2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用第3讲全称量词与存在量词简单的逻辑联结词教学案理北师大版

1、高考总复习第3讲 全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词1一川航全由他*和存在lit闷的您工能正踊地对台个词的希期进行柝潴一3了河羯谓.或 “71* ”康1"的含义,1命为1趋势_! IX节 心上齐仃缺利的南1出的吊匚仁高学刚中，：命的应暇判新常跳面依、不等式为就慵,老崔学士的理屋判断的。.题型为运抻期.助空里.低祗唯:忆植心 本养效学鞋象、期料椎网/最新考纲考向预测理软制丹实瞰留却以15走进教材、知识梳理1,全称量词与存在量词(1)全称量词和存在量词的含义量词名称常见量词含义全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等在指定氾围内，表小整体或全部存在量词存在一个、至少有,个、有,个、有些

2、、某些等在指定范围内，表示个别或一部分(2)全称命题、特称命题的定义、否定形式及真假判断命题名称定义否定形式真假判断要说明一个全称命题是错含有全误的，只需找出一个反例就全称称量词特称命题可以了，实际上是要说明这命题的命题个全称命题的否定是正确的续表命题名称定义否定形式真假判断特称命题含后存在量词 的命题全称命题要说明一个特称命题“存 在一些对象满足某一性 质”是错误的，就要说明所 有的对象都不满足这一性 质.实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的2.逻辑联结词（1）逻辑联结词通常是指“且” “或” “非” .（2）命题p且q, p或q,非p的真假判断.pqp且qp或q非 p（p）真真真真假真

3、假假真假假真假真真假假假假真常用结论1. 一组关系否命题命题的否定区别否命题既否定其条件，又否定其结论命题的否定只是否定命题的结论否命题与原命题的真假无必然联系命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假2.三个口诀（1） p或q一见真即真.（2） p且q一见假即假.（3） p与税p一真假相互.3.四组等价关系（1） p或q真？ p, q至少一个真？（p）且（q）假.（2） p 或 q 假？ p, q 均假？（p）且（q）真.（3） p且q真？ p, q均真？（0或（q）假.（4） p且q假？ p, q至少一个假？（p）或（q）真.二、教材衍化1 .命题“存在 xCR, log双+ 2&l

4、t;0”的否定是 .答案：对任意的 xC R, log 2X + 2>02 .在一次驾照考试中，甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为 .答案：（0或（卬走出误区一、思考辨析判断正误（正确的打，错误的打“X”）(1)命题p且q为假命题，则命题 p、q都是假命题.()(2)命题p和p不可能都是真命题.()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则 p或q是真命题. ()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.()(5)存在xC M p(x)与对任意的xCM,p(x)的真假性相反.()答案：(1) X (2) ,

5、 (3) , (4) , (5),二、易错纠偏常见误区| K(1)全称命题或特称命题的否定出错；(2)不会利用真值表判断命题的真假；(3)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误；(4)判断命题真假时忽视对参数的讨论.1 .命题“正方形都是矩形”的否定是 .答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2 .已知命题p：若x>y,则一x<y;命题q：若2则x<y.在命题p且q;p x y或q；p且(q) ; (p)或q中，真命题是 .(填序号)解析：由不等式的性质可知， 命题p是真命题，命题q为假命题，故p且q为假命题； p或q为真命题；q为真命题，则p且(q)为真命题；p为假命题，则(

6、p)或q 为假命题.答案：3 .已知命题“若 ab=0,则a=0或b=0",则其否命题为 .解析：" a=0或b=0”的否定为“ awo且bw0” .答案：若abw0,则awo且bO4 .若p：对任意的xCR, ax2+4x+1>0是假命题，则实数 a的取值范围为 .答案：(8, 4卷®考点图Q剖析确者向百田考例考法.全称命题与特称命题(多维探究)角度一 全称命题、特称命题的否定例亘I (1)(2020 西安模拟)命题“对任意的x>0,;>0"的否定是()x 1x 一 cA.存在 x< 0, x1W0B.存在 x>0, 0&

7、lt; x< 1xC.对任意的 x>0, x77y& 0D.对任意的 x<0, 0<x< 1(2)已知命题p：存在m R, f(x) = 2xmx是增函数，则p为 ()A.存在 mE R, f (x) =2xmx是减函数B.对任意的 m R, f (x) = 2xmx是减函数C.存在R, f (x) = 2xmx不是增函数D.对任意的 m R, f (x) = 2xmx不是增函数xx 【解析】因为口 >°,所以x<°或x>1,所以口>°的否定是 w,所以命题的否定是存在x>0, 0<x<

