（整理版）高考数学编三角函数

1、高考数学试题分类汇编高考数学试题分类汇编三角函数三角函数上海文数上海文数19.19.此题总分值此题总分值 1212 分分02x，化简：2lg(costan1 2sin)lg 2cos()lg(1 sin2 )22xxxxx .解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20湖南文数湖南文数16. 本小题总分值 12 分函数2( )sin22sinf xxxi求函数( )f x的最小正周期。(ii) 求函数( )f x的最大值及( )f x取最大值时 x 的集合。浙江理数浙江理数 18(此题总分值 l4 分)在abc 中,角 a、b、c 所对的边分别为 a,

2、b,c，1cos24c (i)求 sinc 的值；()当 a=2， 2sina=sinc 时，求 b 及 c 的长解析：此题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等根底知识，同事考查运算求解能力。解：因为 cos2c=1-2sin2c=14，及 0c所以 sinc=104.解：当 a=2，2sina=sinc 时，由正弦定理acsinasinc，得c=4由 cos2c=2cos2c-1=14，j 及 0c 得cosc=64由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosc，得b26b-12=0解得 b=6或 26所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4全国卷全国卷 2 2 理数理数 17 本小题总分值

3、 10 分abc中，d为边bc上的一点，33bd ，5sin13b ，3cos5adc，求ad【参考答案】由 cosadc=0，知 b.由得 cosb=，sinadc=.从而 sinbad=sinadc-b=sinadccosb-cosadcsinb=.由正弦定理得 ，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比拟低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保存，不会有太大改变.解决此类问题，要根据条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.陕西文数陕西文数17.本小题总分值 12 分在abc 中，b

4、=45,d 是 bc 边上的一点，ad=10,ac=14,dc=6，求 ab 的长.解在adc 中，ad=10,ac=14,dc=6,由余弦定理得cos2222addcacad dc=10036 19612 10 62 ,adc=120, adb=60在abd 中，ad=10, b=45, adb=60，由正弦定理得sinsinabadadbb,ab=310sin10sin6025 6sinsin4522adadbb.辽宁文数辽宁文数 17 本小题总分值 12 分在abc中，abc、分别为内角abc、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaabcbcbc求a的大小；假设sinsin1bc

5、，试判断abc的形状.解：由，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得abccbacos2222故120,21cosaa 由得.sinsinsinsinsin222cbcba又1sinsincb，得21sinsincb因为900 ,900cb，故bc所以abc是等腰的钝角三角形。辽宁理数辽宁理数 17 本小题总分值 12 分 在abc 中，a, b, c 分别为内角 a, b, c 的对边，且2 sin(2)sin(2)sin.aaacbcbc 求 a 的大小；求sinsinbc的最大值.解：由，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c即 222abc

6、bc 由余弦定理得 2222cosabcbca故 1cos2a ，a=120 6 分由得： sinsinsinsin(60)bcbb 31cossin22sin(60)bbb故当 b=30时，sinb+sinc 取得最大值 1。 12 分全国卷全国卷 2 文数文数 17 本小题总分值 10 分abc中，d为边bc上的一点，33bd ，5sin13b ，3cos5adc，求ad。【解析解析】此题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的根底知识。此题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的根底知识。由由adc与与b的差求出的差求出bad，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公

7、式求出bad的正弦，在三角形的正弦，在三角形abdabd 中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 adad。江西理数江西理数17.本小题总分值 12 分函数 21 cotsinsinsin44f xxxmxx。(1) 当 m=0 时，求 f x在区间384，上的取值范围；(2) 当tan2a 时， 35f a ，求 m 的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为根本的知识交汇问题，考查根本三角函数变换，属于中等题.解：1当 m=0 时，22cos1 cos2sin2( )(1)sinsinsin cossin2xxxf x

8、xxxxx 1 2sin(2) 124x，由3,84x，得22,142x 从而得：( )f x的值域为120,222cos( )(1)sinsin()sin()sin44xf xxmxxx化简得：11( )sin2(1)cos2 22f xxmx当tan2，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa，3cos25a ，代入上式，m=-2.安徽文数安徽文数16、 本小题总分值 12 分 abc的面积是 30，内角, ,a b c所对边长分别为, ,a b c，12cos13a 。 ()求ab ac ；()假设1cb，求a的值。【解题指导】 1根据同角三角函数关

9、系，由12cos13a 得sin a的值，再根据abc面积公式得156bc ；直接求数量积ab ac .由余弦定理2222cosabcbca，代入条件1cb，及156bc 求 a 的值.解：由12cos13a ，得2125sin1 ()1313a .又1sin302bca ，156bc .12cos15614413ab acbca .2222cosabcbca212()2(1 cos)12 156 (1)2513cbbca ，5a .【规律总结】根据此题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑abc的面积是 30，12cos13a ，所以先求sin a的值，然后根据三角形面积公式得bc

10、a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.重庆文数(18).(本小题总分值 13 分), ()小问 5 分，()小问 8 分.)设abc的内角 a、b、c 的对边长分别为 a、b、c,且 32b+32c-32a=42bc .() 求 sina 的值；()求2sin()sin()441 cos2abca的值.浙江文数浙江文数 18 此题总分值在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a,b,c,设 s 为abc 的面积，满足2223()4sabc。求角 c 的大小；求sinsinab的最大值。重庆理数重庆理数 16 本小题总分值 13 分， i小问 7 分， ii小问 6 分设

