二次函数综合训练题2

1、二次函数综合训练题 21 .如图，抛物线与 x轴的交点A、B的横坐标分别为-1 , -4 ,与y轴的交点C的纵坐标为3. (1)求抛物线的解 析式；(2)如图在抛物线的对称轴上是否存在点巳 使得四边形 PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形 PAOC周长的最小值；若不存在请说明理由；(3)如图，点 Q是线段OB上一动点，连接 BC,在线段BC上是否存在这样的点M使 CQM等腰三角形，且4 BQM直角三角形？若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由-10 -2 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于点 A B (2, 0),与直线 AC： y=-x-6交y轴于点C,点D是抛物 线的

2、顶点.(1)求出抛物线的解析式及 D点的坐标；(2)判断 ACD的形状，并求tan/ADC的值；(3)直线AD 交y轴于点F,在线段AD上存在点P,使/ ADCW PCF,请求出点P的坐标x轴一定有两个公 y轴向上平移多3 .已知抛物线y= (x-m) 2- (x-m),其中m是常数.(1)求证：不论 m为何值，该抛物线与 共点；(2)若该抛物线的对称轴为直线x=5/2.求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点4 .如图，抛物线y=ax2+bx+2.5与直线AB交于点A ( - 1, 0), B (4, 2.5 ),点D是抛物线A, B两点间部分上的

3、 一个动点(不与点 A B重合)，直线CD与y轴平行，交直线 AB于点C,连接AD, BD. (1)求抛物线的解析式；(2)设点D的横坐标为 m 4ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点 C的坐标.5 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3与x轴交于A (1, 0), B ( - 3, 0)两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为 P, 连接AC. (1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点 D,使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q 求直线DC的解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在一点 M使得S：ama=2Saacp?若存在，求出 M点的坐标；若不存在，

4、请说明理由6 .如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过A ( - 3,0),B (1,0)两点，与y轴交于点C,其顶点为D,对称轴是直线l, l与x轴交于点H (1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；(3)若E是线段AD上的一个动点(E与A, D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于 F, 交x轴于点G,设点E的横坐标为 m, 4ADF的面积为S.求S与m的函数关系式； S是否存在最大值？若存 在，求出最大彳1及此时点 E的坐标；若不存在，请说明理由7 .如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A (-2, 0), D两点，与y

5、轴交于点C,对称轴x=3交x轴交于点B. (1) 求抛物线的解析式.(2)点M是x轴上方抛物线上一动点，过点 M作MNLx轴于点N,交直线BC于点E.设点M 的横坐标为m,用含m的代数式表示线段 ME的长，并求出线段 M张的最大值.(3)若点P在y轴的正半轴上， 连接PA,过点P作PA垂线，交抛物线的对称轴于点 Q.是否存在点P,使以点P、A、Q为顶点的三角形与 BAQ 全等？若存在，直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由8 .已知抛物线y=ax2+bx+3,经过点M(-4, 0),且对称轴为x= - 2.5 ,交y轴于B. (1)求抛物线对应的解析式； (2)若x轴上有一点A (4, 0

6、),将ABM x轴向左平移到 DCE(如图)，当四边形ABC型菱形时，试判断 C,D是否在抛物线上；(3)在(2)中，若点P是抛物线上一个动点(点 P不与C, D重合)，经过点P作PQ/ y轴 交直线CD Q设点P的横坐标为t, PQ的长度为d,求d与t之间的函数解析式，并直接写出当t为何值时，以巳Q, C, E为顶点的四边形是平行四边形二次函数综合训练题2答案1.解：(1)设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c (aw0),由题意可知 A(- 1, 0), B ( - 4, 0), C (0, 3),代入抛物线解析式可得aB+ c二 016a-4tHc=0；c=3(2) A、B关于对称轴对称