8、; 1,故选B.(2)由特称命题的否定可得p为"对任意的meR, f (x) = 2x - m坏是增函数”.【答案】(1)B(2)D角度二 全称命题、特称命题的真假判断B.对任意的xC R, 2xT>0D.存在 x R, sin x+cos x= 2B.对任意的xC N, x2>0D.存在 xCN+, sin x = 12xT>0恒成立，所以B正确；当0vx例亘(1)下列命题中的假命题是()A.对任意的xC R, x2>0C.存在 x R, lg x< 1(2)下列命题中的假命题是()A.对任意的xC R, ex>0C.存在 xC R, ln x&

9、lt; 1【解析】(1)A显然正确；由指数函数的性质知<10时，lg x<1,所以C正确；因为sin x+cos x=J2sin x + - , 所以一 sin x+ cos xv班,所以D错误.(2)对于B.当x= 0时，x2=0,因此B中命题是假命题.【答案】(1)D (2)B国旧团国(1)全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；否定结论：对原命题的结论进行否定.(2)全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题

10、真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真提醒因为命题p与p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.后要直训练 (2020 河南八所重点高中第二次联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题 p：对任意的f(x) C A, | f (x)| CB,则p为()A.对任意的 f (x) C A, |f(x)| ?BB.对任意的 f(x)?A, |f(x)| ?BC.存在 f(x) e A, | f(x)| ?BD.存在 f(x)?A | f (x)| ?B解析：选 C.全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定

11、结论，所以由 命题P：对任意的f(x) A, |f (x)| e B,得税p为存在f(x)CA, |f(x)| ?B,故选C.考点E含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)例区(2020 惠州调研)已知命题p, q,则“p为假命题”是“ p且q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 充分性：若p为假命题，则p为真命题，由于不知道 q的真假性，所以推 不出p且q是真命题.必要性：p且q是真命题，则p, q均为真命题，则p为假命题.所 以p为假命题”是“ p且q是真命题”的必要不充分条件.【答案】 B方法判断含有逻辑联结词命题真假的步骤一

12、定结构即-M 客命*需正麻互工：二二二二二二二二二二二巨珂判断构无这个命通的彳一木番单5震的工欣性 nr 氏嘉一j依弗真信表判断札=或l令通的大假回变式训练(2019 高考全国卷出改编)记不等式组x+y>6'表示的平面区域为 2x- y>0D命题p:存在(x, y) C D, 2x+y>9;命题q:对任意的(x, y) C D, 2x+y< 12.下面给出 了四个命题p或q p或q p且q p且q这四个命题中，所有真命题的编号是 ()A.C.B.D.解析：选A.通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x+y=9和直线2x+y=12均穿过了平面

13、区域 D,不等 式2x+y>9表示的区域为直线 2x+y=9及其右上方的区域，所以命 题p正确；不等式2x+yw 12表示的区域为直线 2x+y=12及其左下 方的区域，所以命题 q不正确.所以命题 p或q和p且q正确.故选A.优解：在不等式组表示的平面区域D内取点（7, 0）,点（7, 0）满足不等式2x+y>9,所以命题p正确；点（7, 0）不满足不等式2x+ywi2,所以命题q不正确.所以命题 p或q 和p且税q正确.故选A.考点目由命题的真假确定参数的取值范围（典例迁移）例叵 已知p：存在xC R, m）2+ K0, q：对任意的xC R, x2+m杆1 >0,若p或

14、q为 假命题，求实数 m的取值范围.【解】依题意知p, q均为假命题，当p是假命题时，mx+ 1>0恒成立，则有 m>0；当q是真命题时，则有=m4< 0, 2v RK 2.因此由p,q均为假命题得。,hk 2 或 m> 2, 即 m>2.所以实数m的取值范围为2, +8）.【迁移探究1】（变问法）在本例条件下，若 p且q为真，求实数 m的取值范围.解：依题意知p, q均为真命题，当p是真命题时，有 m< 0；当q是真命题时，有一2vrk 2,mK 0,由可得一2 V RK 0.2 V rn< 2,【迁移探究2】（变问法）在本例条件下，若 p且q为假，

15、p或q为真，求实数 m的取 值范围.解：若p且q为假，p或q为真，则p, q一真一假.mK 0,当p真q假时所以 2 ；n>2或- 2,m> 0,当p假q真时所以0w mK 2.-2<mK 2,所以m的取值范围是（8, - 2 U 0 , 2）.阿图目附根据命题的真假求参数取值范围的策略（1）全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题.（2）含逻辑联结词问题：求出每个命题是真命题时参数的取值范围；根据题意确定每个命题的真假；由各个命题的真假列关于参数的不等式（组）求解.登式训炼卜兀1 . （2020 安徽江淮十校第三次联考）若命题“对任意的 xC 0, , 1+ta

