新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习第五章平面向量复数第一节平面向量的概念及线性运算讲义含解析

1、1第一节 平面向量的概念及线性运算突破点一平面向量的有关概念抓牢双基基本知识名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量 的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为 0 的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量 a 的单位向量为土 |a|平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 0基本能力一、判断题（对的打“V”，错的打“X”）（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段

2、来表示向量.（）（2）若 a 与 b 不相等， 则 a 与 b 一定不可能都是零向量.（）答案：X（2）V二、填空题1.如果对于任意的向量 a,均有 a II b，则 b 为_ .答案：零向量2.若e是 a 的单位向量，贝 U a 与e的方向_ .a解析：T e=，二e与 a 的方向相同.Ia|答案：相同3.AABC中，点D, E,F分别为BC, CA AB的中点，在以A B, C, D, E, F为端点的有向线段所表示的向量中，与EF共线的向量有 _个.答案：7 个研透高考深化提能2典例感悟1.（2018 海淀期末）下列说法正确的是（）3A. 方向相同的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一

3、条直线上的向量C. 零向量的长度等于 0B/CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线解析：选 C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故 当么B/CD时，B所在的直线与CD所在的直线可能重合，故D不正确.2. （2019 辽宁实验中学月考）有下列命题：1若 |a| = |b|，则 a= b;2若| B| = |DC|，则四边形ABCD是平行四边形；3若 nn= n, n= k，贝 U nn= k;4若 a/b, b/c，贝Ua/c.其中，假命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选 C 对于，|a|=|b|, a,

4、b 的方向不确定，则 a, b 不一定相等，所以错误；对于，若|AB| = |DC|，则AB,DC的方向不一定相同，所以四边形ABCD5一定 是平行四边形，错误；对于，若 mi= n,n=k,则 mi= k，正确；对于，若 a/b, b/c, 则 b= 0 时，a/c不一定成立，所以错误.综上，假命题的是，共3 个，故选 C.- -3. （2019 赣州崇义中学模拟）向量AB与CD共线是A,B,C, D四点共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件- -解析：选 B 由A,B, C, D四点共线，得向量AB与CD共线，反之不成立，可能AB- -/CD所以

5、向量AB与CD共线是A,B, C, D四点共线的必要不充分条件，故选B.方法技巧关于平面向量的 3 个易错提醒两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小;（2）大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；（3）向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.D.A 不正确；方向相同或相反B 不正确；显然 C 正确;4突破点二平面向量的线性运算5基本知识1 向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算a三旳形払則平行四边形法則交换律：a + b= b + a;结合律：(a + b) +c= a + (b +c)减法求

6、a 与 b 的相反向量b 的和的运算a b = a+ ( b)数乘求实数入与向量 a 的积的运算|入 a| = |入|a|,当入0 时，入 a 与 a 的方向相 同；当入v0 时，入 a 与 a 的方向相反；当入=0 时，入 a= 0入(3a) (入 口 )a ;(入+ 3)a= Xa+ 3a;入(a + b) =Xa+Xb2.平面向量共线定理向量 b 与 a（a丰0）共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得 b =入 a.3.向量的中线公式及三角形的重心向量的中线公式：- 1 - - 若P为线段AB的中点，0为平面内一点，贝 UOP= 2（OA+OB）.（2）三角形的重心: 1 PG= 3(

7、PA+PB+PC)?6是厶ABC的重心特3基本能力、判断题（对的打“V”，错的打“x”）（1）a/b 是 a =入 b（入 R）的充要条件.（）ABC中,D是BC的中点，贝 U AD= |( AC+ AB).()答案：x（2）V二、填空题已知平面内不共线的三点A,B,C,别地，PA+PB+ PC=0?PABC的重心.61.在如图所示的方格纸中有定点0, P,Q E, F,G H,则OP+0Q=7答案：FO- - - -2 .化简：(ABCD) - (ACBD) =_ .- - - - - - - - - - -解析：(ABCD) (ACBD) =ABCDAC+BD= (ABAC) + (DC-

