【山西医科大学大一高数课件】第三章不定积分

1、2021/8/61第三章第三章一元函数积分学一元函数积分学2021/8/623.1 不定积分不定积分2021/8/63例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0(内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念2021/8/64原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区

2、区间间I内内连连续续，简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C那么在区间那么在区间I内存在可导函数内存在可导函数)(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？2021/8/65关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(x

3、F)(xG)(xf则则CxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C2021/8/66任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称为称为)(xf在区间在区间I内的内的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. .2021/8/67例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2

4、2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx2021/8/68例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. .解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy2021/8/69函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称

5、为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.2021/8/610实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1

6、( 二、二、 基本积分表基本积分表2021/8/611基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)(Cxxdx3说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx2021/8/612 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 2021/8/613 xdxxtansec)1

7、0(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 2021/8/614例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 2021/8/615 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质2021/8/616 d

8、xxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 2021/8/617例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 2021/8/618例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 20

9、21/8/619例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.2021/8/620例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5

10、)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy2021/8/621基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、 小结2021/8/622一、一、 填空题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做

11、函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(xfxF 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族CxFy )( )( 是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题2021/8/6236 6、 dxxx_ _；7 7、 x

12、xdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .2021/8/6243 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 2021/8/625一、一、1 1、无穷多、无穷多, ,常数；常数； 2 2、全体原函数；、全体原函数； 3 3、积分曲线、积分曲线, ,积分曲线族；积分曲线族； 4 4、平行；、平行； 5 5、连续；、连续； 6 6、Cx 2552； 7 7、 Cx 2332； 8 8、Cxxx 223323； 9 9

13、、Cxxxx 2325332523、 1010、Cxxx 252352342. .练习题答案练习题答案2021/8/6262021/8/6273.23.2不定积分的计算不定积分的计算一、第一类换元法一、第一类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法三、三、 分部积分法分部积分法2021/8/628问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法2021/8/629在一般情况下：在一般情况下：设设),(

14、)(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理2021/8/630设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf 实际计算时直接写做：实际计算时直接写做：)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1 CxFCuF CxFxdxfdxxxf)()(2021/8/631例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2s

15、in xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 2021/8/632例例2 2 求求.231dxx 解解dxx 231.|lnCx 2321)(xdx23231212021/8/633例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .)ln21ln(21Cx 2021/8/634例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx

16、 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 2021/8/635例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 2021/8/636例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 2021/8/637例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 2021/8/638例例8 8 求求.

17、)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 2021/8/639例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 2021/8/640例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 2021/8/641例例111

18、1 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.2021/8/642例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin2

19、1Cxx 2021/8/643例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx|tan|ln2.|cotcsc|lnCxx（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）2021/8/644解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx.|cotcsc

20、|lnCxx2021/8/645解解例例1414 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 2021/8/646例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .|arcsin|lnCx22021/8/647Cxxxddxxxxdx|cos|lncoscoscossintan例例16:求求xdxtan同理可得同理可得:|sin|lncotxxdx 2021/8/64

21、8问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法2021/8/649其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfd

22、xxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，定理定理2 22021/8/650第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说说明明)(xF为为)(xf的的原原函函数数,2021/8/651例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t2021/8/652例例1717 求求解解.4

23、23dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 2021/8/653例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2021/8/654说明说明

24、(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 2021/8/655 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,

25、tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解2021/8/656例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx2021/8/657说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2121 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|l

26、n1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解2021/8/658例例2222 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 2021/8/659 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 2021/8/660说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） l

27、kxx,ntx n例例2323 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt22162021/8/661 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 2021/8/662基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 2021/8/663;ln211)22(22Cxaxaadxxa

28、;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 2021/8/664三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)2021/8/665思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 2021/8/666思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp2021/8/6

29、67一、一、 填空题：填空题：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；练练 习习 题题2021/8/6687 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _

30、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定积积分分： （第第一一类类换换元元法法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；2021/8/6693 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx；111

31、1、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .2021/8/6702021/8/671练习题答案练习题答案一、一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、-2-2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1

32、ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、Cx )arctan(sin212；2021/8/6727 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、Cx 2)(arctan；1 12 2、Cxexexx )1ln()ln(；1 13 3、Cx 10ln210arccos2； 1 14 4、Cx 2)tan(ln21. .2021/8/6732021/8/6743.2.23.2.2分部积分法分部积分法2021/8/67

33、5问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容2021/8/676例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos

34、 xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 2021/8/677例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u2021/8/678例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,ar

35、ctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2021/8/679例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3xdxxxlnln444141.161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u441xdxlndxxxxx1

36、414144ln2021/8/680例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 2021/8/681例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式2021/8/682例例7 7 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arc