chap3-4函数的单调性与极值民ppt课件

1、第四节第四节 函数的单调性函数的单调性与极值与极值1、函数单调性判别法2、函数的极值一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在那那末末函函数数，内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（导导内内可可上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 证证),(,21baxx ,21xx 且且)()()()(211212x

2、xxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调增增加加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 （1判别法中的闭区间换成其他各种区间包括无穷区间）判别法中的闭区间换成其他各种区间包括无穷区间）结论也成立。结论也成立。（2单调函数在个别点切线是水平的或不存在不影响函数的单调函数在个别点切线是水平的或不存在不影响函数的单调性。单调性。（3定理中要求定理中要求f(x)在在(

3、a,b)内全为正或全为负，可修改内全为正或全为负，可修改为为f(x)在在(a,b)内除有限个点为零或不存在外，都有内除有限个点为零或不存在外，都有f(x)0(或或0),结论仍然成立。结论仍然成立。例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数

4、符号来判别一个区间上的单调性).,(: D又又机动 目录 上页 下页 返回 完毕 问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间的，则该区间称为函数的单调区间. .导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的

5、根根及及用用方方程程xfxfxf 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2 2解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调增区间为单调增区间为，1 ,(，2 , 1)., 2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 单调减区间单调减区间例例3 3解

6、解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,()., 0 32xy 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4 4证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0

7、( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在机动 目录 上页 下页 返回 完毕 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.机动 目录 上页 下页 返回

8、 完毕 1x 123xx1( )23f xxx211( )fxxx21(1)x xx1,)( )f x1230 xx例例5 证明：当证明：当时，时，证证 令令，那么，那么( )f x1,)在在上连续，在上连续，在(1,)( )0fx 内内因此在因此在上上单调增加，从而当单调增加，从而当1x ( )(1)f xf(1)0f时，时，由于由于( )(1)0f xf故故，即，即123xx亦即亦即 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .)()(,)()(,

9、;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值

10、点极值的点称为极值点.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1(1(必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x极值存在的必要条件：极值存在的必要条件：机动 目录 上页 下页

11、 返回 完毕 定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , , . . . . , ,)(xf, ,，那么，那么(1)(1)假如假如),(00 xxxd d 有有; 0)( xf而而),(00d d xxx有有0)( xf，那么，那么)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值(2)(2)假如假如),(00 xxxd d 有有; 0)( xf而而),(00d d xxx有有0)( xf在在0 x 处取得极小值处取得极小值(3)(3)如果当如果当),(00 xxxd d 及及),(00d d xxx时时)

12、(xf符号相同符号相同那么那么)(xf在在0 x 处无极值处无极值. .xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf

13、)(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3 3解解.)2(1)(32的的