8、 - -DB)=CB+BC= 0.答案：03.已知向量 a, b 不共线，且c=入 a+ b,d= a + (2 入一 1)b，若c与d共线反向，则实数入的值为_ .答案:-1研透高考*深化提能全析考法考法一 平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.例 1(1)(2019 湖北咸宁联考)如图，在ABC中,点M为AC的中点，点- - - -N在AB上,AN= 3NB，点P在MNk,MP=

9、 2PN，那么2-M1 -MA.3AB-6ACB.1MB2-C1 1 C.3AB-6AC1 1D2AB+ 6AC(2)如图，在直角梯形ABCDKDc=-AB,BE=2EC，且AE4- - =r AB+s AD，贝 U 2r+ 3s=()A. 1B. 2cEtiC. 3D. 489解析(i)P=7AM+MP=AM+2MN=AM瓜N-AM) =1AM+2瓜N=133006 1AC+ 2AB.故选 D.- 2 2(2)根据图形，由题意可得AE=AB+BE=AB+ -BC=AB+ -(BA+AD+DC) O 1 2 1 2 1 1 2 =-AB+ -(AD+DC) = -AB+ -AD+ 4AB= $

10、AB+ -AD.因为瓜E=r AB+s-D，所以r=舟，s=-，贝 U 2r+ 3s= 1+ 2= 3.答案(1)D(2)C方法技巧1 平面向量的线性运算技巧(1) 不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.(2) 含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1) 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.(2) 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.(3) 比较、观察可知所求.考法二平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1

11、) 向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用.(2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.- - - (3) 直线的向量式参数方程：A, P, B三点共线?OP= (1 t) OA+1 OB(0为平面内任一点，t R).例 2(1)(2019 南昌莲塘一中质检)已知 a, b 是不共线的向量，AB=入 a+ b,-C=a +卩 b(入，卩 R),若A, B,C三点共线，则入，卩的关系一定成立的是()A.入卩=1B.入卩=1C.入一=

12、1D.入 + 卩=210(2)(2019 郑州模拟)设ei与e2是两个不共线向量，B=3ei+ 2e2, ：B= kei+e2, D=3ei 2ke2，若A,B, D三点共线，则 k 的值为_ .解析(1)3与瓜C有公共点A, 若A, B, C三点共线，则存在一个实数t使瓜B=t AC，即卩入 a+ b =ta+口tb，贝U消去参数t得入卩=1;反之，当 入卩=1削t= 1,- 1 1 - 1 - - - -时，AB= a + b,此时存在实数- 使AB=AC,故AB和AC共线AB与AC有公共点A：A B,C三点共线故选 A.由题意，A,B, D三点共线，故必存在一个实数入，使得 刁B=入ED

13、.又AB= 3e1+ 2e2,CB=k&+e2,- - -所以BD=CDCB= 3e1 2ka (ke1+e=(3 k)e1 (2k+1)e2,所以 38 + 2e2=入(3 k)e1入(2k+ 1)e2, 又e1与e2不共线，答案(1)A(2) 9方法技巧平面向量共线定理的 3 个应用证明向量共线对于非零向量 a, b,若存在实数入，使 a =入 b，则 a 与 b 共线证明三点共线若存在实数 入，使AB=入AC,AB与AC有公共点A,则A,B, C三 点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值集训冲关1.考法一在等腰梯形ABCDK AB= 2CD,M为B

14、C的中点，贝U AM=()31B.4AB+2AD31c4AB+4AD 1 =3e1 2ke2,3=入 所以 i2 =入3k,k +19解得k=-9.1 3 D.?AB+ 4AD11解析：选 B 因为AB= 2CD，所以AB= 2DC.又M是BC的中点，所以AM=JAB123.考法二设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1) 若瓜B= a+ b,BC= 2a+ 8b,CD=3(a b)，求证：A, B,D三点共线;试确定实数 k，使 ka+ b 和 a + kb 共线.- - -解：(1)证明：TAB= a + b,BC= 2a+ 8b,CD= 3(a b),- - - -BD=BC+CD= 2a+ 8b+ 3(a b) = 5(a + b) = 5AB,/.AB, E3D 共线，又它们有公共点 B, A, B, D三点共线.(2) / ka + b 与 a+ kb 共线，/存在实数 入，使 ka + b=入(a + kb)，即(k 入)a =(入 k 1)b.又 a,b 是两个不共线的非零向量，k入=0,2/ k 1 = 0. / k=