2014年第五届启智杯真题及试题分析(中学组)讲诉

1、88x81111111(1)(n 2) n1 3 51 1 312 47 9 11 13 15 17321 (n 1 (n 1)3 5 125 7 9222014年(第五届)启智杯数学思维及应用能力竞赛(初中组)试卷特别注意:(1 )请把解答写在答题纸上，不要在本卷上答题。(2 )本试卷在考试结束时请考生带走。(3)本卷共12题，每题10分，满分120分。答题时间120分钟。1、观察如下几个灯饰:你发现了什么规律？请据此规律写出第100个式子。(2 )求 a<i + a2 + a3 +.+ a353 的值。写出答案和理由4、已知正整数n满足:质的最小的六位数，写出答案和理由。3、一个数列

2、a1 ,a2 ,a3,.,an,.,已知a1 =8，之后的每一项有如下规律:an为奇数时,1an 1 =5 an +1 ； an 为偶数时，an 1 = 2 。(1 )求a2014的值,20111 -20132、数“ 11125 ”具有这样的性质：它的各位数码之和等于它的各位数码之积。求满足该性求正整数n的值，写出答案和计算过程。5、如右图所示，一个长方形 ABCD中嵌入三个大小相同的小正方形构成一个“品”字，如 果AB=26mm ，BC=28mm ，问每个小正方形的面积是多少？6、如右图，正方形ABCD的面积为1，延长BC至E,延长DC至F，如果矩形CEGF面积为49，那么四边形7、如图所示

3、，在BDEF的面积最小为多少?ABC中，延长BC至D， ABC与 ACD的角平分线相交于点 A!，AiBC与AiCD的角平分线相交于点A2，以此类推，A5BC与A5CD的角平分线相交于点A 6，若 A 62，求 A的度数。8、如右图所示，在矩形 ABCD中，已知 AD=2AB , AF=5cm，且DE丄AF , E为垂足,DE=3.6cm。你能求出图中哪些线段的长度？请写出求出线段的长度及解答过程。9、如图所示的乘法竖式中，“我爱启智杯”分别代表 09中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“我爱启智杯”代表的数字分别是多少？写9 匸 出答案，并在各方框内填写正确

4、的数字。 *10、右图中ABCD和DEFG是两个不等的正方形，连接 BG交DE于H，如果ABHE面积为10 ,问厶DHF面积为多少?11、有2014颗旗子，甲乙二人做如下游戏：甲将旗子分为数目不等的两堆交给乙，乙将其中较少数目的一堆留下，另一堆再分为数目不等的两堆交给甲，如此往复进行下去。在进程 中，一旦谁将较少数目的一堆留下后，剩下的一堆旗子不能再按要求分为数目不等的两堆，则该人为负。问：甲是否有必胜的策略？如果没有，请说明理由；如果有，请给出你的策略。12、某班有50位同学，要推选班长，现在有三位候选人A、B、C,没人可以将三位候选人进行排序，如果有人认为 A第一、B第二、C第三，我们记之

5、为 A > B> C （下同）。民意测 评的结果是：有15人认为A > B > C;有9人认为B>C>A ;有9人认为A>C>B;有17人认为C> B > A ;现在采用评分方式推选班长。如果规定每个人给自己认为的第第二、第三名分别打3分、2分、1分，容易算出：A得98分，B得100分，C得102分,C当选。当选。请你分别设计两种不同的但却是合理的评分标准，分别让给出你的方案，并算出各自的得分，指出当选人。2014年（第五届）启智杯数学思维及应用能力竞赛（初中组）参考答案与评分标准1.观察如下几个等式:解：第n个式子是 2n个连续奇数

6、之和被8除等于n的平方，其中开始的奇数为2n+1,结 束的奇数为 6n-1. 6分第100个式子为= 100002. “11125”具有这样的性质：它的各位数码之和等于它的各位数码之积。求满足该性质的 最小的六位数。写出答案和理由。解答：依题意可知这六位数的数码都不是0，且因为所求满足该性质的最小六位数,个数越多越好； 2分(1)若六位数的数码都是 1,则各位数码之和等于6，但它的各位数码之积是1不合），则各 a，不合(3)若六位数的数码中有 4个都是1，另2个设为a和b，（其中2 ab），则各位数码之和等于4b，但它的各位数码之积是ab，则题意;+1 = 3 分若六位数的数码中有 5个都是1

7、,另一个设为 a，（其中2 位数码之和等于 5 a，但它的各位数码之积是 a，而5 题意；一一+1 = 4分4 a b = ab5， b 11。即 a 6, b 2。+3 =7 分满足该性质且有个的最小六位数是111162。（4）若六位数中有3个或3个以下的1，则其值都大于111162。一一故满足该性质的最小六位数是111162。 +1 = 10分a3a3了分(2)分3x52575AB5040 14由弓"= 2A750(842 163 16)842叫亠(I.亠,4 亠 il，- , = 5t) K ( if 亠 fh it + . + £ 丨亠 u. -"工、+4

