 ,3iq知k m ，分别联立直线l与椭22圆E和椭圆C的方程，利用韦达定理得到所以SvAQB2SvaOBml4、. 3 v 16k2 12 m23 4k212,化简得4k2 3 m2，由即可解得k和m的值，从而求出直线l的方程.【详解】解：（1）椭圆C的右焦点坐标为（1,0),b2又 a2

27、b2 1,a b 0,解得：a2 4, b2 3,22所以椭圆C的方程为：土匕1 ,43设 P %, yo ,则 QXo, yo ,22x0 y0- 1432 22 2X Vo1612得:又 0,故 2;(2)设 A。y1，B X2，y2 ,由直线过点3 .一 3 一19知k m -,22y kx m由x2 y2得，一 一 116 124.222_3 4k x 8kmx 4m 48,_2_22-有1(8km)4 3 4k 4m 48-2_24 12 16k12 m0,且x,x28km2，取23 4 k22_4m 4823 4k2y kx m由 x2 v2得，3 4k2 x2 8kmx 4m2

28、12匕143一,，_.、2 一 . 22 一 一 .2 一 2_因为 2 (8km)4 3 4k 4m 1248 4k 3 m 0,所以4k2 3 m2，诉门 c ccI,一 I 4V3Jl6k2 12 m2所 S SVAQB 2 SVAOB m | x1 X2 | 1m |3-4k212，2c 2化简得 2 4k2 3m24k2 3 ，得 4k2 3 m2 ，1由解得：k -, m 2 , 2L 1所以直线l的方程为：y - x 2. 2【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的综合，考查了韦达定理的应用及面积的计算，考查了学生计算能力与分析能力，是一道中档题.19 .构造数组，规则如下：第一组是两

29、个1,即(1,1),第二组是(1,2a,1),第三组是(1,a(1 2a),2a,a(2a 1),1),在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a (0,1) .设第n组中有an个数，且这an个数的和为Sn n N(1)直接写出an 1与an的关系式，并求an和Sn；，、一1 .(2)已知 a - , bn2,n 2k 1,k an 111 ,n 2k,k NSn 1，Tn是数列bn的前n项和，Hn是数列 Tn的前n项和.若对任意n N* , Hx x4满足条件的正整数 k的值.【答案】(1) an1 2an 1, an 1 2n 1, Sn1 (2a 1)n 1 ； (

30、2) k 1,2,3【解析】(1) a1 2,an 1 2an 1 ,化为：an 11 2 an 1 ,数列an 1为等比数列，可得：anS1 2, Sn1 Sn 2a Sn 1 ,可得:Sn 1 1 2a 1Sn1 ,Si 11 ,利用通项公式可得Sn ；(2) bn2k 1,k可得Tn可得H2n据对任意解：（1）a1数列an可得:Sn(2)bnH2nTi T2N ,H 2n2, an 12k,k N.T2n 3x|2an 1 ,化为:(2a为等比数列，可得anS 2a Sn2a1)n1 Sn解得:Snan 11 1.(2a1)n2k1,kTnT1123H2n对任意J22 nH2n2k,k

31、N3T2n21x|2 k3, 4解得0 k103正整数 k 1,2,3 .12n0,即可得出.2 an可得:12n,0,2k 1,k2k,k NH 2n 1an2n2k 1,k N2k, k N第29页共21页【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.已知函数f(x)13§x ax,g(x)(1)设 F(x)f (x) g(x)当a1时，求曲线y F(x)在点(1,F(1)处的切线方程;2当a 0时，求证：F(x)对任意x (0,)恒成立.e(2)讨论G(x) f (x) g(x)的极值点个数.2【答案】(1)y ；证明见解析；(2)当a 0时，f (x)有且仅有一个极值点； e当a 0时，f(x)有三个极值点【解析】(1)将a 1代入，求出切点及斜率，利用点斜