高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册

1、第八章多元函数微分法及其应用第一节作业一、填空题：1 .函数z ln(1 x2) Jy x2 3jxy 1的定义域为2 .函数f (x, y, z) arccos- z的定义域为22X y3 .设f(x,y) x2 y2, (x) cosx, (x) sinxMUf (x), (x) sinxy4 . limx 0 y y a二、选择题(单选)：一1I1 .函数的所有间断点是：sin xsin y(A) x=y=2n 兀(n=1,2,3,)；(B) x=y=n Mn=1,2,3,)；(C) x=y=m 兀(m=0, ±1, ±2,);(D) x=n 兀,y=m 兀(n=0,

2、 ±1, ±2,，m=0, ±1,±2, )。答：()2.函数 f (x, y)(A)无定义;22sin2(x y2,22x y 0在点(0, 0)处:22x y 0(B)无极限；(C)有极限但不连续;(D)连续。答：()三、求limx 0y a2 xy 4xy2 2四、证明极限lim 2 2X y2不存在。x 0x y (x y)第二节作业一、填空题：1 ci/ 2Sin(x y), xy 01 .设f(x, y) xy，则fx(0,1)2 cx ,xy 02.设f(x, y)x (y 1) arcsin /x,则fx(x,1)y二、选择题(单选)：Y

3、 、，2设Z 2x y ,则Zy等于：(D)2y 4x y(A) y 2x y2 In 4; (B) (x y2) 2yln 4; (C) 2y(x y2)ex y三、试解下列各题：x+z Z1 .设 z lntan 一,求一,一. y x y22 .设 z arctan-y,求 x x y 22四、验证r xx2 y2 z2满足一2x y第三节作业、填空题:1 .函数z义当x 2,y 1, x 0.1, y0.2时的全增量z全微分值xdz.y2 .设 z ex,则 dz.二、选择题（单选）：1 .函数z=f（x,y）在点Po （xo,yo）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A）充分条件

4、；（B）充要条件；（C）必要条件； （D）无关条件。答：（）(A)充分必要条件；(C)充分非必要条件;三、试解下列各题：1.设 z xy x,求 dz. y2 . f(x,y)在(xo,yo)处两个偏导数fx(X0,yo),fy(X0,yo)存在是f(x,y)在该点连续的:(B)必要非充分条件；(D)既非充分亦非必要条件。答：(2.设u xyz,求du.3 .求函数z ln(1 x2 y2)当x 1,y2时的全微分x4 .设z arccos j ，求 dz.22x y四、证明：f (x,) d|xy在点(0,0)处的偏导数存在，但在点 (0,0)处不可微。第四节作业一、填空题：1 .设z ex

5、 2y,而x sint,y t3,则生 dt 2 .设 z u2lnv,而 u ,v 3x 2y,贝1J-z yx3 .设 z f (x y,x y), f可彳,则 dz.二、选择题(单选)：1 .设u (x y)z,而z x2 丫2,则川 uy等于：(A)2z(x y)z1 (x y)(x y)zln(x y);(B) 2z(x y)z;(C) 2(x y)z(x y)ln(x y);(D) 2(x y)z1ln(x y).答：()2 .设z 3xy,而xf (y)且f可导，则dz等dy(A)3xyy xf'(y)ln3;3xy(C) x yf'(y); ln33 .设u f

6、 (x y,xz)有二阶连续偏导数 '"""(A) f2xf11 zf12 xf12;""(C) xf21 xzf22 ;(B)3xyx yf'(y)ln3;(D)zxf'(y) zy 3xy x yf'(y)ln3答：()2，则x z"'"(B) xf12 xf2 xzf22 ;'""(D) f2 xf21 xzf22.答：()三、试解下列各题：一 x 、dz1 .设 z arctan(xy),而y e ,求一. dx2 . 求下列函数的一阶偏导数(其中

7、f 具有一阶连续偏导数) ：(1) u f(x2y2,exy).(2) u f(x,xy,xyz).2Xz3.设xf(x,-), f具有二阶连续偏导数,求 一zyx y4.设z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy, 其中f具有连续偏导数,求全微分dz。5.设z f (x, y),且f具有连续的一阶偏导数，而x2u,y，试以u, v为新的自变量交换方程：y xx 0.y四、设z 2y一天 f(x y )1 z，其中f(u)为可导函数，验证：x x第五节作业、填空题:1.设lnTxV ar曲（，则称z2 2x 4y 4z 10 0所确定，则2.设z z(x, y)由方程x2zx 3.设zz(

8、x, y)由方程xz4.由方程 xyz Jx2 y2 z2 dz.2arctany 0W 确定，贝 U.x y V2所确定的函数z z（x, y）在点（1,0, 1）处的全微分5.设函数x x(u, v)和y(u,v)由方程组 x u yv y v xu所确定,则 u二、选择题（单选）：1.函数yy(x, z)由方程xyzexy所确定，则上是:(A)y(x 1).、；x(1y)(B)yx(1 y)xy；2.已知xx xe ,xetant, y cost,贝Udz dt(B)1-;2(C) 1；(D)0.三、试解下列各题:1 .设x 求二及二.z y x y22 .设 z3 3xyz a3,求