8、 .已知正整数 n满足：、V3.一个数列ai、a2、an,，已知ai 8，之后的每一项有如下规律:1 ； an 为偶数时，an_i12 an.a353的值。写出答案和理由。解：根据已知条件，数列是一个周期为 7的数列，各项依次为：8,4,2,1,6,3,16，8,4,2,1,6,4分(1 )求a2014的值。(2)求 a1a22014+3=10求止整豔旳的值.写出答案和讣箕过程.an为奇数时，an 15an*園为z亦顾tit亦命tit120 B解得：用=20门5.如右图所示，一个长方形ABCD中嵌入三个大小相同的小正方形构成一个"品”字。如果AB = 26mm , BC = 28mm

9、，问每个小(w-2>JX 1 in-l)(n + l) =201120B屮 40245 -1尸(刃-2>?仙-1如1)2013+1 10 分正方形的面积是多少?【参考答案】 解：(1 )如图，从每个小正方形各顶点引垂直线或水平虚线，两条第5题图相交虚线和小正方形的一条边可以构成一个直角三角形，其中小正方形的一条边为斜边疋c,记该直角三角形的两个直角边分别为a和b,a >b,则根据勾股理，小正方形的面积为c22b2。-4分(2)从图中容易看出,因此小正方形的面积为6.如右图。正方形AB3ab 26BC2a2b 28，由此解出 a = 6, b =8,+4 = 8 分c26282

10、100mm2。+ 2 = 10 分ABCDDC至F，如果矩形 CEGF面积为49，那么四边形 BDEF 的面积最小为多少？解：记正方形边长 AB = a ,长方形边长 CF = b , CE = c。贝U面积为1,延长BC至E，延长2分a 21, bc 49,四边形BDEF可以分割为四个三角形，其中BCD 和口ECF面积分别是(定值),而 DCE 和BCF都是直角三角形，其面积之和 + 3 =5 分+ 1 =6 分问题转化为：当bc 49时，何时使-(b c)最小?2由于两个正数和一定，两数相等时乘积最大，所以当两个正数乘积一定，两数相等时和最小,因此 b = c =7 + 2 =8 分+ 2

11、 = 10 分所以四边形BDEF的最小面积为：丄 49 - (b ©257322 2 27如图所示，在 ABC中，延长BC至D, ABC与 ACD的角平分线相交于点 Ai ,Ai BC与 A'iCD的角平分线相交于点 A , ,以此类推，A5 BC与 A5CD的角平分线相交于点A6 ，若A62，求 A的度数。111 211 3解答：因为A1A。A - A1-A ,A3A：A ,22222 6 分1 6归纳出 a6A A 64 A6128 。 +4 = 10 分2AiA2AA3D8 如右图所示，在矩形 ABCD中，已知 AD 2AB，AF 5cm，且 DE AF , E 为垂足

12、，DE 3.6 cm。你能求出图中哪些线段的长度，请写出所求线段的长度及 解答过程。答 案BC AD24可以求 出2AB =6 cm ; BF1AB CD4cm ； FC3cm2 cm ；AE 5 cm ； EF 5 ;（每正确写出一个正确答案得 1分，共6分）解答过程：连结DF，则S AFD11-AF DE - AD AB ,于是 DE AF AB AD。22又 AD 2AB，所以 3.6 5 2AB 2AB29 AB 3 ( cm )。AD 2AB=6 ( cm )。在直角 ABF中，根据勾股定理得：EFC BCBF 642 ( cm )在直角AED 中，根据勾股定理得：2AEAD2 22

13、 18 2 &ED65所以，EF =AF AE5241559如图所示的乘法竖式中,我爱启智杯”分AB 2AF 2 5232 42 , BF 4cm ,+1 = 9 分*-252(cm )。24 2.AE(10 分)24+1 = 10 分别代表09中的一个数字，相同的汉字代 表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字， 那么我爱启智杯”代表的数字分别是多少？写出答案和分析过程。 9解：根据最后一步的进位情况，说明 我 我爱启智2杯=9”，因此 我=3 ”； 分根据启我爱启智杯=0”,因此启=0”； +2 =4 分 根据第二步、第三步，爱我爱启智杯”、智我爱启智杯我爱启智杯Z 9口口口 /X 1丄nnnnnnn第9题图/我爱启智杯”均为五位数，因此 爱”智"'只能为1、2、3,但由于 我=3”，所以 爱”智”只能为仁2。 +2 = 6分根据第一步结合 爱”智”只能为1、2，杯我爱启智杯= 9”,因此杯=6”； +