16、nmm的否定是假命题，则实数m的取值范围是 .兀解析：根据题意得不等式1 + tan xwm,对任意的xC 0,三恒成立，因为y=1 + tan.兀 . .、，_.- 一兀J-.一 .I x在xC 0,万 上为增函数，所以(1 + tan x)max= 1 + tan = 1 +小,则有m> 1 十寸3,即 实数m的取值范围是1 +。3, + ）.答案：1 +m, +8）2 .已知命题p:关于x的方程x2 ax+ 4=0有实根；命题q：关于x的函数y= 2x2 + ax+ 4在3, +8）上是增函数.若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数 a的取值范围 是.解析：命题p等价于 = a2

17、-16>0,即aw 4或a>4；命题q等价于1w 3,即a>4 12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q 一真一假.若p真q假，则av 12;若p假q真，则4vav4.故a的取值范围是（8, - 12） U（- 4, 4）.答案：（一00, 12） U （ 4, 4）磴停突破基础题组练1 . （2020 安徽蚌埠第一次教学质量检查）命题p：存在常数列不是等比数列，则命题心为（）A.任意常数列不是等比数列B.存在常数列是等比数列C.任意常数列都是等比数列D.不存在常数列是等比数列解析：选C.因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定 命题p:

18、任意常数列都是等比数列，故选 C.，“一，兀.2 .已知 f(x)=sin x-x,命题 p：存在 xC 0, , f(x)<0,则()-兀A. p是假命题，p:对任意的xC 0, , f (x) >0兀B. p 是假命题，p：存在 xC 0, , f (x) >0兀C. p是真命题，p：对任意的x 0, -2 , f (x) >0 一一 兀D. p 是真命题，p：存在 xC 0, , f (x) >0兀解析：选C.易知f ' (x) = cos x- 1<0,所以f (x)在0,上是减函数，因为f (0) = 0,兀兀所以f(x)<0,所以命

19、题p：存在x 0,-, f(x)<0是真命题，p：对任意的x 0,-,f(x) >0,故选 C.3. (2020 河北唐山第一次模拟 )已知命题p： f(x)=x3-ax的图像关于原点对称；命 题q： g(x)=xcos x的图像关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.pB. qC. p且 qD. p且(q)解析：选 D.对于 f (x) =x3-ax,有 f ( x) = ( x)3 a( -x) =- (x3-ax) =-f (x),为 奇函数，其图像关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)=xcos x,有g( x) = ( x)cos( x)=xcos x=-g(x)

20、,为奇函数，其图像关于原点对称，所以 q为假命题，则p为假命 题，p且q为假命题，p且(q)为真命题，故选 D.4.已知命题p：若a>| b| ,则a2>b2；命题q：若x2= 4,则x= 2.下列说法正确的是()A. "p或q”为真命题B. "p且q”为真命题C. “p”为真命题D. “q”为假命题解析：选A.由a>|b|>0,得a2>b2,所以命题p为真命题.因为x2=4?x=±2,所 以命题q为假命题.所以“ p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“p”为假命题，“q” 为真命题.综上所述，可知选 A.5. (2020 湖南株洲

21、二模)已知命题p:对任意的x>0, ex>x+1,命题q:存在xC(0, + °°) , ln x>x,则下列命题为真命题的是 ()A. p 且 qB. (p)且 qC. p且(q)D.(p)且(q)解析：选 C.令 f (x) = ex -x- 1,则 f' (x) = ex1,当 x>0 时，f' (x)>0,所以 f (x) 在(0 , +8)上是增加的，所以 f(x)>f(0) =0,所以ex>x+1,命题p为真命题；令 g(x) = ln x-x, x>0,贝 U g' (x) =1-1 =

22、1_x, xC(0, 1)时，g' (x)>0 ; xC(1,x x+ °°)时，g' (x)<0,所以 g(x)max= g(1) = 1<0,所以 g(x)<0 在(0 , +00 )上恒成立，所以 q假.故选C.6.下列说法错误的是()A.命题“若x2-5x+6=0,则x = 2”的逆否命题是“若 xW2,则x25x+6w0”B.若命题 p：存在 xCR, x2+x+1<0,则lp：对任意 xCR, x2+x+ 1 >0C.x+ y若 x, yC R,则 “x=y” 是 " xy> 2”的充要条件D.