9、x y3 .设 x eu cosv, y eu sin v, z uv,试求-z 和-z. x y四、设(u,v)具有连续偏导数，证明由方程(cx-az,cy-bz ) =0所确定的函数z=f(x,y)满足 a b c. x y第六节作业一、填空题:1 .曲线x et cost, y et sint, z 2et在相应于t 0点处的切线与o殍由夹角的正弦 sin2 .曲线y f (x), zg(x, y)(其中f (x)和g(x, y)皆可微)上点(x0, y0, z0)处的切线方程是.、选择题(单选)oy1 .曲线xyz 2上(2,1,1)点处的一个切向量与oz轴正向成锐角，则此切向量与x

10、y z 0轴正向所夹角为：3网 4;(B)34(C)3;(D)答：()2 .曲面xy2 z3 12±点(1, 2,2)处的切平面方程是：(A) x y 3z 5;(B) x y 3z 7;(C) x y 3z 3；(D) x y 3z 9.3 .曲线2x=y 2,z=x 2在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的x值等于：1 -1(A)1；(B)-；(C)-；(D)2.2 3答：()三、试解下列各题：1.求曲线x t sin t, y 1 cost, z 4sin工在点(一 1,1,2/2)的切线方程及法平面22方程.2 .求椭球面x2 2y2 z2 1上平行于平面

11、x y 2z 0的切平面方程xyz50 .3 .求曲线2 y22在(3,4,5)点处的切线方程xyz四、试证曲面x JyJzK(a0)上任何点处的切平面在 各坐标轴上 的截距之和等于a.第七节作业、填空题:1.函数z=x2+y 2在点（1,2）处沿从点（1,2）到点（2,2 <3）的方向导数等于2.数量场f（x,yz）=x+2y+3z 在（-1,2,0）点处的梯度是3.设 f(X,y尸X 2-xy+y2,则f（x,y）在点（1,1）变化率最大方向上的单位向量为二、选择题（单选）：函数 y xyz 2yz1(A) 一；53ft 点(11,1)沿 I1(B)；52i 2j k的方向导数等于：

12、（C）1；31 (D)- 3三、试解下列各题:1.求函数z 12yr)在点( b22）处沿曲线卫、, 22a2% 1在这点的内法线方向的b2方向导数.2.求函数u=xyz在点M（1,1,1）沿从点（1,1,1）到点（2,5,3）的方向的方向导数。3. 设 f(x,y,z)=x 2=2y 2+3z 2+xy+3x-2y-6z ，求 gradf(1,1,1).4.设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数22n的方向导数.x一也在点P处沿方向z四、设u,v都是x,y,z的函数)u,v的各偏导数存在且连续,证明：grad(uv尸vgradu+ugradv.第八

13、节作业一、填空题：1 .函数 f(x,y)=4(x-y)-x 2-y2 的极大值为 。2 .设函数z=z(x,y)由方程x2+2y 2+3z 2+xy-z-9=0所确定，则函数z的驻点为3 .函数z=xy 在闭区域 xR, y R, x+y <1上的最大值为 。二、选择题(单选)：1. z x 2y在满足x2y25的条件下的极小值为：(A)5；(B) 5;(C)2.5;(D) 25.2. 函数 z=x 2+y 3 在 (0,0) 处：(A)有极大值；(B)有极小值； (C)没有极值；(D)既有极大值又有极小值。答： ( )三、试解下列各题：1 . 求函数 f(x,y)=(6x-x 2)(

14、4y-y 2 )的极值。2 .要造一个容积等于 k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。四、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？第八章综合作业一、填空题（每小题 4分，共20分）：1 .已知 u xy yz zx,贝1Jgradu （1,2,3）2 .设z xyex y sin-xr-z y x3 .设 z arctan x-y,贝1Jdz x y4 .曲面z x2 3y2在点（1,1,4）处的法线方程是 5 .设z f （x, y）在点（x0, y0）处存在一阶偏导数，且在（x0, y0）处取得极值则必有

15、 成立.二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）：1. limx 0y 03xyxy 1 1(A) 3;(B) 6;（C）不存在;(D) 8答： ()2 .若函数f(x,y)在点(xo,yo)处：( A )偏导数存在， f(x,y) 在该点一定可微；( B )连续，f(x,y) 在该点偏导数一定存在；(C)有极限，则f(x,y)在该点一定连续；( D )可微，f(x,y) 在该点连续且偏导数一定存在。答： ()3 .曲线x sint, y cos2t,z sintcost在对应于t处的切线与xoy面的夹角是：(A)2;（b）W；3(C)4;1(D)arccos .3答：（4 .函数z=2x 3-4x，2xy-y 2的极值点为:(A) (0, 0)；(B) (1(C)(0, 0)与(11)(D)无极值点O答：（三、试解下列各题（每小题 7分,共28分）：1.设f(x, y,z)z 户，求 df(1,1,1). iy2.设 ezxyz0,求2.设ux22z ,xr sincos , y rsinsin , zu ur cos，本, r