初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第22讲园幂定理

1、精品文档第二十二讲园幕定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆基定理.圆基定理实质上是反映两条相 文档设计者： 设计时间: 文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关.相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1 .用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两 条相交弦使其交点在圆外的情况：2 .从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式.熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT切。O于点T, PA交。O于A、B两点，且与直径C

2、T交于点D, CD=2, AD=3, BD=6,则 PB=.思路点拨 综合运用圆基定理、勾股定理求PB长.注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的 过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例：(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来：(4)圆中的比例线段通过圆塞定理明快地反映出来.【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相 切，若AB=4, BE=5,则DE的长为()A. 3 B. 4 C. D,45思路点拨 连AC CE,由条件可得许多等线段，为切割线定理

3、的运用创设条件.注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆耗定理等知识，通过代数化 获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键.【例3】 如图，ZkABC内接于AB是NO的直径，PA是过A点的直线，ZPAC=Z B.(1)求证：PA是。O的切线：(2)如果弦 CD 交 AB 于 E, CD 的延长线交 PA 于 F, AC=8, CE： ED=6： 5, AE： BE=2： 3,求AB的长和NECB的正切值.思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.(1)问的证明为切割线定理的运用创 造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的

4、代数式表示，并寻找x 与k的关系，建立x或k的方程.【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点 E、E, EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨 由切割线定理得EG2=EFEP,要证明EG=DE,只需证明DE?=EFEP,这样 通过圆嘉定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明.注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆塞定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段 等积式是转化问题的桥梁.需要注意的是，圆事定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平而几何 各种类型的问题中.【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，

5、在正方形内部作半圆，圆心为O, DF切 半圆于点E,交AB的延长线于点F, BF=4.求：(l)cosNF 的值：(2)BE 的长.思路点拨 解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE, AE)；熟悉圆中重要性 质定理及角与线段的转化方法.对于(1),先求出EF, F0值：对于(2),从BEFsaEAF,RtAAEB 入手.注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键, 分析图形可从以下方而入手：（1）多视点观察图形.如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理.（2）多元素分析图形.图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三

6、角形、相似三角形.（3）将以上分析组合，寻找联系.学力训练1 .如图，PT是。0的切线，T为切点，PB是。O的割线，交。于A、B两点，交弦CD 于点 M,已知 CM=10, MD=2, PA=MB=4,则 PT 的长为.2 .如图，PAB、PCD 为。O 的两条割线，若 PA=5, AB=7, CD=lh 则 AC： BD=.3 .如图，AB是。O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是。O的切线，D为切点，过 点B作。的切线交CD于点F,若AB=CD=2,贝lj CE=.D. 8（第6题）5.如图，OO的弦AB平分半径OC,交M-2x+24 =。的两根，则此圆的直径为（A. 8a/2 B. 6

7、a/2 C. 4V2 D.OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程）272（第1题）（第2题）（第3麴4 .如图，在aABC中，ZC=90° , AB=10, AC=6,以AC为直径作圆与斜边交于点P, 则BP的长为（）A. 6. 4 B. 3. 2 C . 3.6 .如图，OO的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点P是念上一点(点P不与A、C两点 重合)，连结PC、PD、PA、A,点区在AP的延长线上，PD与AB交于点F,给出下列四 个结论：(DCH-AH BH； ®AD = AC： AD-DF DP：NEPC=NAPD,其中正确的 个数是()A. 1 B. 2 C. 3

8、D. 47 .如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A, AD± BC于点D.(1)若NB=30° ,问AB与AP是否相等?请说明理由；(2)求证:PD PO=PC PB；(3)若 BD： DC=4： 1,且 BC=10,求 PC 的长.8 .如图，已知PA切。O于点A,割线PBC交OO于点B、C, PD_LAB于点D, PD、AO 的延长线相交于点E,连CE并延长交。O于点F,连AF.(1)求证：APBDAPEC；(2)若 AB=12, tanNEAF=Q,求。O 的半径的长.9 .如图，已知AB是)0的直径，PB切。O于点B, PA交。O

9、于点C, PF分别交AB、BC于E、D,交00于F、G,且BE、BD恰哈好是关于x的方程x2 -6x + (J+4】+ 13) = 0(其中机为实数)的两根.求证：BE=BD：若GEEF=6VL 求NA的度数.10 .如图，ZiABC中，ZC=90° , O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB 相交于点E,与AC相切于点D,已知AD=2, AE=1,那么BC=.(第 10K)11 .如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD, AC与BD交于E,若AC=8, CD=4, 且线段BE、ED为正整数，则BD=精品文档12 .如图，PB+PC=nA.二（第11题）A（第13

10、题）.二 H,若 PA=1,13 .如图，AABC是。O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D,且EFAB,若AB=2, 则DE的长为（）A. - B.C.义 D. 122214 .如图，已知AB为OO的直径，C为。O上一点，延长BC至D,使CD=BC, CE±AD 于E, BE交。O于F, AF交CE于P,求证：PE=PC.（第M题）（第15®）15 .己知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的。 O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP,并延长CP、AP分别交AB、BC、。于E、H、 F三点，连结OF.（1）求证：AEPs/CEA； （