23、已知命题p和q,若" p或q”为假命题，则命题 p与q中必一真一假解析：选D.由原命题与逆否命题的关系，知 A正确；由特称命题的否定知B正确；由2 x+ y 2 xy> ?4xy> (x+ y) 2? 4xy>x2+ y2+ 2xy? (x-y) 2< 0? x=y,知 C正确；对于 D,命题“ p或q”为假命题，则命题 p与q均为假命题，所以 D不正确.7. (2020 惠州第一次调研)设命题p：若定义域为 R的函数f(x)不是偶函数，则对任意的xR,f ( x)wf (x).命题q： f (x)=x|x|在(一°0,0)上是减函数，在(0 ,+8

24、)上是增函数.则下列判断错误的是 ()A. p为假命题B.q为真命题C. p或q为真命题D. p且q为假命题解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然有存在 x,使得f(x) = f(x), p为假命题； x2 (x> 0),f(x)=x|x|=2( v °)在R上是增函数，q为假命题.所以p或q为假命题，故选 C.8.有四个关于三角函数的命题：R:存在 xCR, sin x+cos x=2;P2：存在 xCR, sin 2 x= sin x；P3：对任意的xCP4:对任意的xC 其中真命题是(A. Pi, P4C. P3, P4解析：选B.因为可得不存在x e r,使兀 兀1

25、+ cos(0 ,兀)，sin x> cos x.)sin x+cos x=2sinsin x+cos x=2 成立，彳,2 x =cos x;B. P2, P3D. B, P4兀 1x+ -4 ,所以 sin x+导命题 P1是假命题；cos x的最大值为V2,因为存在x=kTt(kCZ),使sin 2 x= sin x成立，故命题 P2是真命题;1 + cos 2 x 2因为2= cos x,所以1+ cos 2 x，,人2 |cos x| ,结合 xe>0,由此可得1 + cos 2 x2 cosX,得命题P3是真命题;因为当X=时,sin x= cos x=g,不满足 si

26、n x>cos x兀)，使sin x>cos x不成立，故命题 P4是假命题.故选B.9.已知命题p：方程x22ax1 = 0有两个实数根；命题q：函数f (x) = x+'的最小值 x为4.给出下列命题：p且q；p或q；p且解q);獭p)或( q),则其中真命题 的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选C.由于A = 4a2+4>0,所以方程x2-2ax- 1 = 0有两个实数根，即命题 p是真命题；当x<0时，f (x) =x + 4的值为负值，故命题 q为假命题.所以p或q, p且(q), x(p)或(q)是真命题，故选 C.10.有下列四个命

27、题：(1)命题p:对任意的xCR, x2>0为真命题；(2)设p： *0, q： x2+x - 2>0,则p是q的充分不必要条件； 'x+2'''(3)命题：若ab= 0,则a= 0或b=0,其否命题是假命题；(4)非零向量a与b满足|a| = |b|=|a b|,则a与a+b的夹角为30° .其中真命题有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个对于(2),设p：言>0,解析：选C.对于(1),对任意的xCR, x2>0,故(1)为假命题；2q： x +x- 2>0,可得 p： x>0 或 xv 2; q： x&

28、gt; 1 或 x<-2.由p推不到q,但由q推得p,则p是q的必要不充分条件，故(2)为假命题；对于(3),命题：若ab= 0,则a= 0或b= 0,其否命题为：若 abw0,则awo且bw0,其否命题是真命题，故(3)为假命题；对于(4),非零向量a与b满足| a| = | b| = | a b| ,可设Oa= a, Ob= b, Og= a+b, BA= a-b,可得 OA时等边三角形,四边形OAC的菱形，OC平分/ AOB可得a与a+b的夹角为30。，故(4)为真命题.故 选C.11 .若命题 p的否定是“对任意的xC(0, +8), 也>x + 1"，则命题 p

29、可写为解析：因为p是税p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.答案：存在 xC(0, +8), JXwx+112 .已知命题p: x2+4x+3>0, q: xC Z,且“ p且q”与僦 q”同时为假命题，则 x解析：若p为真，则x>1或xw 3,因为q”为假，则q为真，即xCZ,又因为“ p且q”为假，所以p为假，故3Vx<1, 由题意，得x= - 2.答案：2综合题组练1. (2020 西安模拟)下列各组命题中，满足“ 'p或q'为真、'p且q'为假、'q' 为真”的是()A. p： y = x在定义域内

30、是减函数； q： f(x) =ex+e x是偶函数B. p：对任意的xC R, x2+x+1 >0; q: x>1是x>2成立的充分不必要条件C. p: x + ?的最小值是6; q:直线l: 3x+4y+6= 0被圆(x 3) 2+y2= 25截得的弦长 x为322D. p：抛物线y2= 8x的焦点坐标是(2, 0); q：过椭圆x +y= 1的左焦点的最短的弦长 43是3解析：选BAy=J在(巴 0)和(0, +8)上分别是减函数.则命题p是假命题，易x知q是真命题，则q是假命题，不满足题意.B.判别式A = 1 4= 3<0,则对任意的xCR, x2+x+1>0成立，即p是真命题，x>1 是x>2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则"'p或q'为真、'p且q'为假、q'为真"，故B满足题意.9|3 X 3+6|C.当x<0时，x+-的最小值不是6,则p是假命题，圆心到直线的距离 d=L-=- = x32+ 42153,则弦长=2M25 - 9 =8,则q是