11、函数 22cos2cos,32xf xxxr。（i）求 f x的值域；（ii）记abc的内角 a、b、c 的对边长分别为 a，b，c，假设 f b=1，b=1,c=3，求 a 的值。山东文数山东文数(17)本小题总分值 12 分 函数2( )sin()coscosf xxxx0的最小正周期为， 求的值； 将函数( )yf x的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数( )yg x的图像，求函数( )yg x在区间0,16上的最小值.北京文数北京文数 15 本小题共 13 分函数2( )2cos2sinf xxx求()3f的值；求( )f x的最大值和最小值解：22()2coss

12、in333f=31144 22( )2(2cos1)(1 cos)f xxx 23cos1,xxr因为cos1,1x ,所以，当cos1x 时( )f x取最大值 2；当cos0 x 时，( )f x去最小值-1。北京理数北京理数 15 本小题共 13 分 函数(x)f22cos2sin4cosxxx。求()3f的值；求(x)f的最大值和最小值。解：i2239()2cossin4cos1333344f ii22( )2(2cos1)(1 cos)4cosf xxxx =23cos4cos1xx =2273(cos)33x,xr 因为cosx 1,1， 所以，当cos1x 时，( )f x取最大

13、值 6；当2cos3x 时，( )f x取最小值73四川理数四川理数 19 本小题总分值 12 分证明两角和的余弦公式c:cos()coscossinsin；1 由c推导两角和的正弦公式s:sin()sincoscossin.2abc 的面积1,32sabac ，且35cosb ，求 cosc.本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等根底知识及运算能力。解：(1)如图，在执教坐标系 xoy 内做圆 o，并作出角 、 与，使角 的始边为 ox，交o 于点 p1，终边交o 于 p2；角 的始边为 op2，终边交o 于 p3；角 的始边为op1，终边交o 于 p4. 那么

14、 p1(1,0),p2(cos,sin)p3(cos(),sin(),p4(cos(),sin() w_w w. k#s5_u.c o*m由 p1p3p2p4及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2展开并整理得：22cos()22(coscossinsin)cos()coscossinsin.4 分由易得 cos(2)sin,sin(2)cossin()cos2()cos(2)() cos(2)cos()sin(2)sin() sincoscossin6 分(2)由题意，设abc 的角 b、c 的对边分别为 b、c那么 s12bcsina12abac

15、 bccosa30w_ a(0, 2),cosa3sina又 sin2acos2a1，sina1010,cosa3 1010由题意，cosb35,得 sinb45cos(ab)cosacosbsinasinb1010w_ 故 cosccos(ab)cos(ab)101012 分天津文数天津文数 17 本小题总分值 12 分在abc 中，coscosacbabc。证明 b=c：假设cos a=-13，求 sin4b3的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦等根底知识，考查根本运算能力.总分值 12 分. 证明：在abc 中，由正弦定理及得

16、sinbsinc=cosbcoscbc，从而 b-c=0. 所以 b=c. 解：由 a+b+c=和得 a=-2b,故 cos2b=-cos-2b=-cosa=13.又 02b,acococ acac故且对于线段上任意点p有o po c，而小艇的最高航行速度只能到达 30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在 a、c包含 c的任意位置相遇，设cod= (0 90 ),10 3tanrt codcd则在中，od=10 3cos，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10 10 3tan30t和10 3costv，所以10 10 3tan3010 3cosv，解得15 33,30,sin( +3

17、0 )sin( +30 )2vv又故，从而3090 ,30tan由于时，取得最小值，且最小值为33，于是当30时，10 10 3tan30t取得最小值，且最小值为23。此时，在oab中，20oaobab，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。安徽理数16、 本小题总分值 12 分 设abc是锐角三角形，, ,a b c分别是内角, ,a b c所对边长，并且22sinsin() sin() sin33abbb。 ()求角a的值；()假设12,2 7ab aca ，求, b c其中bc 。江苏卷江苏卷17、 本小题总分值 14 分某

18、兴趣小组测量电视塔 ae 的高度 h(：m ，如示意图，垂直放置的标杆 bc 的高度 h=4m，仰角abe=，ade=。(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 h 的值；(2)该小组分析假设干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d：m ，使与之差较大，可以提高测量精确度。假设电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？解析 此题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。1tantanhhadad，同理：tanhab，tanhbd。 adab=db，故得tantantanhhh，解得：tan4 1.24124tantan1

19、.24 1.20hh。因此，算出的电视塔的高度 h 是 124m。2由题设知dab，得tan,tanhhhhhdaddbd，2tantantan()()1tantan()1hhhhdhddhhhh hhdh hhdddd()2()h hhdh hhd， 当且仅当()125 12155 5dh hh时，取等号故当55 5d 时，tan()最大。因为02，那么02，所以当55 5d 时，-最大。故所求的d是55 5m。江苏卷23.本小题总分值 10 分abc 的三边长都是有理数。（1）求证 cosa 是有理数；2求证：对任意正整数 n，cosna 是有理数。解析 此题主要考查余弦定理、数学归纳法等根底知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。总分值 10 分。方法一 1证明：设三边长分别为, ,a b c，222cos2bcaabc，, ,a b c是有理数，222bca是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，2222bcabc必为有理数，cosa 是有理数。2当1n 时，显然 cosa 是有理数；当2n