初中数学竞赛专题2-绝对值不等式学案

1、初中数学竞赛专题初中数学竞赛专题 2 绝对值不等式基础概念绝对值的几何意义：一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离 . 数a 的绝对值记作 a .绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反 数；0 的绝对值是 0.注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是 根据性质去掉绝对值符号 . 绝对值的性质： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的 相反数； 0 的绝对值是 0. 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0. 任何一个有理数都是由两部分组成： 符号和它的绝对值， 如： 5 符号是负号，绝对值是 5.

2、 求字母 a 的绝对值：aa(a 0)0(a 0)a(a 0)aa(a 0)a(a 0)aa(a 0)a(a 0)4/ 6利用绝对值比较两个负有理数的大小： 两个负数，绝对值大的反而小绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.例如：若 a b c 0，则 a 0，b 0， c 0绝对值的其它重要性质：1）任何一个数的绝对值都不小于这个数， 也不小于这个数的相反数， 即 a a ，且aa；2)若 a b ，则 a b或 a b；3) ab a b ； ba ab (b 0) ； bb4)|a|2 |a2 | a2；5) a b a b a b ，对于 a b a b

3、 ，等号当且仅当 a、b 同号或 a 、 b中至少有一个 0时，等 号成立；对于 a b a b ，等号当且仅当 a 、b 异号或 a 、b 中至少有一个 0 时，等 号成立5）对一切实数 x，都有 |x| x |x|.（6）| a1 a2 a3|a1| |a2 | |a3 |；|a1 a2an |a1 | |a2 |an|.（7）|a| |b| |a b| |a| |b|. 加强： |a| |b| |a b| |a| |b|. 绝对值几何意义当 x a 时， x a 0 ，此时 a 是 x a 的零点值 零点分段讨论的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号即先令各绝对值式子为零，求

4、得若干 个绝对值为零的点， 在数轴上把这些点标出来， 这些点把数轴分成若干部分， 再 在各部分内化简求值a 的几何意义： 在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离a b 的几何意义： 在数轴上，表示数 a、 b对应数轴上两点间的距离例题解析例 1】解不等式 x 1 2x 3 2分析： 解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念 a a（a 0） ，将 a（a 0） 不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组） ，再去 求解去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点） ， 将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论3 解：令 x 1 0， x 1，令2x 3 0，

5、 x 3 ，如图所示2(1) 当 x 1时原不等式化为 (x 1) (2x 3) 2 x 2 与条件矛盾，无解3(2) 当 1 x 3 时，原不等式化为 x 1 (2x 3) 2 3 x 0 ，故 0 x 23(3) 当 x 3 时，原不等式化为23x 1 2x 3 2 x 6，故x 6 2 综上，原不等式的解为 x0 x 6 说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐 段讨论，这样做条理分明、不重不漏【例 2】求使不等式 x 4 x 3 a有解的 a 的取值范围分析： 此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求 解十分简便解法一： 将数轴分为 ,3

6、,3,4,(4, )三个区间当 x 3时，原不等式变为 (4 x) (3 x) a,x 7 a 有解的条件为 7 a 3， 即 a 1；当3 x 4时，得 (4 x) (x 3) a，即a 1；当x 4时，得 (x 4) (x 3) a，即 x a 7 ，有解的条件为 a 7 4 22a 1 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为 a 1解法二： 设数 x，3，4 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，如图，由绝对值 的几何定义，原不等式 PA PB a 的意义是 P到 A、B的距离之和小于 a 因为 AB 1 ，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于 1)，即 x 4

7、 x 3 1，初中数学竞赛专题故当 a 1时， x 4 x 3 a 有解a2 b2例 3 】求证aa分析： 使用分析法证明 a 0 ，只需证明 a2 b2 a2 ab ，两边同除 b 2 ，即只需证明a2 b2ab2b22ab1(ab)2，即(ab)21时，(ab)21(a)2a；当abbb(ab)21 时，说明：0 ，原不等式显然成立原不等式成立在绝对值不等式的证明，常用分析法本例也可以一开始就用定理：a2 b2a1)如果 ba0 ，原不等式显然成立bb1，则baa1 ，则 ab2)如果，利用不等式的传递性知a a ，b a b ，225/ 6原不等式也成立例 4 】关于实数x 的不等式 x

8、(a 1)22(a 1)2 与 x223(a 1)x 2(3a 1) 0(a R)的解集依次为 A与B，求使 A B的a的取值范围分析：分别求出集合 A、 B，然后再分类讨论解： 解不等式 x(a 1)2(a 1)2 ，初中数学竞赛专题2 2 2 (a 1)2 x (a 1)2 (a 1)22 2 2 A x 2a2x a2 1, a R解不等式 x2 3(a1)x 2(3a1) 0 ，x(3a 1)(x 2)0当a113时(即3a1 2 时)，得B3a 1,a当a11 时(即 3a31 2 时)，得B3ax 2,a当a13时，要满足AB，必须2a2a2,1 3a故11,3；当a13时，要满足

9、AB，必须2a3a 1, a2 1;1,a1,a17/ 6所以 a的取值范围是 a说明：在求满足条件 AB的 a时，要注意关于 a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解【例 5】已知 f (x) x2 x 13， x a 1，求证： f(x) f (a) 2( a 1)分析：本题中给定函数 f (x) 和条件 x a 1，注意到要证的式子右边不含 x ， 因此对条件 x a 1 的使用可有几种选择：(1) 直接用； (2) 打开绝对值用a 1 x a 1，替出 x；(3) 用绝对值的性质 x a x a 1 x a 1进行替换证明： f(x) x2 x 13， f (a) a2 a 13， x a 1， x a x a 1 x a 1 ， f (x) f (a) x2 a2 a x(x a)(x a) (x a)(x a)(x