11、2）判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论：（3）求 BH:HC16 .如图，PA、PB是。O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2, CD=1,求DE的长.P（第16题）17 .如图，。0的直径的长是关于X的二次方程Y+2伙-2）x + A=O（k是整数）的最大整数根，P是。O外一点，过点P作。0的切线PA和割线PBC,其中A为切点，点B、C是直 线PBC与。O的交点，若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA+PB+PC 的值.【例题求解】例 1 15 由 CD DT=AB DB.flf DT=9,由 P = P8 尸人二尸。一。/,即 PB

12、(PB十S/O-Pb+BDNDT2 得 PB例 2 a D AC=BE=5乂/W=/ACDhNABC则 AC-3C AD-5,DCh/1B=4,故。£=签=£例 3 (I) NE4C+NC4/J=N6+NS8-90',故 PA 是©O的切线,(2> 设 CE-6*ED=53AE-2x,£8 = 3>0*>0) ,由 CE DE=AE* BE.f4 30F =6y . A 才=图人£=2原， BE=3 昂又 FA2-DF CF = EF-A£2DF(DF, 】1A) = (DF+5A 产 -42解译 DF-51

13、./. DF- DE，即D为EF的中点.连结4。.则4。5,=。£推糊"' 一八(:,由FA，。尸 CF得8? = 5A5&+头+6A) 解 得=4»痣.，AB=A£+B"5原7Otg/EC，B-w/AEF-昔=2. 。八上例4由EF EC'EC一瓦得乔一而'即Pfc -EF ' EP,例 5 由OEFsAQAF,得第=需=需一十即 AF=2EF，又 E产一FB - FA-BF 2EFEF=2BF-8.AF-2EF=16.AAB-AF BF=12.FO= JaB+BF=10.co«/F=S由BE

14、Fs/£AF.得普二笔设 BE"则 AE-23由 AF +BE4 =A8，得(2。？十公一】2一解得/=畀故BE-/5.【学力训练】1. 2 JTT 2. 1 1 33由0/=。8(小=。8(八8+。8).得。8屈一】连01),由对CMX'sRgEBC得寝羔4. A 5. A 6. C7. (l)AB-APi(2)PAT = PC- PB-PD- POt<3)PC-y.8(1)PA:*PB- PC=PD> P£=轶又NP=/P.2XPBfX/>ZPEC,(2)作(X；±AB 于C，PEAF.AG->p4B = 6. ViX

15、i/ED/FA.ZA(X；= ZFAF.hm/AOGi票h»OG=9,AO=/瓦+3=？，/TI9(1)=一4(切+ 2>0,1m-2.原方程为一一6/十90,解将8E=BD=3s(2)AE BE=GE - FE-6/J. AE=2 VI 易证28csPAB.APBDcoAPAE. BC_PB = BD mBC BD . . x ._BC BD 3 B 小 XA 丁.而玄=恁,即而而NA而一恁=乖=,故/%乂6°10. yll 7 8D=CD-4由BCEsZkACB 得 5C'=CE AC.AE-6.CE=2,由 BE - DE=AE EC。12, BD-BE

16、十EDVBC +CD-8. /. BE十EDM7.QE=6,BE=,可推得符合条件的是DE=3BE=I或DE=4.8£=3.12 . A 13. B 可证明 DE=GF,由 BD DC=DE* DF=DE(DG 卜GF) 得 DU T1)£- 1=0,科得14 .连 OC则 OC八D.可证明 PC 为0O 切线.J/cy =PF PA,乂由PEFsZSPAE,得 PE1 = PF - PA故 PC-FF, 即 PC= PE.15 - <1)略(2)线段 A5 与 OF 是平行的不妨设八5 = 8。=，连 BP.BF.W E/V = EP EC.EBEP EC. A E

17、B =EA-。，又EC=岛 5F-蜉a,由AEPsCEA.得嚣=差AP=a.又八秒AP AF.AF=又ABPsAFB.黎盖，得，在AOBF 中，05 = 0尸=6,8/二图,二 /FOB =90,又 A5上OB.：. ABf/OFi(3)V A8OF.,第=器二言.十.乂 O+bHi； BH = 1*a,CH + / = 竽. BH，CH=/.16.连 PO交 A8 于 H，设 DE-j-.M PA2-PE PC-2Gr+3),在 RtAPH 中，A/ = AH? + PH，,® AH2 + PH2 =2(1+3)，在 RtZiPHD 中.PH'+DW nG+2好，又 AD

18、DB-ED DC,而 AD - DB-</H-DH)(AH + D/)-AHz-/9H2./.AHJ-DHI«j- 1 ，由得(彳+2尸+r=2(jr+33解得 DE=x = §三士17设方程的根为xi，天，I，则”1+及=4-24,Uz = A.由题设及知5 工都是整数,从、消去3得(2力+1”2及+1)-9.必£4,且当入<0时12-4.故最大的整数根为4.于是©0的直径为4.所以BC<4BC=PC-P3为正整数，.8。-1,2,3或4连结 AB.AC由PAB</)ZPC4,得 PA = PB(PB+BC)(1)当BC=1时由得.PA'nP杼十P8.于是。加VP/V<(PB+1».矛盾.(2)当BC=2时，由得，PA2 = PB)+2PH,于是P8'<P?V<(PB+1)，万盾.(3)当 3c=3 时,由得,PAi = PBJ+3PE,(R4-P/nPAJPB)=3PB由于PB不是合数结合PA-PBVPA + P5,故只可能|PA-PB=