7、，如图a-4154，抛物线解析式为y=2-x41,连接BC,.BC与对称轴的交点即为所求的点P,此时PA+PC=B C，四边形 PAOC勺周长最小值为： OC+OA+BC-A( 1, 0), B( 4, 0), C (0, 3), . OA=1, OC=3 BC=b ：2十 2 =5, .OC+AB+BC=1+3+5=9,在抛物线的对称轴上存在点 巳使四边形PAOC勺周长最小，四边形 PAOB长的最小值 为9;(3)设直线BC解析式为y=kx+n ,把B、C两点坐标代入可得4r-4k+n=0 ,3，直线BC的解析式为y=2+3, 当/ BQM=9°0时，如图2,设 M (a, b),

8、/ GMO90° , .只能 CM=MQ=b-MQ/ y 轴，. MQBs' COB BN以BC 0C5-b,b解得a+3,解得a=-4 2.m点坐标为(-EL215);当/ QMB=90时，如图3, 8. /CMQ=90 , .只能 CM=MQi CM=MQ=n®U BM=5-项/ BMQ= COB=90 ,/MBQW OBC BMQ BOC一”1 E,解得m牛，作MIN/ OB，则有幽3色ob-occMN=7ON=OC CN=3-旦缜 7 7,M点坐标为(-1271Z),综上可知在线段 TM,使 CQM等腰三角形且 BQM直角三角形，点 M的坐标为(-三2正)或

9、(-812155BC上是存在这样的点12a即 A ( - 6, 0).B (2,：卸2.解：(1)直线 AC: y=-x- 6,当 x=0 时，y=-6,即 C (0, - 6).当 y=0 时，x=- 6,0),把A、B C三点坐标代入函数解析式，得4a+2b+c=0c=-6抛物线的解析式为+2x- 6 2,解得(x+2) 2-8,顶点D的坐标为(-2, -8);(2) ACD直角三角形，理由如下： A (6,CD=22+ (- 8+6) 2=8, AD= (- 2+6) 2+82=80,0),C (0, -6), D(-2, - 8), .由勾股定理， 得 AC=62+62=72,. .

10、AC2+cD=AEtACD是直角三角形，/ ACD=90tan /ADC=(3)设直线AD的解析式为y=mx+n. = A (- 60), D( 2, - 8),-6nr1-n=0-2Hn-8nr-2n=-L2直线AD的解析式为y=- 2x- 12.当x=0时，y= - 12,即F (0, - 12),设点P的坐标为(x, - 2x-12)./ ADC=Z DCF吆 DFG / PCF4 DCF+Z PCD / ADCW PCF，/ DFCh PCD在 4CPD 和 4FPC 中，PCD 二 aPFC, . CPD3 FPC；空且L, .工。(-2又一!2+6 ) ' =g_,化简，得

11、 1ZCPD=ZFKFP FC 揖)2 铲35x2+216x+324=0,解得 x一里，x2=一里(舍去).当 x=一适时，2x- 12= - 2X (迫)12=一胆， 75777点p的坐标(-7 不3. (1)证明：y= (xm 2 - (xm =x2 ( 2m+D x+R+n : = (2m+D 2 - 4 (ni+m) =1>0, . .不论 m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；y=x2- 5x+6;x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为 =52- 4 (6+k) =0,(2)解：: x= -=5 ,m=2,，抛物线解析式为22设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的

12、抛物线与y=x2- 5x+6+k, =抛物线 y=x2- 5x+6+k与x轴只有一个公共点,4.y轴向上平移 二个单位长度后，得到的抛物线与 x轴只有一个公共点.4a- b+-=0u-16a+4b+ua=4tb=2，y=一x2+2x.2(2)设直线AB解析式为：y=kx+b ,则有,则 D (m m!+2m+), C (m 22-1m+1), CD=( -lni+2m+i) (J_m+L) = -Ini+m+zS=12R2+I44(m+1) ?CD+2：m+5-'<0, .当m金时，S有最大彳t,当 m至时,4225.解：(1)二.抛物线与x轴交于A (1, 0)、B( - 3,

13、 0)两点，.y= - x2 - 2x+3,(4-nD ?CD=X5XCD=1 X5X (-Of+b+m ,解得:。二 qa.-3b+3a=-lb=-2(2) .点 A (1,0),点 C(0,3),. OA=1,OC=3DC! AC,/ DCO廿 OCA=9 0 ,OCL x 轴，/ COAhCOQ /OAC廿 OCA=90 , . . / DCOW OAC . .QO8 COA，冬即岁号，OQ=9 又.点 Q在 x 轴的负半轴上，Q(-9, 0),设直线QC的解析式为：析式为：y=x+3,二点D是抛物线与直线 QC勺交点,应舍去)，点 D(T 苧;直线QC的解y=mx+n,则!"

14、一，,解之得：111H 3 ,(不合题意,(3)如图，点 M为直线x=-1上一点，连接 AM PG PA,设点M( - 1, y),直线x= - 1与x轴交于点E,二. E(1,0), .A (1, 0),，AE=2,二.抛物线 则 PM=|4- y| , S 四边形 aepc=S四边形 oepc+Saoj Saaep=AP?PE=Lx 2X4,Saac(=5 4=1 ,22y=-x22x+3的顶点为 P,对称轴为x=- 1蒋 X1X (3+4)卷 X1X3,x10, =5, 2, . P ( T , 4) , PE=4, 又''' S 四边形 aep=Saaef+Sa

15、cp,&MA=2Sa沁"XM - 41=2 "14 - y1=2 ' "=2, y2=6.故抛物线的对称轴上存在点M使Samap=2Sacp,点M ( - 1 , 2)或(-1 , 6).周长的最小值是:(3)如答图2,抛物线y= - x2 - 2x+3的顶点D坐标为(-1,4) , A( - 3, 0), 直线AD的解析式为：y=2x+6 . =点 E 的横坐标为m1. E (mi,2m+6),F (mi,m22m+3EF=-m2 2m+3( 2m+6)= -m2 - 4mi-3. . S=&aef+S deJeF?Ag1eF?GH上 E

16、F?AH工 x ( mf 4m 3) x 2=m24m 3; S=- m24m 3=- ( m+2)2+1,当 m=-22222时，S最大，最大值为1.此时点E的坐标为(-2, 2).7.解：(1)由题意得，点 D的坐标为(8,.故抛物线解析式为解mi+ m+4)y=-±x2+lx+4.42(2)由题意，点C,点B坐标分别为(0,4), (3,0),则直线CB解析式y=-fx+4,点M坐标为(m,-点E坐标为(m, - m+4),34当一2Vme 0 时，ME=,m+4(3Lm国m+4)2m-17pnmi, m=- 2时，ME,由二次函数性质可知,&317ME203当 0vm

17、< 8 时，ME=一最大值为28936.综上所述，当-2Vm< 0时，ME=m242m+4一 ( m+4 =m 34(m当0vm< 8时,35ME=-取得最大值，最大值为289(3)存在， PAa PQ BQL x 轴./ APQ=Z ABQ=90 , . APQABd中.点 P和点 B 是对应点，二以点 P、AQ为顶点的三角形与 BAQ全等，只有两种情况：设点P （0PQ可升（CF）*， PA箪 BAQ PA=BA PQ=BQc), Q (3, n) (c>0, .AB=5, BQ=n, PA机屋7=n,，c“五或 c=-2i (舍),P（。，场）,(2) PQ展 B

18、AQ PA=BQ PQ=AB2=5,di= 一仔或 c2=-d2=L （舍）故点2P坐标为Pi （0,后），心（0金）8.解：（1） ,抛物线y=ax2+bx+3,经过点M（-4, 0）,且对称轴为x=-M关于x=一工的对称点为（-120),16a-4b+3=0a-b+3=0，抛物线的解析式:y=x)+15 x+3.（2）二,抛物线y=-4.x4.x+3 交 y 轴于 B.B (0, 3),A (40), OA=4 OB=3若四边形 ABCD>菱形，贝U BC=AD=AB=,5C ( 5, 3)、D (T0).将 C ( 5, 3)得:X （ - 5） 2+至X （ 5） +3=3,所以点C在抛物线上；同理可证：点44D也在抛物线上.ab=/oa2+ob2 =5 ；代入 y=3_x2+l- x+3 中,（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b ,依题意，有:于 PQ/ y 轴，设 P (